3.1.1方程的根与函数的零点(共36张PPT)

(共36张PPT)
3.1.1 方程的根
与函数的零点
新课导入
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法……
求下列方程的根：
(1)2x-1=0 ； (2)x2-2x-3=0.
方程－x３-３x＋５=0的根怎么求？
回顾旧知，发现问题:
问题1
问题2
下列一元二次方程及其相应的二次函数图象有什么关系？
与函数
（1）
（2）
与函数
与函数
（3）

探究1




函数的图象与x轴交点
方程
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
y= x2-2x-3
y= x2-2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2-2x-3=0










x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.






x
y
0
－1
3
2
1
1
2



5
4
3



.
.
.
.
.
y





x
0
－1
2
1
1
2


y= x2-2x+3

对于一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

探究2
动脑思考一下




方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根



x
y
x1
x2
0



x
y
0
x1



x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
函数的零点定义：
对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
零点指的是一个实数.

零点是一个点吗?
知识要点
注意：

　　二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根有什么关系?
的零点即为方程
的根．
思考
的图像与x轴的
的根．
交点的横坐标即为方程

零点的求法
等价关系
对任意的方程f(x)=0与函数y=f(x)
知识要点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点

函数y=f(x)有零点
代数法
图像法 或几何法
1.通过求方程的根来找出函数的零点
2.利用函数图像的性质找出函数的零点
1.前面问题2：方程-x３-３x＋５=0的根怎么求？
解：令f(x)= -x３-３x＋５，做出函数f(x)的图像，如下：











o
1
2
-1
-2
2
4
6
-2
-4

可知函数图像与x轴有交点，所以说方程的
-x３-３x＋５=0的根是x=1.

例题
解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下：它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根.
.
.
.
.
.








x
y
0
－1
3
2
1
4
8
6
2


－2
4



2.方程－x2＋3x＋5＝0有根吗？有几个；
分析：求方程的根就是看其相应函数与x轴的交点.
解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，
令f(x)= 2x2－4x＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下：它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根.






x
y
0
－1
3
2
1
1
2



5
4
3

.
.
.
.
.
3.方程2x(x－2)＝－3有根吗？有几个；
分析：看方程有根否就是看其相应函数与x轴的有无交点.
解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出函数f(x)的图象，如下：它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实根.

.
.
.
.
.







x
y
0
－1
3
2
1
1
2



5
4
3
6




4
4.方程 x2 ＝4x－4有根吗？有几个.
函数 f(x)=x2 -4x+4有零点吗？有几个.
函数f(x)=2x(x－2)+3有零点吗？有几个；
函数f(x)=－x2＋3x＋5有零点吗？有几个；
其实就是考虑f(x)=0的根的情况；
回顾思考
求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点.

下面函数
的图象
1 在区间
上______(有/无)零点；
·
_____0（＜或＞）．
上______(有/无)零点；
·
_____0（＜或＞）．
2 在区间
·
上______(有/无)零点；
_____0（＜或＞）．
3在区间
有
有
有
＜
＜
＜
观察1



















0
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
x
y




观察2

观察二次函数 的图像
1. 在区间
上______(有/无)零点；
·
_____0（＜或＞）．
有
＜
2. 在区间[2,4]上_____（有/无）零点；

有
＜
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.
即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.
知识要点
勘根定理
思考
（1）若只给条件f(a)·f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？
（2）函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：且f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内函数就没有零点？
看以下图像












x
y
0


0
y
x




0
y
x




0
y
x

若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：且函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)·f(b)<0？























x
y
0
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：

（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点
f(a)·f(b)<0.
结论
（1） f(a)·f(b)<0
函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点.
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）


例1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数,并指出零点所在的大概区间.
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
.
.
.
.
.
.
.
.
.


x
0
－2



－4
－6


10
5

y


2
4



10
8
6


12
14








8
7
6
4
3
2
1
9
由表3-1和图3.1—3可知
f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
表3-1
图3.1—3
由于函数f(x)在定义(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.
说明这个函数在区间(2,3)内有零点.
例2 如图是一个二次函数y=f(x)的图像
（1）写出这个二次函数的零点；
（2）写出这个二次函数的解析式；
（3）试比较f(-4)f(-1),f(0)f(2)与0的大小关系.
分析:先观察图像找出零点,然后把零点代入二次函数的一般式求得这个函数的解析式.
1．函数零点的定义.
2．三个等价关系.
3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及
个数的判断.
课堂小结
⑴若是一元一次或一元二次方程,用公式法,
且确定了根的值．
⑵图象法：函数y=f(x)图象与x轴有交点
方程f(x)=0有实数根．


4.确定方程f(x)=0的根存在性的方法
⑶利用函数性质：
若函数y=f (x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f (a)·f (b)＜0,则函数y=f (x)在区间(a, b)内有零点.
即存在c ∈(a, b),使得f (c)=0,这个c就是方程f (x)=0的根.
勘根定理

课堂练习
y=-x2-x+20； (2)y=x3-2x2 -x+2.
1.求下列函数的零点:
求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点．
解：（1）令-x2-x+20=0，则解得方程的根
为x=-5,x=4,所以此函数的有两个零点
是x=-5,x=4.
（2）令x3-2x2 -x+2=0，则解得方程的根为
x=2,x=1,x=-1,所以此函数有三个零点
分别是x=2,x=1,x=-1.
(3)y=lg(x-1)
解：令lg(x-1)=0,这个方程的根为
x=2，所以说此函数的零点是x=2.
2.函数y= f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的曲线，且f(a) f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）内 （ ）
A.至少有一个零点
B.至多有一个零点
C.只有一个零点
D.有两个零点
A
3．若方程
在
内恰
的取值范围（ ）
有一解，则
A. a<-1 B. a>1
C. -1B
分析：令
在
内恰有一解，则

4.函数f(x)=lnx-2/x的零点所在的大致区间（ ）
A. (1,2) B. (2,3)
C. (1,1/e)和(3,4) D. (e,+∞)
B
分析：判断区间（a,b）是否为f(x)零点所在的区间，只要判断f(a).f(b)<0是否成立.经代入计算得
f(2)=ln2 -1<0,f(3)=ln3 -2/3>0
所以f(2).f(3)<0,
所以f(x)在（2，3）内有零点.
选B.
5.若函数y=f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是 （ ）
A.函数f(x)在区间（0，1）内有零点
B.函数f(x)在区间（1，2）内有零点
C.函数f(x)在区间（0，2）内有零点
D.函数f(x)在区间（0，4）内有零点
D
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?
7.函数y=| log2|x|-1|有几个零点?
解：令| log2|x|-1|=0，则方程有几个根就有几个零点．由此得到方程有两个根分别是x=+2，x=-2,所以函数有两个零点.
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?