2.2.1 圆的方程 课件 22张PPT

(共22张PPT)
一石激起千层浪
铁环
碟子
摩天轮
日出
荷叶
创设情境
问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？
平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。
定点就是圆心，定长就是半径。
问题二：确定圆需要哪几个要素？
复习回顾
O
r
圆心：
半径：
确定圆的位置
确定圆的大小
圆的方程
—圆的标准方程
探索：(1)如何建立圆的方程？
解：
设P(x,y)是圆上任意一点，
则
OP=r.
把上式两边平方得：
x2
+
y2
=
r2
由两点间距离公式可得：
=r
建构圆的标准方程
x
y
O
C(a,b)
P(x,y)
以定点O为坐标原点建立直角坐标系，
P(x,y)
探索：(1)如何建立圆的方程？
解：
设P(x,y)是以C(a,b)为圆心，r为半径圆上任意一点，
则
CP=r.
由两点间距离公式可得：
=r
建构圆的标准方程
x
y
O
P(x,y)
把上式两边平方得：
(x-a)
2
+
(y-b)
2
=
r2
C(a,b)
建构圆的标准方程
(x-a)
2
+
(y-b)
2
=
r2
(r
>
0)
特点：
4、若圆心在坐标原点，则圆方程为x2+y2=r2.
当r＝1，即x2＋y2＝1时，称该方程表示的
圆为单位圆．
问题：观察圆的标准方程的特点有哪些？
圆的标准方程：
2、明确给出了圆心坐标和半径.
3、确定圆的方程必须具备三个独立条件,
即a、b、r
.
1、是关于x、y的二元二次方程.
探索：(2)点与圆的位置关系
试判断点A(1,2)和
x2
+
y
2
=
3的位置关系？
①几何法
OA=，
建构圆的标准方程
x
y
O
A
点A在圆外
②代数法
12
+
2
2
=5>
3，
点A在圆外
小结：点M(,
)与圆(x-a)
2
+
(y-b)
2
=
r2
的位置关系
几何法
CM=r
M在圆上
CM>r
M在圆外
CMM在圆内
代数法
M在圆上(-a)
2
+
(-b)
2
=
r2
M在圆外(-a)
2
+
(-b)
2
>
r2
M在圆内(-a)
2
+
(-b)
2
例1：写出圆
(x-2)2+
(
y+3)2=9的圆心及半径.
变式：判断下列方程是否为圆的方程，如果是请写出下列各圆的圆心坐标和半径.
(1)
(x-1)2+y2=6
(2)
(x+1)2-(y-2)2=9
(3)
(x-2)2+(y+3)2=
-9
(4)
x2+(y+3)2=0
(5)
(x-2)2+y2=a2
(0)
解：圆心为点（2，-3），半径为r
=3
圆的标准方程的应用
解:
(1)是圆的方程，圆心为点（1，0），半径为；
(2)、
(3)、
(4)不是圆的方程；
(5)
是圆的方程，圆心为点（2，0），半径为
两人为一小组，一人任意给出圆心、半径，另一人写出圆的标准方程；其次，给出圆的方程，写出圆心、半径
小组活动（你说我写）
圆的标准方程的应用
圆的标准方程：
(x-a)
2
+
(y-b)
2
=
r2，
其中（a,b）为圆心、r为半径
(1)圆心在原点，半径为6
；
(2)圆心为(3,-4)
，半径为
；
解:(1)
x2+y2=36
(2)
(x-3)2+(y+4)
2=5
例2：写出下列圆的标准方程：
圆的标准方程的应用
小结：已知圆心、半径，直接带入求解
圆的标准方程的应用
变式1：写出下列圆的标准方程：
(1)过点P
(6,3)
，圆心为C(2,-2)
；
(2)求以点C
(-1,-5)为圆心，并且和y轴相切的圆的标准方程；
解:
(1)由两点间距离公式得r=
(2)因为圆与
y轴相切，所以圆的半径r
=
1
,
所以圆的标准方程为:
(x-2)2+(y+2)
2=41
所以圆的方程为:
(x+1)
2
+
(y+5)
2
=1
圆的标准方程的应用
(3)求圆心为(1,3)
，且和直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程.
解:(3)因为圆和直线3x-4y-7=0相切，
所以圆的半径r
=
=，圆的方程为:
(x-1)
2
+
(y-3)
2
=
C
y
x
O
r
小结：圆心已知、半径未知，
关键求半径：①点与点之间的距离；
②点到直线的距离
变式2：写出下列圆的标准方程：
圆的标准方程的应用
(1)半径为2，且与x轴相切于原点；
C
y
O
x
C
解:(1)由题意得，圆心为(0,2)或(0,-2),
所以圆的方程为:
x2
+
(y-2)
2
=
或
x2
+
(y+2)
2
=
圆的标准方程的应用
(2)已知半径为5的圆过点P(-4,3)
，且圆心在直线2x-y+1=0上，求圆的方程；
解:(2)设圆心坐标为(x,2x+1)，则
=
5
解得x=
所以圆心坐标为(1,3)或(-1,-1)
故所求圆的方程为:
(x-1)
2
+
(y-3)
2
=2
或
(x+1)
2
+
(y+1)
2
=
圆的标准方程的应用
(3)直线x+y
=4和x-y
=
-2均过圆心，且半径为3的圆的标准方程.
解：(3)
由
得
,
则圆心为(1,3),
所以圆的方程为：(x-1)
2
+
(y-3)
2
=
9
x+y=
4
x-y=
-2
x=
1
y=3
小结：半径已知、圆心未知，
关键求圆心：①两直线的交点；
②线段的中点坐标为圆心
圆的标准方程的应用
变式3：写出下列圆的标准方程：
解:
(1)圆心为(,
),即
(1,-3),
半径r
==
,
所以圆的方程为:(x-1)2+(y+3)2=29
(1)已知点A
(-4,-5)
，B
(6,-1)
，求以线段AB为直径的圆的标准方程；
圆的标准方程的应用
(2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x-3y+5=0上；
解:
(2)设圆心为(x,
x+)，
又圆与两坐标轴都相切，即
=
解得x=
故所求圆的方程为:
(x-5)
2
+
(y-5)
2
=2
或
(x+1)
2
+
(y-1)
2
=
C
y
O
x
(3)
ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)
,
B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆的方程.
圆的标准方程的应用
x
y
O
P
A(5,1)
B(7,-3)
C(2,-8)
分析：
(1)半径：圆心到圆上一点；圆心：两条弦的中垂线的交点；
(2)待定系数法
小结：圆心、半径均未知，
确定圆心，确定半径
所以P(2,
-3)
圆的标准方程的应用
(方法一)解：设所求外接圆的圆心为
P(x,
y)
AB中点的坐标为
(6，-1)，BC中点的坐标为
(，-
)
所以直线AB中垂线的方程为：y+1=即x-2y-8=0
=-2，故直线AB中垂线的斜率为，
=1，故直线BC中垂线的斜率为-1，
所以直线BC中垂线的方程为：y+
=即x+y+1=0
由
解得
所求圆的方程为(x-2)
2
+
(y+3)
2
=
25
r=PA==5
(方法二)解：设所求圆的方程为：(x-a)
2
+
(y-b)
2
=
r2
因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上，则
所求圆的方程为(x-2)
2
+
(y+3)
2
=
25
圆的标准方程的应用
圆的标准方程的应用
例3：已知圆O的方程为
(x+1)
2
+
(y-1)
2
=
4
，判断下面的点A(1,1),B(0,1),C(0,3)在圆内、圆上、还是圆外？
解：
圆O的圆心为
(-1,1)，半径为2
(1+1)
2
+
(1-1)
2
=
4
，
点A在圆上
(0+1)
2
+
(1-1)
2
=
1<4
，
点B在圆内
点C在圆外
(0+1)
2
+
(3-1)
2
=
5>4
，
(1)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为
(x-a)2+(y-b)2=r2
当圆心在原点时
a=b=0，圆的标准方程为：x2+y2=r2
(2)由于圆的标准方程中含有
a,
b,
r三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程.
(3)会判定点与圆的位置关系．
小结