3.2.1几类不同增长的函数模型(共37张PPT)

(共37张PPT)
3.2.1 几类不同增长
的函数模型





y=ax
y=ax+b
y=lnx
新课导入
函数是描述客观世界变化的规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。例如：澳大利亚的兔子数“爆炸”.
澳大利亚兔子
1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
澳大利亚兔子数“爆炸”

想一想：
这种现象可以用哪个函数模型来描述呢？
在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；
在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．
实际问题实际分析，那么如何选择恰当的函数模型来刻画呢？
可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的.
前期
后期
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：　
方案一：每天回报40元.　　　　　　　　　
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一
天多回报10元.　　　　　
方案三: 第一天回报0.4元，以后每天的回　
报比前一天翻一番.　　
请问，你会选择哪种投资方案？　　　　　
分析：先建立三种方案所对应的函数模型，方案：

通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.
（1）涉及哪些数量关系？
（2）如何用函数描述这些数量关系？

探究1
我们来计算三种方案所得回报的增长情况：


















x/天
方案一
方案二
方案三
y/元
y/元
y/元
增加量
增加量
增加量
1
2
3
40
40
40
0
0
10
20
30
10
10
0.4
0.8
1.6
0.4
0.8
0
4
5
6
7
8
…
30
…
…
…
…
…
…
40
40
40
40
40
40
0
0
0
0
0
40
50
60
70
80
300
10
10
10
10
10
10
3.2
6.4
12.8
25.6
51.2
214748364.8
1.6
3.2
6.4
12.8
25.6
107374182.4

从表格中获取信息，体会三种函数的增长差异。
下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：








40
80
120
160
y







２
４
６
８
10
12
x
o

y=40
y= 10x

我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度
要快得多,从中体会“指数爆炸”的含义.
下面再看累计的回报数：
结论：投资6天以下，应选择第一种投资方案；投资7天，应该选择方案一或方案二；投资8－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案.

















天数
回报/元

方案
一
二
三
40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：
其中哪个模型能符合公司的要求？

例2涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？

我们不妨先作出函数图象：


通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。








400
600
800
1000
1200

200
1
2
3
4









5
6
7
8
x
y
o




对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。
y=5
y=0.25x
列表计算确认上述判断：
2.5
1.02
2.18
5
1.04
2.54
…
…
…
4.95
4.44
5.04
4.442
…
…
…
4.55













模型
奖金/万元
利润
10
20
800
810
1000
…
…
y＝0.25X
当x>20时，y>5所以该模型不符合要求.
可知道在区间（800，810）内有一点x0，满足 所以说当x>x0时，y>5,该模型也不符合要求.

x

y
o
我们来看函数 的图象:
问题:当 时,奖金是否不超过利润的25%呢?


10
对数函数，指数函数和幂函数在(0,+∞)上都是增函数，但是它们的增长是有差异的，这种差异具体情况是怎么样的呢？

在[10，1000]上总是小于0.
综上所述:模型 确实符合公司要求.
对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x 其中x>0.
思考1:观察三个函数的自变量与函数值对应 表, 这三个函数增长的快慢情况如何？

…
1.766
1.585
1.379
1.138
0.848
0.485
0
-0.737
-2.322
y=log2x
…
11.56
9
6.76
4.84
3.24
1.96
1
0.36
0.04
y=x2
…
10.556
8
6.063
4.595
3.482
2.639
2
1.516
1.149
y=2x
…
3.4
3.0
2.6
2.2
1.8
1.4
1
0.6
0.2
x


















探究2









x
y
o
1
1
2
4

y=2x

y=x2

y=log2x
思考2：观察在同一坐标系中这三个函数图象，标出使不等式log2x<2xx 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256
y=x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64
思考3:对于函数模型y=2x和y=x2，观察下列自变量与函数值对应表：x>0时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？









x
y
o
1
1
2
4

y=2x

y=x2
由图像知
2个交点
思考4:上述不等式表明，这三个函数模型增长的快慢情况如何？









x
y
o
1
1
2
4

y=2x

y=x2

y=log2x
思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间
(0,+∞)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?
思考2:一般地，指数函数y=ax (a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况是如何变化的？

探究3
一般幂、指、对函数模型（y=xn,y=ax ,y= logax ）的差异.
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax 会小于xn ，但是由于ax 的增长快于xn 的增长，因此总存在一个x0 ，当x> x0时，就会有ax > xn.
思考3:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞)上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn?
思考4:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何变化? xn增长速度的快慢程度如何变化？




x
y
o
1
y=logax

y=xn

在区间(0,+∞)上，随着x的增大， logax增长得越来越慢，图像就像是渐渐与x轴平行了一样，尽管在x的一定变化范围内， logax可能会大于xn ，但由于logax的增长慢于xn 的增长，因此总存在一个x0 ，当x> x0时，就会有logax > xn
思考5:对于指数函数y=ax(a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，总存在一个x0，使x>x0时,ax,logax,xn三者的大小关系如何？
logax 指数函数y=ax (0


x
y
o
1
y=ax

y=xn

y=logax



总存在一个x0 ，当x> x0时，就会有xn>ax >logax.
例3 某工厂今年1月，2月，3月生产某种产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系.
模拟函数可以选用
y=ax2+bx+c或y=a·bx+c.已知4月份该产品的产量为1.37万件，试选用一个适当的模拟函数.
解：分别求出模拟函数中的a,b,c。假如是模拟函数y=ax2+bx+c
得到a=-0.05,b=0.35,c=0.7，所以此模拟函数为
y=-0.05x2+0.35x+0.7，则四月份的产量是1.2万件.
假如是模拟函数y=a·bx+c.
得到a=-0.8,b=0.5,c=1.4，所以此模拟函数为
y=-0.8×0.5x+1.4，所以四月份的产量为1.45万件.
由于已知四月份的产量为1.37万件，与1.45万件更接近，所以选用模拟函数y=a·bx+c作为估计以后每月的产量.
确定函数模型

利用数据表格、函数

体会直线上升、指数
图象讨论模型
爆炸、对数增长等不同类型函数的含义.
课堂小结
1.购买收集“全球通”卡，使用需付基本月租费50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元（打出和接听的标准相同）；购买“神州行”卡，使用时不收基本月租费，但在市内通话时每分钟花费为0.60元（打出和接听的标准相同）。若某用户只在市内用手机，并且每月手机费预算为120元，在不考虑其他因素的情况下，他购买这两种卡中的＿＿＿＿更合算.
课堂练习
“神州行”卡
2.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是 ( )


0
t
d




0
t
d




0
t
d


0
t
d




A
B
C
D
D
3.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( )
A. 511个 B. 512个
C. 1023个 D. 1024个
B
4.某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A产品连续两次提价20％，B产品连续两次降价20％，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A、B产品各一件，盈亏情况为 ( )
A．不亏不赚　 B．亏5.92元
C．赚5.92元 D．赚28.96元
B
5.某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（增长率=增长值/原产值） ( )
A. 97年 B.98年
C. 99年 D.00年
B
6.向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是 ( )



h
V
0


H

B
7.某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：
（1）买一只茶壶赠送一只茶杯；
（2）按总价的92%付款．
某顾客需买茶壶4只，茶杯若（不少于4只），若购买茶杯 x(只)付款y（元），试分别建立两种优惠办法中x与y之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？
解：如果按照优惠办法（1）则茶杯x与付款y之间的函数关系式为y=5x+60.如果按照优惠办法（2）则茶杯x与付款y之间的函数关系式为y=(80+5x）×0.92=73.6+4.6x，由图可知：


0
x
y





60
-6
-12
y=5x+60

-16

73.6
y=73.6+4.6x


两函数有一个交点，即5x+60=73.6+4.6x，得到x=34.即在这一点两种优惠方式付款都一样。在x<34时，优惠方法（1）划算，在x>34时，优惠方法（2）换算.