2.3 空间直角坐标系 课件 51张PPT

(共51张PPT)
空间直角坐标系
x
O
数轴上的点可以用
唯一的一个实数表示
-1
-2
1
2
3
A
B
数轴上的点
问题引入
x
y
P
O
x
y
(x,y)
平面中的点可以用有序实数对(x，y)来表示点
平面坐标系中的点
问题引入
y
O
x
在教室里同学们的位置坐标
讲台
y
O
x
教室里某位同学的头所在的位置
z
实例
如何确定空中飞行的飞机的位置？
1、空间直角坐标系的建立
在空间取定一点O
从O出发引三条两两垂直的直线
选定某个长度作为单位长度
(原点)
(坐标轴)

O
x
y
z
1
1
1
讲授新课
右手系
X
Y
Z
作图：
一般的
使
通过每两个坐标轴的
平面叫
坐标平面,
O为坐标原点
x轴,y轴,z轴叫
坐标轴
Ⅶ
面
面
面
空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
2、空间直角坐标系的划分

P
Q
R
y
x
z


1
1
M

1

3、空间中点的坐标
对于空间任意一点M，要求它的坐标
方法一：过M点分别做三个平面分别垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P、Q、R，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值叫做
P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。

1
1
1

M

P0
x
y
z
M点坐标为
(x,y,z)
P1
方法二：过M点作xOy面的垂线，垂足为
点。点
在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足
在z轴上的坐标z就是P点的竖坐标。
Ｘ
Ｙ
O
x
y
z
Px
Pz
x
z
y
P
Py
反之：（x,y,z)对应唯一的点P
空间的点P
有序数组
二、空间中点的坐标
有序实数组（x,y,z）叫做点P在此空间
直角坐标系中的坐标，记作P（x,y,z）
其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的
纵坐标,z叫做点P的竖坐标
点P
（x，y，z）
在空间直角坐标系中，作出点（５,４,６）.
例１
分析：
o
x
y
z
Ｏ
从原点出发沿x轴
正方向移动５个单位
Ｐ1
Ｐ1
沿与y轴平行的方向
向右移动４个单位
Ｐ2
Ｐ2
沿与z轴平行的方向
向上移动６个单位
Ｐ
Ｐ
（５,４,６）
Ｐ１
５
Ｐ2
４
６
如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为
AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角
坐标系，求长方体各个顶点的坐标。
例2
y
x
z
A（0，0，0）
B（12，0，0）
C（12，8，0）
D（0，8，0）
C’（12，8，5）
B’（12，0，5）
A’（0，0，5）
D’（0，8，5）
12
5
8
如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为
AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角
坐标系，求长方体各个顶点的坐标。
例2
y
x
z
A（0，0，0）
B（12，0，0）
C（12，8，0）
D（0，8，0）
C’（12，8，5）
B’（12，0，5）
A’（0，0，5）
D’（0，8，5）
在平面xOy的点有哪些
这些点的坐标有什么共性
如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为
AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角
坐标系，求长方体各个顶点的坐标。
例2
y
x
z
A（0，0，0）
B（12，0，0）
C（12，8，0）
D（0，8，0）
C’（12，8，5）
B’（12，0，5）
A’（0，0，5）
D’（0，8，5）
在平面xOz的点有哪些
这些点的坐标有什么共性
如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为
AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角
坐标系，求长方体各个顶点的坐标。
例2
y
x
z
A（0，0，0）
B（12，0，0）
C（12，8，0）
D（0，8，0）
C’（12，8，5）
B’（12，0，5）
A’（0，0，5）
D’（0，8，5）
在平面yOz的点有哪些
这些点的坐标有什么共性
xoy平面上的点竖坐标为0
yoz平面上的点横坐标为0
xoz平面上的点纵坐标为0
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0
z轴上的点横坐标和纵坐标都为0
y轴上的点横坐标和竖坐标都为0
一、坐标平面内的点
二、坐标轴上的点
规律总结：

O
x
y
z
1
1
1

A

D

C

B

E

F
O
x
y
z
P(x,y,z)
四、空间中点的射影点与对称点坐标
1.点P(x
,
y
,
z)
在下列坐标平面中的射影点为：
(1）在xoy平面射影点为P1__________;
(2)在xoz平面射影点为P2__________;
(3)在yoz平面射影点为P3__________;
;
P1
P2
(x,y,0)
(x,0,z)
P3
(0,y,z)
对称点
x
y
O
x0
y0
(x0,y0)
P
(x0
,
-y0)
P1
横坐标不变，
纵坐标相反。
(-x0
,y0)
P2
横坐标相反，
纵坐标不变。
P3
横坐标相反，
纵坐标相反。
-y0
-x0
(-x0
,
-y0)
空间对称点
点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标
(1)与点M关于x轴对称的点
(2)与点M关于y轴对称的点
(3)与点M关于z轴对称的点
(4)与点M关于原点对称的点
(5)与点M关于xOy平面对称的点
(6)与点M关于xOz平面对称的点
(7)与点M关于yOz平面对称的点
(x,-y,-z)
(-x,y,-z)
(-x,-y,z)
(-x,-y,-z)
(x,y,-z)
(x,-y,z)
(-x,y,z)
规律总结：
关于谁对称谁不变
设点A（x1，y1，z1），点
B（x2，y2，z2），则线段AB的中点M的坐标如何？
空间两点中点坐标公式
【例3】（1）在空间直角坐标系中，点P（-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是(
)
(A)（-2,1,-4)
(B)(-2,-1,-4)
(C)(2,-1,4)
(D)(2,1,-4)
（2）在空间直角坐标系中，点P（-2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是(
)
(A)（-2,1,-4)
(B)(-2,-1,-4)
(C)(2,-1,4)
(D)(2,1,-4)
思路点拨：首先观察点关于坐标轴或坐标平面的对称点，在空间直角坐标系中写出结果.
【练一练】1.在空间直角坐标系中，点P（-2，1，4）关于点M（2，-1，-4）的对称点的坐标是（
）
(A)（0，0，0）
(B)（2，-1，-4）
(C)（6，-3，-12）
(D)（-2，3，12）
2.在空间直角坐标系中，点P（2，-3，4）关于点（0，0，0）的对称点的坐标是_______.
一、选择题（每题5分，共15分）
1.点M（-3,0,0),N(3,-4,0)在空间直角坐标系中的位置分别是在(
)
(A)x轴上、y轴上
(B)x轴上、xOy平面上
(C)y轴上、xOz平面上
(D)xOy平面上，yOz平面上
【解析】选B.由M的纵坐标、竖坐标都为0，知点M在x轴上，因为点N的竖坐标为0，故点N在xOy平面上.
2.（2010·济南高一检测）已知点A（2，3，-4）,B(0,4,7)，则线段AB的中点坐标是(
)
(A)（2,7,3)
(B)
(C)(2,-1,-11)
(D)
【解析】选B.由中点坐标公式可得AB中点坐标为
即
3.已知空间直角坐标系中三点，点A与点B关于M对称，且已知A点的坐标为（3，2，1），M的坐标为（4，3，1），则B点的坐标为(
)
(A)（5,4,1)
(B)(5,1,4)
(C)(1,4,5)
(D)(1,5,4)
【解析】选A.设B点的坐标为(x,y,z),则有
解得x=5,y=4,z=1,
故B点的坐标为(5,4,1).
二、填空题（每题5分，共10分）
4.空间直角坐标系中，点M(3,-1,2)在xOy平面上的射影为M1，则点M1关于x轴的对称点M2的坐标为______.
【解析】M在xOy平面上的射影M1的竖坐标为0，
∴M1（3,-1,0)，点M2的横坐标与M1的横坐标相同，竖坐标、纵坐标分别为M1竖坐标、纵坐标的相反数，故得M2（3,1,0).
答案：（3,1,0)
5.如图所示，以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则CC1中点的坐标为________.
【解题提示】先求C与C1点坐标，利用中点坐标公式求其中点.
【解析】易知点C的坐标为（1,1,0)，点C1的坐标为（1,1,1),故中点坐标为（1,1,
).
答案：(1,1,
)
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
6.设x,y为任意实数，相应的所有点P（x,y,3)的集合是什么图形？
【解题提示】利用空间想象能力，抓住点P的竖坐标为3这一特征构造图形.
【解析】在z轴上取点A（0,0,3)，过点A作与z轴垂直的平面，则此平面内每一点的竖坐标均为3，而横坐标x，纵坐标y可取任意实数，因此P（x,y,3)的集合表示过A（0,0,3)且与z轴垂直的平面.
7.画一个长方体ABCO-A1B1C1O1，使坐标轴
的方向沿着一个顶点相邻的三条棱，以棱
OA，OC，OO1所在的直线为坐标轴，如图，
OA=4，OC=3，OO1=5，M、N分别是A1B1，
BB1的中点.求M、N的坐标，AC与BO交点的坐标，以及AC1与A1C的交点的坐标.
【解析】点M的x轴坐标与z轴坐标和点A1，B1的x轴坐标与z轴坐标相同，y轴坐标为A1、B1的y轴坐标的算术平均数，故点M的坐标为
同理得点N的坐标为
由几何性质知AC与BO的交点即AC（或BO）的中点，其x轴坐标与y轴坐标为A,C的x轴坐标与y轴坐标的算术平均数，z轴坐标与A的z轴坐标相同，故AC与BO的交点的坐标为
由几何性质知AC1与A1C的交点即AC1（或A1C）的中点，其x轴坐标，y轴坐标与z轴坐标均为点A，C1的x轴坐标，y轴坐标与z轴坐标的算术平均数，故AC1与A1C的交点的坐标为
1.（5分）设x为任意实数，相应的所有点P(x,2,3)的集合表示的图形是(
)
(A)x轴
(B)与x轴平行的直线
(C)平面yOz
(D)与x轴垂直的平面
【解析】选B.取点A（0,2,0)，过点A作与y轴垂直的平面α，则该平面上每一点的纵坐标都是2.
取点B（0,0,3)，过点B作与z轴垂直的平面β，则该平面上每一点的竖坐标都是3.
若α∩β=l，可知直线l与平面yOz交于点C(0,2,3)，则直线l上任一点的坐标均可写成（x,2,3)的形式.
所以P（x,2,3)表示的集合是过点C(0,2,3)且与x轴平行的直线.
2.（5分）已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为_____.
【解析】分别过点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)作与yOz平面,xOz平面,xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(1,1,1)或过点(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)作与yOz平面，xOz平面,xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(-1,-1,-1).
答案：(1,1,1)或(-1,-1,-1)
空间对称点
3.（5分）xOy平面内点的坐标的特点是______.
【解析】由于点在xOy平面内，故其竖坐标一定为0，而横、纵坐标则可能不为0.
答案：竖坐标是0
4.（15分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E、F分别为D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=
CD，H为
C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H点的坐标.
【解题提示】建立适当的坐标系，根据正方体的棱长为
1，求出各点的坐标.
【解析】如图所示，以D为原点，DA所
在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1
所在直线为z轴建立空间直角坐标系.因
为点E在z轴上，故其横坐标、纵坐标都为0，而E为DD1的中
点，所以E（0，0，
）；由F作FM⊥AD于M，FN⊥DC于N，易
知FM=
，FN=
，故F（
，
，0）；点G在y轴上，其
横坐标、竖坐标都为0，又GD=
故G（0，
0）；由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故HK=
CK=
所以DK=
故H（0，
）.
【总一总★成竹在胸】
1、空间直角坐标系的建立(三步);
2、空间直角坐标系的划分(八个卦限);
3、空间中点的坐标(一一对应);
4、特殊位置的点的坐标;
5、空间点的对称问题。