北师大版九年级数学下册3.7切线长定理教案
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册3.7切线长定理教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 139.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-08 22:35:50 | ||
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文档简介
《切线长定理》教学设计
一、教学内容分析
确定本节课的重点为：切线长定理及其应用
二、学生学情分析
学生在七、八年级已经学习了轴对称图形、三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，在本章《圆》前面也学习了切线的定义、判定与性质、圆的对称性.因此学生对圆的相关知识都有一定的认识。在相关知识的学习过程中，学生经历了利用轴对称图形的性质证明垂径定理的过程，培养了尺规作图等动手操作能力 ；经历了对数学问题进行观察、实验、猜测、计算、推理等活动过程. 同时在以前的数学学习中也经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的动手实践、自主探索与合作交流的能力.这对本节课的学习打下了基础，学生对本节课定理的证明不是很困难，但是对定理的应用，尤其是较复杂的应用，学生将感到一定的困难.
基于此，我确定了本节课难点是：切线长定理的应用
三、教学目标设置
基于以上的分析，我确定了如下的教学目标：
1、经历圆的切线长概念的形成过程，知道圆的切线长概念
2. 通过探究活动使学生能理解切线长定理，并能初步运用.
3. 在猜想、探索、证明切线长定理活动中通过相互学生间的合作与交流，进一步发展学生推理能力和数学表达能力.
四、教学策略分析：
爱因斯坦说过“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力可以囊括世界”。对于老师而言，应精心设计教学环节，充分的暴露学生数学思维的活动过程，实现数学思维的再加工。
本节课我在学生已有的认知基础上，通过让学生动手画“圆的两条切线”，引导学生观察切线的位置关系，明确研究对象，引出课题，通过学生的度量、折纸等活动，为完成定理的证明打下基础。发展学生的演绎推理能力。在定理的应用中，通过合作互助建立良好的学习氛围，利用动画的演示，让学生直观感知图形之间的联系，有意识渗透由一般到特殊的研究思路。让学生充分的交流、讨论，并通过小组的展示，突出重点、突破难点。在老师的及时点评中，让学生思维清晰化、让解决问题的方法明朗化，让学生在课堂上不仅感受到所学的新知识，同时也感受到数学思想方法，发展学生解决问题的能力。
五、教学过程设计:
课程改革的理念是改变过去的“教师教”，实现“学生学”，教师设计合理的活动，激发学生学习积极性，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。获得广泛的活动经验。因此，在本节课中，我在教学设计的活动中让学生争做学习主人，设计了五个教学环节：复习引入；探索定理；应用定理；小结梳理；作业布置。简单概括为：“动手画、知定义、观察图、猜结论、验结论、证结论、用定理、谈感想、课后练”
环节一、复习引入
问题引入：
在前面学习过圆与直线的位置关系，还记得有哪几种吗？大家还记得还记得圆的切线的画法吗？
活动1：请在透明纸上画出圆O，在圆上任意找出两点A、B，过点A、B画圆O的两条切线。
设计意图：因为“画的切线”规范的做法是过半径外端点做垂直于半径的直线，而过圆外一定点画圆的切线，切点不易确定，而我们平时的画法也正好忽略了这一点，所以我设计了这样的引入。同时以学生已有的知识为基础，通过活动1让学生直观感知过圆外一点画圆的切线有且只有两条。
环节二、探索定理
1、知道定义
明晰切线长定义：（ppt给出）过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长
给出课题并板书课题：切线长定理
2、猜想结论：
问题1：图中线段PA和PB有怎样的数量关系？
设计意图：提出问题，引入课题（这节课，我们学习切线长定理），引导学生在观察、探究中发现线段PA和PB的关系，为后面的验证、证明做铺垫。
3、验证结论：
追问：你是怎样得到的？（度量法）
老师用几何画板度量，同时改变点P的位置，让学生动态中观察、验证。
追问：有没有其他的验证方法？（折叠法）
老师用几何画板做对称折叠，让学生在动态中观察，丰富认知，渗透证明“结论”过程中如何作辅助线的方法。
4、证明结论
已知：如图，
求证：
设计意图：在前面验证的基础上，通过学生的独立思考、证明，发展学生推理论证的能力。另外借助信息技术展示交流，暴露学生的解题思维，在生生、师生交流中完善证明过程，规范书写。同时展示不同的解题思路，通过学生多角度分析、讲解、交流和教师的点拨、即时评价，促进学生对知识、数学思想和方法的掌握。
证明过程。
证明：连接
∵
∴
是直角三角形
又∵OA=OB,OP=OP
∴
∴PA=PB
文字语言描述：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，
符号语言：∵PA和PB分别和○O相切与点A和点B，
∴PA=PB
环节三、应用定理
1、1、已知：如图在△ABC的内切圆O中,AF=5，CE =10，则AC=_________；
设计意图：巩固切线长定理，同时让学生感知三角形的内切圆中切线长和三角形边之间的简单的数量关系。
几何画板展示三角形变化成直角三角形时，在这一变化的过程中，当变成直角三角形时，它的内切圆中，又能发现什么呢？
设计意图：动画的演示过程，形象直观的将三角形由一般形状转变为特殊形状，渗透由一般到特殊的数学思想，同时在变化的过程中，让学生直观的看到那些是变化的那些是不变化的，感知其中的关系，启迪学生的思维。
2、已知如图，Rt△ABC的两条直角边AB=6，BC=8，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.
设计意图：通过这个特殊的三角形——直角三角形的内切圆半径的计算，进一步巩固切线长定理，同时培养学生在解决问题时通过等量代换，渗透转化思想，即求半径其实可以求切线长BF或者BE,同时也是三角形内切圆学习的拓展和延伸，也为后面后续学习的任意三角形的内切圆半径的计算方法提供了参考的依据。在解题过程中，将未知的半径r设为未知数，利用切线长定理得到方程，渗透方程思想。
3、如图，四边形ABCD分别与圆O相切于点M、N、Q、P，请同学们找出图中所有相等的线段，试说明：
AB+CD=BC+AD
设计意图：圆的外切三角形到圆的外切四边形，进一步的巩固切线定理的同时，引导学生根据研究问题的方法，探究圆的外切四边形边和相等，从中渗透等式性质。学生在学习的过程中充分感受到切线长之间的和与差的关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
本节课你学到了什么？
设计意图：通过小结，引导学生梳理本节课所学的知识，构建知识网络，提炼数学思想和方法，发展学生的语言表达能力。
环节五、作业布置
必做题
1、如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线，交PA及PB于D、E两点，PA=PB=6cm，求△PDE的周长
2、已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
（1）图中共有几对相等线段？
（2）若AF=4，BD=6，CE=8，求△ABC的周长
（3）若AB=9，BC=15，AC=12，求：AF、BD、CE
选做题
如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6㎝，CB=CD=8㎝，且∠B=90°，该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径。
设计意图：心理学研究表明：学生的身心发展由于先天禀赋以及后天诸多因素的影响，每位学生在学习上都存在着差异。因此我遵循因材施教和层次性原则，分层布置作业。其中必做题属于基础题，达到巩固新知的目的，有利于他们获得成功的快乐；选做题属于发展题，具有一定的难度和挑战性，有利于培养他们思维的灵活性和深刻性。给学生留有自主选择的空间，充分发挥他们的学习主动性，让他们各取所需，各尽所能，避免了尖子生“吃不饱”，后进生“吃不消”的局面，实现了“人人都能获得必需的数学，不同人在数学上得到不同的发展”的目标。
板书设计
一、教学内容分析
确定本节课的重点为：切线长定理及其应用
二、学生学情分析
学生在七、八年级已经学习了轴对称图形、三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，在本章《圆》前面也学习了切线的定义、判定与性质、圆的对称性.因此学生对圆的相关知识都有一定的认识。在相关知识的学习过程中，学生经历了利用轴对称图形的性质证明垂径定理的过程，培养了尺规作图等动手操作能力 ；经历了对数学问题进行观察、实验、猜测、计算、推理等活动过程. 同时在以前的数学学习中也经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的动手实践、自主探索与合作交流的能力.这对本节课的学习打下了基础，学生对本节课定理的证明不是很困难，但是对定理的应用，尤其是较复杂的应用，学生将感到一定的困难.
基于此，我确定了本节课难点是：切线长定理的应用
三、教学目标设置
基于以上的分析，我确定了如下的教学目标：
1、经历圆的切线长概念的形成过程，知道圆的切线长概念
2. 通过探究活动使学生能理解切线长定理，并能初步运用.
3. 在猜想、探索、证明切线长定理活动中通过相互学生间的合作与交流，进一步发展学生推理能力和数学表达能力.
四、教学策略分析：
爱因斯坦说过“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力可以囊括世界”。对于老师而言，应精心设计教学环节，充分的暴露学生数学思维的活动过程，实现数学思维的再加工。
本节课我在学生已有的认知基础上，通过让学生动手画“圆的两条切线”，引导学生观察切线的位置关系，明确研究对象，引出课题，通过学生的度量、折纸等活动，为完成定理的证明打下基础。发展学生的演绎推理能力。在定理的应用中，通过合作互助建立良好的学习氛围，利用动画的演示，让学生直观感知图形之间的联系，有意识渗透由一般到特殊的研究思路。让学生充分的交流、讨论，并通过小组的展示，突出重点、突破难点。在老师的及时点评中，让学生思维清晰化、让解决问题的方法明朗化，让学生在课堂上不仅感受到所学的新知识，同时也感受到数学思想方法，发展学生解决问题的能力。
五、教学过程设计:
课程改革的理念是改变过去的“教师教”，实现“学生学”，教师设计合理的活动，激发学生学习积极性，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。获得广泛的活动经验。因此，在本节课中，我在教学设计的活动中让学生争做学习主人，设计了五个教学环节：复习引入；探索定理；应用定理；小结梳理；作业布置。简单概括为：“动手画、知定义、观察图、猜结论、验结论、证结论、用定理、谈感想、课后练”
环节一、复习引入
问题引入：
在前面学习过圆与直线的位置关系，还记得有哪几种吗？大家还记得还记得圆的切线的画法吗？
活动1：请在透明纸上画出圆O，在圆上任意找出两点A、B，过点A、B画圆O的两条切线。
设计意图：因为“画的切线”规范的做法是过半径外端点做垂直于半径的直线，而过圆外一定点画圆的切线，切点不易确定，而我们平时的画法也正好忽略了这一点，所以我设计了这样的引入。同时以学生已有的知识为基础，通过活动1让学生直观感知过圆外一点画圆的切线有且只有两条。
环节二、探索定理
1、知道定义
明晰切线长定义：（ppt给出）过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长
给出课题并板书课题：切线长定理
2、猜想结论：
问题1：图中线段PA和PB有怎样的数量关系？
设计意图：提出问题，引入课题（这节课，我们学习切线长定理），引导学生在观察、探究中发现线段PA和PB的关系，为后面的验证、证明做铺垫。
3、验证结论：
追问：你是怎样得到的？（度量法）
老师用几何画板度量，同时改变点P的位置，让学生动态中观察、验证。
追问：有没有其他的验证方法？（折叠法）
老师用几何画板做对称折叠，让学生在动态中观察，丰富认知，渗透证明“结论”过程中如何作辅助线的方法。
4、证明结论
已知：如图，
求证：
设计意图：在前面验证的基础上，通过学生的独立思考、证明，发展学生推理论证的能力。另外借助信息技术展示交流，暴露学生的解题思维，在生生、师生交流中完善证明过程，规范书写。同时展示不同的解题思路，通过学生多角度分析、讲解、交流和教师的点拨、即时评价，促进学生对知识、数学思想和方法的掌握。
证明过程。
证明：连接
∵
∴
是直角三角形
又∵OA=OB,OP=OP
∴
∴PA=PB
文字语言描述：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，
符号语言：∵PA和PB分别和○O相切与点A和点B，
∴PA=PB
环节三、应用定理
1、1、已知：如图在△ABC的内切圆O中,AF=5，CE =10，则AC=_________；
设计意图：巩固切线长定理，同时让学生感知三角形的内切圆中切线长和三角形边之间的简单的数量关系。
几何画板展示三角形变化成直角三角形时，在这一变化的过程中，当变成直角三角形时，它的内切圆中，又能发现什么呢？
设计意图：动画的演示过程，形象直观的将三角形由一般形状转变为特殊形状，渗透由一般到特殊的数学思想，同时在变化的过程中，让学生直观的看到那些是变化的那些是不变化的，感知其中的关系，启迪学生的思维。
2、已知如图，Rt△ABC的两条直角边AB=6，BC=8，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.
设计意图：通过这个特殊的三角形——直角三角形的内切圆半径的计算，进一步巩固切线长定理，同时培养学生在解决问题时通过等量代换，渗透转化思想，即求半径其实可以求切线长BF或者BE,同时也是三角形内切圆学习的拓展和延伸，也为后面后续学习的任意三角形的内切圆半径的计算方法提供了参考的依据。在解题过程中，将未知的半径r设为未知数，利用切线长定理得到方程，渗透方程思想。
3、如图，四边形ABCD分别与圆O相切于点M、N、Q、P，请同学们找出图中所有相等的线段，试说明：
AB+CD=BC+AD
设计意图：圆的外切三角形到圆的外切四边形，进一步的巩固切线定理的同时，引导学生根据研究问题的方法，探究圆的外切四边形边和相等，从中渗透等式性质。学生在学习的过程中充分感受到切线长之间的和与差的关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
本节课你学到了什么？
设计意图：通过小结，引导学生梳理本节课所学的知识，构建知识网络，提炼数学思想和方法，发展学生的语言表达能力。
环节五、作业布置
必做题
1、如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线，交PA及PB于D、E两点，PA=PB=6cm，求△PDE的周长
2、已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
（1）图中共有几对相等线段？
（2）若AF=4，BD=6，CE=8，求△ABC的周长
（3）若AB=9，BC=15，AC=12，求：AF、BD、CE
选做题
如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6㎝，CB=CD=8㎝，且∠B=90°，该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径。
设计意图：心理学研究表明：学生的身心发展由于先天禀赋以及后天诸多因素的影响，每位学生在学习上都存在着差异。因此我遵循因材施教和层次性原则，分层布置作业。其中必做题属于基础题，达到巩固新知的目的，有利于他们获得成功的快乐；选做题属于发展题，具有一定的难度和挑战性，有利于培养他们思维的灵活性和深刻性。给学生留有自主选择的空间，充分发挥他们的学习主动性，让他们各取所需，各尽所能，避免了尖子生“吃不饱”，后进生“吃不消”的局面，实现了“人人都能获得必需的数学，不同人在数学上得到不同的发展”的目标。
板书设计