2019-2020学年青岛新版九年级上册数学《第1章 图形的相似》单元测试卷（解析版）

2020年青岛新版九年级上册数学《第1章 图形的相似》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．将直角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新的三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
2．通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（　　）
A．△ABC放大后，∠A是原来的3倍
B．△ABC放大后周长是原来的3倍
C．△ABC放大后，面积是原来的3倍
D．以上都不对
3．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（　　）

A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（　　）

A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
5．如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OPA与△OAB相似，则点P的坐标为（　　）

A．（1，0） B．（，0） C．（ ，0） D．（2，0）
6．两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的对应边的比为（　　）
A．1：16 B．16：1 C．1：2 D．2：1
7．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是（　　）

A． B．
C． D．
8．如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）

A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S四边形DBCE＝（　　）

A．2：5 B．1：3 C．3：5 D．3：2
10．如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：　 　（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．

12．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是　 　．

13．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝4，BC＝5，AC＝6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是　 　，△A′B′C′的周长是　 　．
14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于　 　．

15．如图，点P为∠MON平分线OC上一点，以点P为顶点的∠APB两边分别与射线OM、ON相交于点A、B，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA?OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．如果∠MON＝50°，∠APB是∠MON的关联角，那么∠APB的度数为　 　．

16．1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；此时，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是　 　米．
17．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于　 　；
（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）　 　．

18．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是　 　．

三．解答题（共8小题）
19．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　 　；
②当菱形的“接近度”等于　 　时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．

20．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．

21．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？

22．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且∠AQP＝90°．
求证：△ADQ∽△QCP．

23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上的一点，DE⊥AB于点E，AC＝4，BC＝3．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．

24．如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．

25．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．

26．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k1＝2，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2＝1．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？




2020年青岛新版九年级上册数学《第1章 图形的相似》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．将直角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新的三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
【分析】因为直角三角形三边扩大同样的倍数，而角的度数不会变，所以得到的新的三角形是直角三角形．
【解答】解：因为角的度数和它的两边的长短无关，所以得到的新三角形应该是直角三角形，故选B．
【点评】主要考查“角的度数和它的两边的长短无关”的知识点．
2．通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（　　）
A．△ABC放大后，∠A是原来的3倍
B．△ABC放大后周长是原来的3倍
C．△ABC放大后，面积是原来的3倍
D．以上都不对
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方来判断．
【解答】解：用一个能放大3倍的放大镜看△ABC，则看到的三角形与△ABC相似，相似比是3：1，
A、两个相似三角形的对应角相等，故A错；
B、周长的比等于相似比，即△ABC放大后，周长是原来的3倍，故B正确；
C、面积的比是相似比的平方，即9：1，△ABC放大后，面积是原来的9倍，故C错；
D、A选项错误，故D错．
故选：B．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
3．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（　　）

A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解答】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则
设DF＝xcm，得到：

解得：x＝4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．

【点评】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（　　）

A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到＝，即＝，然后利用比例的性质计算即可．
【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF＝AB＝a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
∴（）2＝2，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
5．如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OPA与△OAB相似，则点P的坐标为（　　）

A．（1，0） B．（，0） C．（ ，0） D．（2，0）
【分析】根据点D的画法可得出AD平分∠OAB，由角平分线的性质结合相似三角形的性质可得出∠OBA＝∠OAB，利用二角互补即可求出∠OBA＝∠OAP＝30°，通过解含30度角的直角三角形即可得出点P的坐标．
【解答】解：由点D的画法可知AD平分∠OAB．
∵△OPA∽△OAB，
∴∠OAP＝∠OBA＝∠OAB．
∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝60°，∠OAP＝30°，
∴AP＝2OP．
在Rt△OAP中，∠AOP＝90°，OA＝2，
∴OA＝＝OP，
∴OP＝，
∴点P的坐标为（，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了基本作图、角平分线的性质、相似三角形的性质以及解含30度角的直角三角形，求出∠OAP＝30°是解题的关键．
6．两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的对应边的比为（　　）
A．1：16 B．16：1 C．1：2 D．2：1
【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们的对应边的比＝＝1：2．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
7．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定，易得出△EFG的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．
【解答】解：∵小正方形的边长为1，
∴在△EFG中，EG＝，FG＝2，EF＝，
A中，一边＝3，一边＝，一边＝，三边与△ABC中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A错误；
B中，一边＝1，一边＝，一边＝，
有，即三边与△EFG中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B正确；
C中，一边＝1，一边＝，一边＝2，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C错误；
D中，一边＝2，一边＝，一边＝，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
8．如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）

A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
【分析】由图可得∠A＝∠A，又由有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确，又由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，即可得C正确，利用排除法即可求得答案．
【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，故A选项正确；
∴当∠APC＝∠ACB时，△ACP∽△ABC，故B选项正确；
∴当时，△ACP∽△ABC，故C选项正确；
∵若，还需知道∠ACP＝∠B，∴不能判定△ACP∽△ABC．故D选项错误．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S四边形DBCE＝（　　）

A．2：5 B．1：3 C．3：5 D．3：2
【分析】由题可知△ADE∽△ABC相似且相似比是1：2，根据相似比求面积比．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝1：2，
∴△ADE与△ABC的面积之比为1：4，
∴△ADE与四边形DBCE的面积之比是1：3．
故选：B．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
10．如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AE∥CD，
∴△EAF∽△CDF，
∵，
∴，
∴，
∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴＝，
故选：D．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．
二．填空题（共8小题）
11．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：　相似变换　（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．

【分析】本题考查轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，得出正确结果．
【解答】解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．
【点评】本题主要考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．比较容易选错的答案是位似变换．
12．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是　87°　．

【分析】由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得∠A的度数，又由四边形的内角和等于360°，即可求得∠α的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝138°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠α＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝87°．
故答案为：87°．

【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等定理的应用．
13．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝4，BC＝5，AC＝6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是　2：5　，△A′B′C′的周长是　37.5　．
【分析】根据相似三角形的性质及已知求得相似比，再根据周长比等于相似比，即可求得△A′B′C′的周长．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′
∴相似比是6：15＝2：5
∵△ABC的周长是15
∴△A′B′C′的周长是37.5．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．
14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于　　．

【分析】根据对顶角相等得到∠AEC＝∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当＝时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．
【解答】解：∵∠AEC＝∠BED，
∴当＝时，△BDE∽△ACE，
即＝，
∴CE＝．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．
15．如图，点P为∠MON平分线OC上一点，以点P为顶点的∠APB两边分别与射线OM、ON相交于点A、B，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA?OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．如果∠MON＝50°，∠APB是∠MON的关联角，那么∠APB的度数为　155°　．

【分析】由已知条件得到，由于∠BOP＝∠AOP，得到△PBO∽△AOP，根据相似三角形的性质得到∠OBP＝∠OPA，根据等量代换即可得到结论；
【解答】解：∵OA?OB＝OP2，
∴，
∵∠BOP＝∠AOP，
∴△PBO∽△AOP，
∴∠OBP＝∠OPA，
∵∠MON＝50°，
∴∠BOP＝25°，
∴∠OBP+∠BPO＝180°﹣25°＝155°
∴∠APB＝∠BPO+∠APO＝155°；
故答案为：155°
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质得到∠OBP＝∠OPA．
16．1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；此时，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是　125　米．
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：∵同一时刻物高与影长成比例
∴，即＝，
设电视塔的高是x米．则＝
解得x＝12＝
即电视塔的高度为125米．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出电视塔的高度，体现了方程的思想．
17．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于　6　；
（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）　取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求　．

【分析】（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；
（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求
【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3＝6；
（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，
与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，
则四边形DEFG即为所求．
故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．

【点评】此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．
18．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是　﹣2.5　．

【分析】过B和B′向x轴引垂线，构造相似比为1：2的相似三角形，那么利用相似比和所给B′的横坐标即可求得点B的横坐标．
【解答】解：过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E，
∴∠BDC＝∠B'EC＝90°．
∵△ABC的位似图形是△A'B'C，
∴点B、C、B'在一条直线上，
∴∠BCD＝∠B'CE，
∴△BCD∽△B'CE．
∴＝，
又∵＝，
∴＝，
又∵点B'的横坐标是2，点C的坐标是（﹣1，0），
∴CE＝3，
∴CD＝．
∴OD＝，
∴点B的横坐标为：﹣2.5．
故答案为：﹣2.5．

【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据相似三角形的性质求出是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　40　；
②当菱形的“接近度”等于　0　时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．

【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；
（2）不合理，举例进行说明．
【解答】解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．

（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．
20．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．

【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝AB＝1，然后求得EP＝2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．
【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；

（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴GD＝．

【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．
21．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？

【分析】首先设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．
【解答】解：设运动了ts，
根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，
则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），
当△APQ∽△ABC时，，
即，
解得：t＝；
当△APQ∽△ACB时，，
即，
解得：t＝4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
22．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且∠AQP＝90°．
求证：△ADQ∽△QCP．

【分析】由正方形的性质得∠D＝∠C＝90°、即∠PQC+∠QPC＝90°，由∠AQP＝90°知∠AQD+∠PQC＝90°，从而得∠AQD＝∠QPC，即可得证．
【解答】证明：∵∠AQP＝90°，
∴∠AQD+∠PQC＝90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠PQC+∠QPC＝90°，
∴∠AQD＝∠QPC，
∴Rt△ADQ∽Rt△QCP．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握正方形的判定与同角的余角相等是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上的一点，DE⊥AB于点E，AC＝4，BC＝3．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．

【分析】（1）由∠C＝∠DEA＝90°，而∠A是公共角，即可得出△ADE∽△ABC；
（2）可设AD＝x，由△ADE∽△ABC可得＝，根据条件可表示成含x的方程即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB
∴∠DEA＝∠ACB＝90°
而∠A＝∠A
∴△ADE∽△ABC
即得证．

（2）设AD＝x，则由题意知DC＝DE＝4﹣x，
∵AC＝4，BC＝3
∴AB＝5
由△ADE∽△ABC
可得＝
于是有＝
可解得x＝
故当DE＝DC时，AD的长为．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例，从而利用已知线段求未知线段是基本思路．
24．如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．

【分析】利用△CDF∽△ABF及△EGH∽△ABH得到相关比例式，求得BD的值，进而代入和AB有关的比例式，求得AB的值即可．
【解答】解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴＝，
同理可得＝，
∴＝，
∴＝，
解得BD＝6，
∴＝，
解得AB＝5.1．
答：路灯杆AB高5.1m．
【点评】考查相似三角形的应用；利用相似三角形的知识得到BD的长是解决本题的关键．
25．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．

【分析】依据格点△ABC的三边长分别为，2、，将该三角形的各边扩大一定倍数，即可画出与△ABC相似但不全等的格点三角形，进而得出与△ABC相似的格点三角形的最大面积．
【解答】解：如图所示：

如图所示，格点三角形的面积最大，S＝2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8＝6.5

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的判定方法得出是解题关键．把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
26．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k1＝2，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2＝1．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？

【分析】因为四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的对应顶点的连线已经相交于一点了，所以我们只要证明四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD即可；相似具有传递性，所以可证得四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD；又因为位似比等于相似比，所以可求得四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
∵四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，
∴四边形A′B′C′D′∽四边形A″B″C″D″．
∴四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD．
∵对应顶点的连线过同一点，
∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形．
∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k1＝2，
四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2＝1，
∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比为．
【点评】此题考查了位似图形的判定方法与性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．