2019-2020学年青岛新版九年级上册数学《第3章 对圆的进一步认识》单元测试卷（解析版）

2020年青岛新版九年级上册数学《第3章 对圆的进一步认识》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则sin∠ECB为（　　）

A． B． C． D．
2．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（　　）

A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm
3．下列说法正确的是（　　）
A．等弧所对的圆心角相等
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．经过三点可以作一个圆
D．相等的圆心角所对的弧相等
4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝25°，则∠BOD的度数为（　　）

A．100° B．120° C．130° D．150°
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（　　）

A．35° B．70° C．110° D．140°
6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（　　）

A． B． C． D．
7．⊙O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或外
8．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．经过圆内一点有且仅有一条直径
D．半圆是弧
9．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（　　）

A．△ABC的三边高线的交点P处
B．△ABC的三角平分线的交点P处
C．△ABC的三边中线的交点P处
D．△ABC的三边中垂线的交点P处
10．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　）

A． B．2 C． D．
二．填空题（共8小题）
11．半径为1的⊙O中，两条弦AB＝，AC＝1，∠BAC的度数为　 　．
12．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为　 　米．

13．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝　 　．

14．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝　 　．

15．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为　 　．

16．已知同一平面内存在⊙O和点P，点P与⊙O上的点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为　 　．
17．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　 　．

18．已知等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积为　 　cm2．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为　 　；
（2）连结AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）．

20．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？

21．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．

22．已知：如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．
求证：∠OCF＝∠ECB．

23．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE＝∠DAC．求证：DB＝DC．

24．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为　 　．
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧的长．
（3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系．

25．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A，D，C三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的直径．




2020年青岛新版九年级上册数学《第3章 对圆的进一步认识》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则sin∠ECB为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据垂径定理得到AC＝BC＝AB＝4，设AO＝x，则OC＝OD﹣CD＝x﹣2，在Rt△ACO中根据勾股定理得到x2＝42+（x﹣2）2，解得x＝5，则AE＝10，OC＝3，再由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE＝2OC＝6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE，由三角函数的定义求出sin∠ECB即可．
【解答】解：连结BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
设AO＝x，则OC＝OD﹣CD＝x﹣2，
在Rt△ACO中，∵AO2＝AC2+OC2，
∴x2＝42+（x﹣2）2，
解得：x＝5，
∴AE＝10，OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2，
∴sin∠ECB＝＝＝．
故选：B．

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理、三角函数；由勾股定理求出半径是解决问题的突破口．
2．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（　　）

A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm
【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故选：B．

【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
3．下列说法正确的是（　　）
A．等弧所对的圆心角相等
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．经过三点可以作一个圆
D．相等的圆心角所对的弧相等
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、三角形的外接圆和外心的知识进行判断即可．
【解答】解：等弧所对的圆心角相等，A正确；
三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，B错误；
经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；
相等的圆心角所对的弧不一定相等，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、三角形的外接圆和外心的知识，掌握相关定理并灵活运用是解题的关键．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝25°，则∠BOD的度数为（　　）

A．100° B．120° C．130° D．150°
【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．
【解答】解：∵∠AOD＝2∠ACD，∠ACD＝25°，
∴∠AOD＝50°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（　　）

A．35° B．70° C．110° D．140°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．
【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA?QC＝QP?QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m?QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．

【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．
7．⊙O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或外
【分析】本题先由勾股定理求得点P到圆心O的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点P与⊙O的位置关系．
当d＞r时，点在圆外；
当d＝r时，点在圆上；
当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点P的坐标为（3，4），
∴由勾股定理得，点P到圆心O的距离＝＝5，
∴点P在⊙O上，故选B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：①点P在⊙O上；②点P在⊙O内；③点P在⊙O外．
8．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．经过圆内一点有且仅有一条直径
D．半圆是弧
【分析】利用确定圆的条件及圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、能够完全重合的两条弧是等弧，故错误；
C、经过圆内除圆心外的一点有且只有一条直线，故错误；
D、半圆是弧，正确，
故选：D．
【点评】本题考查了确定圆的条件及圆的认识，解题的关键是能够了解圆的有关定义，难度不大．
9．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（　　）

A．△ABC的三边高线的交点P处
B．△ABC的三角平分线的交点P处
C．△ABC的三边中线的交点P处
D．△ABC的三边中垂线的交点P处
【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
【解答】解：三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．
故选：D．
【点评】考查了三角形的外心的概念和性质．要熟知三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．
10．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【解答】解：取DE的中点O，过O作OG⊥AB于G，连接OC，
又∵CO＝1.5，
∴只有C、O、G三点一线时G到圆心O的距离最小，
∴此时OG达到最小．
∴MN达到最大．
作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∵AC?BC＝AB?CF，
∴CF＝，
∴OG＝﹣＝，
∴MG＝＝，
∴MN＝2MG＝，
故选：C．

【点评】本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OG⊥AB于G，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．半径为1的⊙O中，两条弦AB＝，AC＝1，∠BAC的度数为　15°或105°　．
【分析】分类讨论：当AC与AB在点A的两旁．由OA＝OC＝1，AC＝1，得到△OAC为等边三角形，则∠OAC＝60°，又由OA＝OB＝1，AB＝，得到△OAB为等腰直角三角形，则∠OAB＝45°，所以∠BAC＝45°+60°＝105°；当AC与AB在点A的同旁．有∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°．
【解答】解：如图1，当AC与AB在点A的两旁．
连OC，OA，OB，如图，
在△OAC中，
∵OA＝OC＝1，AC＝1，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC＝60°；
在△OAB中，
∵OA＝OB＝1，AB＝，即12+12＝（）2，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∴∠BAC＝45°+60°＝105°；
如图2，当AC与AB在点A的同旁．
同（1）一样，可求得∠OAC＝60°，∠OAB＝45°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°．
综上所述：∠BAC的度数为：105°或15°．
故答案为：105°或15°．

【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了特殊三角形的边角关系和分类讨论的思想的运用．
12．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为　10　米．

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：设所在的圆的圆心是O．

根据垂径定理，知C，O，D三点共线，
设圆的半径是r，则根据垂径定理和勾股定理，得r2＝（r﹣4）2+64，∴r＝10．
【点评】此类题注意把已知的未知的放到一个直角三角形中，运用垂径定理和勾股定理进行计算．
13．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝　3　．

【分析】连接OC，根据平行线的性质及圆周角与圆心角的关系可得到∠1＝∠2，从而即可求得CE的长．
【解答】解：连接OC，
∵AC∥DE，
∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，
∵∠A＝∠ACO，
∴∠1＝∠2．
∴CE＝BE＝3．

【点评】本题考查了圆周角和圆心角和它所对弦长的关系，并且有效的结合了平行线的性质．
14．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝　28°　．

【分析】根据圆周角定理的推论由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°，再利用互余计算出∠A＝90°﹣∠ABD＝28°，然后再根据圆周角定理求∠BCD的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝62°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝28°，
∴∠BCD＝∠A＝28°．
故答案为28°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
15．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为　52°　．

【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，
∵点D关于AC的对称点E在边BC上，
∴∠D＝∠AEC＝116°，
∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．
故答案为：52°．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC的度数是解题关键．
16．已知同一平面内存在⊙O和点P，点P与⊙O上的点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为　3或5　．
【分析】根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．
【解答】解：P在⊙O内，直径为8+2＝10，半径为5，
P在⊙O外，直径为8﹣2＝6，半径为3，
故答案为：3或5．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，利用直径与半径的关系是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
17．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　5　．

【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，

以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
18．已知等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积为　8或32　cm2．
【分析】根据等腰三角形的性质，以及垂径定理的性质，作出三角形的高，即可求出，应注意底边BC与圆心可能存在两种位置关系可能．
【解答】解：连接AO，并延长与BC交于一点D，连接OC，
∵BC＝8cm，⊙O的半径为5cm，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴OD＝3，AD＝8，
∴△ABC的面积为32，
同理当BC在圆心O的上方时，三角形的高变为5﹣3＝2，
∴△ABC的面积为8．
故填：8或32．

【点评】此题主要考查了垂径定理与等腰三角形的性质，题目有一定代表性，容易出错．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为　（2，﹣2）　；
（2）连结AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）．

【分析】（1）根据题意作出图形，根据坐标与图形性质解答；
（2）根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）如图1，∵圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），
∴圆心的横坐标为2，
作BC的垂直平分线与AB的垂直平分线交于D，
则D（2，﹣2）
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图2，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，
在Rt△ADE中，AE＝4，DE＝2，
则r＝＝2，
所以⊙D的半径为2．


【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
20．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？

【分析】先过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，再设OB＝r，利用勾股定理求出r的值即可得出答案．
【解答】解：过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，设OB＝r，
∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，
∴AB＝4，
∵刻度尺宽2cm，
∴OA＝r﹣2，
在Rt△OAB中，
OA2+AB2＝OB2，即（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
则该光盘的直径是10cm．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理及切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．

【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由AD＝BC得到＝，把两弧都加上弧AC得到＝，于是得到DC＝AB．
【解答】证明：∵AD＝BC，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴DC＝AB．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
22．已知：如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．
求证：∠OCF＝∠ECB．

【分析】延长CE交⊙O于点G，利用圆周角的性质进行解答即可．
【解答】证明：延长CE交⊙O于点G．
∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，

∴BC＝BG，
∴∠G＝∠2，
∵BF∥OC，
∴∠1＝∠F，
又∵∠G＝∠F，
∴∠1＝∠2．
即∠OCF＝∠ECB．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答．
23．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE＝∠DAC．求证：DB＝DC．

【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角得到∠DAE＝∠DCB，由圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC，等量代换得到∠DCB＝∠DBC，根据等腰三角形的性质得到答案．
【解答】证明：∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，
∴∠DAE＝∠DCB，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴∠DCB＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
24．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为　（2，0）　．
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧的长．
（3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系．

【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心坐标；
（2）利用勾股定理可求得圆的半径；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD＝∠CDE，即可得到圆心角的度数为90°，根据弧长公式可得；
（3）求出DE的长与半径比较可得．
【解答】解：（1）如图，D点坐标为（2，0），

故答案为：（2，0）；

（2）AD＝＝2；
作CE⊥x轴，垂足为E．
∵△AOD≌△DEC，
∴∠OAD＝∠CDE，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴扇形DAC的圆心角为90度，
∴的长为＝π；

（3）点E到圆心D的距离为4，
∴点E在⊙D内部．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系、垂径定理、弧长公式等，用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心．
25．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．
【分析】（1）根据题意画出图形，再作出辅助线构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行证明；
（2）注意要分二种情况讨论：即B、D在AC两侧和B、D在AC同侧．
【解答】解：（1）线段MN与BD垂直．
连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道
MB＝，MD＝，所以MB＝MD．
三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：
MN垂直BD．

（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，
∵M是AC的中点，
∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，
∴在Rt△BEM中，∠EMB＝30°，
∵AC＝4，∴BM＝2，
∴BE＝1，EM＝，MD＝2，
从而可知
BD＝＝2
∴BN＝．
由Rt△BMN可得：
MN＝＝．
如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD＝AC，MBAC，
∴MD＝MB，
∵∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，
∴∠BMC＝60°，∠DMC＝90°，
∴∠BMD＝30°，
∴∠BDM＝＝75°，
∵∠MDA＝45°
∴∠EDB＝180°﹣∠BDM﹣∠MDA＝60°，
令ED＝x，则BE＝x，AD＝2，AB＝2，
∴由Rt△ABE可得：（2）2＝（x）2+（x+2）2，
解得x＝，则BD＝2，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD＝2 DN＝．
由Rt△MND可得：
MN＝＝．

【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质和解直角三角形的方法，同时考查了分类讨论思想．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A，D，C三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的直径．

【分析】（1）先根据：∠ACB＝90°得出AD为⊙O的直径故可得出∠ACB＝∠AED．再由AD是△ABC中∠BAC的平分线可知∠CAD＝∠EAD，由HL定理得出△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质可知AC＝AE；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，设CD＝DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，在Rt△BED中，根据勾股定理得出x的值，再由△ACD是直角三角形即可得出AD的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，且∠ACB为⊙O的圆周角，
∴AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠ACB＝∠AED．
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE；

（2）∵△ABC是直角三角形，且AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵由（1）得，∠AED＝90°，
∴∠BED＝90°．
设CD＝DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，BE2＝BE2+ED2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，
∴CD＝3，
∵AC＝6，△ACD是直角三角形，
∴AD2＝AC2+CD2＝62+32＝45，
∴AD＝3．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．