2019-2020学年青岛新版九年级上册数学《第2章 解直角三角形》单元测试卷（解析版）

2020年青岛新版九年级上册数学《第2章 解直角三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
2．当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°
3．如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（　　）

A． B． C． D．
4．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．计算sin20°﹣cos20°的值是（保留四位有效数字）（　　）
A．﹣0.5976 B．0.5976 C．﹣0.5977 D．0.5977
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cosA＝，那么AB的长是（　　）
A．3 B． C． D．
8．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）

A． cm B． cm C．64 cm D．54cm
9．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为（　　）m．

A．10 B．8 C．6 D．6
10．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）（　　）

A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米
二．填空题（共8小题）
11．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A＝　 　

12．若∠A是锐角，cosA＞，则∠A应满足　 　．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝　 　．
14．在Rt△ABC中，，则cosB的值等于　 　．
15．已知sinA＝，则锐角∠A＝　 　．
16．选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）计算：＝　 　．
（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：　 　0．（可用计算器计算）
17．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则tan∠BAC的值为　 　．

18．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，BC＝4米，∠A＝30°，则斜梁AB＝　 　米．
三．解答题（共8小题）
19．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
22．计算： +（）﹣1﹣4cos45°﹣（）0．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．

24．如图，某中心广场灯柱AB被钢缆CD固定，已知CB＝5米，且．
（1）求钢缆CD的长度；
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？

25．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）

26．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．




2020年青岛新版九年级上册数学《第2章 解直角三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的概念计算即可．
【解答】解：设BC＝x，则AB＝3x，
由勾股定理得，AC＝＝2x，
则tanB＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°
【分析】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答．
【解答】解：∵cos60°＝，cos30°＝，
∴30°＜∠A＜60°．
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角的余弦值随着角度的增大而减小是解题的关键，是基础题，比较简单．
3．如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE＝3，PE＝m，在Rt△POE中求出OP，继而可得sinα的值．
【解答】解：过点P作PE⊥x轴于点E，

则可得OE＝3，PE＝m，
在Rt△POE中，tanα＝＝，
解得：m＝4，
则OP＝＝5，
故sinα＝．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理及同角的三角函数关系，解答本题的关键是求出OP的长度．
4．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°得
∠B+∠A＝90°．
由一个角的正弦等于它余角的余弦，得
cosB＝sinA＝，
故选：B．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的正弦等于它余角的余弦是解题关键．
5．已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：∵sinA＝，∠A为锐角，
∴∠A＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
6．计算sin20°﹣cos20°的值是（保留四位有效数字）（　　）
A．﹣0.5976 B．0.5976 C．﹣0.5977 D．0.5977
【分析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
【解答】解：按MODE，出现：DEG，按sin20﹣cos20，＝后，显示：﹣0.597 7．
故选：C．
【点评】本题考查了熟练应用计算器的能力．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cosA＝，那么AB的长是（　　）
A．3 B． C． D．
【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：∵cosA＝，
∴AB＝，
故选：A．
【点评】本题考查了余弦函数的定义，是所邻的直角边与斜边的比，理解定义是关键．
8．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）

A． cm B． cm C．64 cm D．54cm
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），
故选：C．

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
9．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为（　　）m．

A．10 B．8 C．6 D．6
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinC＝＝，进而得出即可．
【解答】解：∵天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，
∴sinC＝＝，
则＝，
解得：AC＝10，
则坡面AC的长度为10m．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
10．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）（　　）

A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米
【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°＝，构建方程即可解决问题；
【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．

在Rt△CDN中，∵＝＝，设CN＝4k，DN＝3k，
∴CD＝10，
∴（3k）2+（4k）2＝100，
∴k＝2，
∴CN＝8，DN＝6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM＝CN＝8，BC＝MN＝20，EM＝MN+DN+DE＝66，
在Rt△AEM中，tan24°＝，
∴0.45＝，
∴AB＝21.7（米），
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A＝　1.2　

【分析】作BE⊥AC于E，根据tan∠A＝计算即可．
【解答】解：作BE⊥AC于E，则BE＝6，AE＝5，
∴tan∠A＝＝＝1.2
故答案为1.2．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
12．若∠A是锐角，cosA＞，则∠A应满足　0°＜∠A＜30°　．
【分析】首先明确cos30°＝，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．
【解答】解：∵cos30°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴0°＜∠A＜30°．
【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝　　．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
【解答】解：由sinA＝＝知，可设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．
∴tanA＝＝＝．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
14．在Rt△ABC中，，则cosB的值等于　　．
【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝sinA，
∵sinA＝，
∴cosB＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．
15．已知sinA＝，则锐角∠A＝　30°　．
【分析】根据sin30°＝进行解答即可．
【解答】解：∵sinA＝，∠A为锐角，
∴∠A＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
16．选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）计算：＝　　．
（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：　＞　0．（可用计算器计算）
【分析】（Ⅰ）sin60°＝cos30°＝；
（Ⅱ）直接利用计算器计算即可比较．
【解答】解：（Ⅰ）sin60°?cos30°﹣＝?﹣＝﹣＝．
（Ⅱ）sin50°cos40°﹣≈0.0868＞0．
故答案为：（Ⅰ）．
（Ⅱ）＞．
【点评】主要考查了特殊角的三角函数值和计算器的使用．
17．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则tan∠BAC的值为　1　．

【分析】连接BC，由勾股定理求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可得出所求．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC＝＝，AC＝＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故答案为：1．

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
18．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，BC＝4米，∠A＝30°，则斜梁AB＝　8　米．
【分析】利用30°所对的直角边等于斜边的一半可求得AB的长．
【解答】解：∵BC⊥AC，BC＝4，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝8（米）．
【点评】考查的知识点为：直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．
三．解答题（共8小题）
19．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．
【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，如果利用三角函数可以分别在△ABD和△ADC中可以得到sinsB，sinC的表达式，由此即可证明题目的结论．
【解答】证明：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AD＝ABsinB，
在Rt△ADC中，sinC＝，
∴AD＝ACsinC，
∴ABsinB＝ACsinC，
而AB＝c，AC＝b，
∴csinB＝bsinC，
∴＝．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；

（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．

【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；

（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，

设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
22．计算： +（）﹣1﹣4cos45°﹣（）0．
【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝2+2﹣4×﹣1，
＝2+2﹣2﹣1，
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．

【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA＝＝，则可计算出AB＝10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD＝AB＝5；
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDC＝S△ABC，即CD?BE＝?AC?BC，于是可计算出BE＝，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA＝＝，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CD＝AB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC＝S△ABC，即CD?BE＝?AC?BC，
∴BE＝＝，
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，
即cos∠ABE的值为．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
24．如图，某中心广场灯柱AB被钢缆CD固定，已知CB＝5米，且．
（1）求钢缆CD的长度；
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？

【分析】（1）根据三角函数可求得CD；
（2）过点E作EF⊥AB于点F．由∠EAB＝120°，得∠EAF＝60°，再根据三角函数求得AF，从而得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△DCB中，sin∠DCB＝＝，
∴设DB＝4x，DC＝5x，
∴（4x）2+25＝（5x）2，
解得，
∴CD＝米，DB＝米．

（2）如图，过点E作EF⊥AB于点F．
∵∠EAB＝120°，∴∠EAF＝60°，
∴AF＝AE?cos∠EAF＝1.6×＝0.8（米），
∴FB＝AF+AD+DB＝0.8+2+＝（米）．
∴灯的顶端E距离地面米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，运用三角函数可得出答案．
25．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）

【分析】过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0.4x，由AB＝49知x+0.4x＝49，解之求得CH的长，再由EF＝BEsin68°＝3.72根据点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，

设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0.4x，
由AB＝49知x+0.4x＝49，
解得：x＝35，
∵BE＝4，
∴EF＝BEsin68°＝3.72，
则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），
答：点E到地面的距离约为66.7cm．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义．
26．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．

【分析】设EC＝x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE＝AE，可得出方程，解出即可得出答案．
【解答】解：设EC＝x，
在Rt△BCE中，tan∠EBC＝，
则BE＝＝x，
在Rt△ACE中，tan∠EAC＝，
则AE＝＝x，
∵AB+BE＝AE，
∴300+x＝x，
解得：x＝1800，
这座山的高度CD＝DE﹣EC＝3700﹣1800＝1900（米）．
答：这座山的高度是1900米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE及AE的表达式，属于基础题，要能将实际问题转化为数学计算．