人教版数学九年级下册?同步课时训练
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数图象和性质的综合应用
自主预习 教材感知
要点1 反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义
过双曲线y＝上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于 ，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 ．
要点2 反比例函数图象和性质的综合应用
1. 交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数解析式联立成方程组求解．若方程组有解，则两者有 ；若方程组无解，则两者无 ．
2. 函数值大小比较：函数图象中处于上方的部分，函数值 ，处于下方的部分，函数值 ．
3. 图象的对称性：反比例函数的图象关于原点成 ，常用来求点的坐标和图形的面积等．
课后集训 巩固提升
1. 如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝过点A，则k的值是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
第1题 第2题
2. 如图，在直角坐标系中，点A在函数y＝(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y＝(x＞0)的图象交于点D，连接AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于( )
A．2 B．2 C．4 D．4
3. 一次函数y1＝k1x＋b和反比例函数y2＝(k1·k2≠0)的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是( )
A．－2＜x＜0或x＞1 B．－2＜x＜1
C．x＜－2或x＞1 D．x＜－2或0＜x＜1
第3题 第4题
4. 函数y1＝x(x≥0)，y2＝(x>0)的图象如图所示，下列结论：①点A(2，2)是两函数图象的交点；②当x>2时，y2>y1；③直线x＝1分别与两函数图象相交于B，C两点，则线段BC的长为3；④当x逐渐增大时，y1的值随x的增大而增大，y2的值随x的增大而减小．其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
5. 已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2－1＝0的根的情况是( )
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实根 D．无法确定
第5题 第6题
6. 如图，反比例函数y＝的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为 ．
7. 如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接AD，CB，则四边形ACBD的面积为 ．
第7题 第8题
8. 如图，点M是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k的值为 ．
9. 如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为 ．
第9题 第10题
10. 如图，在反比例函数y＝(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝ ．
11. 如图是函数y＝与函数y＝在第一象限内的图象，点P是y＝的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y＝的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y＝的图象于点D.
(1)求证：D是BP的中点；
(2)求出四边形ODPC的面积．
12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，点A(0，3)，B(－4，0)．
(1)求图象经过点C的反比例函数的解析式；
(2)设P是(1)中反比例函数图象上一点，以P，O，A为顶点的三角形的面积与△COD的面积相等，求点P的坐标．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋5和y＝－2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)设一次函数y＝x＋5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
14. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式；
(2)反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形，如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
参 考 答 案
自主预习 教材感知
要点1 |k|
要点2 1. 交点 交点 2. 大 小 3. 中心对称
课后集训 巩固提升
1. A 2. C 3. D 4. D 5. C
6. 4
7. 8
8. 4
9. －4
10.
11. (1)证明：∵点P在函数y＝的图象上，∴设P点坐标为(，m)．∵点D在函数y＝的图象上，BP∥x轴，∴D点坐标为(，m)．由题意可得BD＝，BP＝，故D是BP的中点．
(2)解：S四边形PBOA＝·m＝6.由题意得，S△OBD＝，S△OAC＝.∴S四边形ODPC＝S四边形PBOA－S△OBD－S△OAC＝6－－＝3.
12. 解：(1)∵A(0，3)，B(－4，0)，∴OA＝3，OB＝4，由勾股定理可得AB＝5.又四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，∴C(－4，－5)．设反比例函数的解析式为y＝(k≠0)，把(－4，－5)代入y＝可得k＝－4×(－5)＝20，∴y＝.
(2)∵AD＝AB＝5，OA＝3，∴OD＝2，∴SCOD＝×2×4＝4.设点P的横坐标为a，则×OA×|a|＝4，即×3×|a|＝4，解得a＝±.当点P在第一象限时，a＝，把x＝代入y＝可得y＝，即P(，)；当点P在第三象限时，a＝－，把x＝－代入y＝可得y＝－，即P(－，－)．综上所述，点P的坐标为(，)或(－，－)．
13. 解：(1)由一次函数y＝x＋5和y＝－2x的图象交于点A，令x＋5＝－2x，解得x＝－2，∴点A的坐标为(－2，4)，将点A(－2，4)代入y＝，得k＝－2×4＝－8.故反比例函数的解析式为y＝－.
(2)过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BE⊥x轴于点E，则AC＝4，令x＋5＝－，解得x1＝－2，x2＝－8，∴点B的坐标为(－8，1)，则BE＝1.设直线AB与x轴交于点F，对于y＝x＋5，令y＝0，得x＝－10，即OF＝10，则S△ABO＝S△AOF－S△BOF＝OF·AC－OF·BE＝×10×4－×10×1＝15.故△ABO的面积为15.
14. 解：(1)∵AC＝BC，CO⊥AB，∴AO＝BO，∵A(－4，0)，∴B(4，0)，∴点P坐标为(4，2)，把P(4，2)代入y＝得m＝8，∴反比例函数的解析式为y＝.把A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b得：解得∴一次函数的解析式为y＝x＋1.
(2)存在点D，使四边形BCPD为菱形．∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC.∵PB⊥x轴，∴∠APB＋∠CAB＝90°，∠PBC＋∠ABC＝90°，∴∠APB＝∠PBC，∴CP＝CB，由y＝x＋1，知点C坐标为(0，1)．过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝的图象于点D，连接PD，BD.∴点D坐标为(8，1)，∴BP⊥CD，∴PE＝BE＝1，∴CE＝DE＝4，∴PB与CD互相垂直平分，∴四边形BCPD为菱形．∴点D(8，1)即为所求．
