12.1 实数的概念 学案（含答案）

课 题
实数的概念
教学目标
了解有理数、无理数以及实数的有关概念；
学会如何判断无理数，并会对实数进行分类.
重点、难点
重点：实数的概念与分类；
难点：对实数进行分类；
教学内容
一、【要点梳理】
【无理数的概念】
定义：无限不循环的小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.
1、常见的无理数的形式：（1）开方开不尽的数都是无理数，如、；
（2）含的数，如，等；
（3）构造型：如
2、判断无理数要先化简，不能只看表面形式；
3、一些除不尽的分数，如，等，会误认为是无理数，但事实上分数都是有理数.
例1、下列各数哪些是有理数，哪些是无理数，为什么？
、、、、、、、、、.
解：有理数：、都是有限小数；是无限循环小数；是分数；
、都是开得尽方的数.以上这些数都是有理数.
无理数：、是开方开不尽的数；和是无限不循环小数；这些数都是无理数.
例2、有下列说法：（1）两个无理数的和必是无理数；（2）两个无理数的积必是无理数；
（3）有理数与无理数分别平方后，不可能相等；（4）无理数就是开方开不尽的数；
（5）有理数的倒数一定是有理数.其中正确的个数有__1__个.
变式：1、填空：
（1） 无限不循环 小数叫做无理数.
（2）在、、、、、中，无理数是_、、_.
2、选择：
（1）在下列四个命题中，正确的是（ B ）
A. 无理数加无理数的和是无理数 B. 有理数加无理数的和是无理数
C. 有理数乘无理数的积是无理数 D. 无理数乘无理数的积是无理数
（2）是（ A ）
A. 有理数 B. 无限小数 C. 循环小数 D. 无理数
3、判断：
（1）有理数都是有限小数，无限小数都是无理数. （ × ）
（2）一个有理数，不是正数就是负数. （ × ）
（3）一个无理数，不是正数就是负数. （ √ ）
（4）和都是无理数. （ × ）
（5）最小的实数是零，最大的实数不存在. （ × ）
（6）无理数都是开方开不尽的数. （ × ）
（7）任何实数的平方都是正数. （ × ）
（8）无理数一定是无限不循环小数. （ √ ）
【实数的定义和分类】
定义：有理数和无理数统称为实数.
实数的分类：
例3、将下列各数放入图中适当的位置：
、、、、、、、、、

变式：1、下列语句错误的是（ C ）
A. 正整数、0、负整数统称为整数 B. 整数与分数统称为有理数
C. 开方开不尽的数和统称为无理数 D. 有理数、无理数统称为实数
2、把下列各数分别填入有理数、无理数、负实数集合的圆框里：
、、、、、、、.
有理数集合 无理数集合 负实数集合

【能力拓展】
例4、请构造几个大小在3和4之间的无理数.
解：即，故在3和4之间的无理数可以是、、、
例5、已知是实数，且有，求的值.
解：由题意知，，，故，.
例6、化简：
解：原式

二、【课堂训练】
1、判断题：
（1）如果为实数，那么一定是负数.（ × ） （2）对于任何实数与，恒成立.（ √ ）
（3）两个无理数之和一定是无理数.（ × ） （4）两个无理数之积不一定是无理数.（ √ ）
（5）任何有理数都有倒数.（ × ） （6）最小的负数是.（ × ）
（7）的相反数的绝对值是它本身.（ × ） （8）若，且，则.（ × ）
2、下列语句正确的是（ B ）
（A）无限小数都是无理数 （B）无理数都是无限小数
（C）带根号的数都是无理数 （D）不带根号的数一定不是无理数
3、如果是实数，下列四种说法：
（1）和都是正数；（2），那么一定是负数；（3）的倒数是；
（4）和分别在原点的两侧，其中正确的个数有（ A ）
（A）0 　 （B）2 　 （C）2 　 （D）3
4、把下列各数分别填入相应的集合里.
无理数集合｛，， ｝ 负分数集合｛， ｝
整数集合　｛，，，｝　 非负数集合｛，，，，｝
5、已知，则等于（ B ）
（A） （B） （C） （D）
6、已知，求的值.
解：由题意知，，故.
原式
7、已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图，试化简：
解：由图可知

原式


8、下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？

互为相反数：和 互为倒数：和 互为负倒数：和

9、已知，是实数，且和互为相反数，求，的值.
解：由和均为非负数并且互为相反数知，，
故，
10、，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，求
解：由题意知，，，
原式，当时，原式；当时，原式