2019-2020学年青岛新版九年级上册数学《第4章 一元二次方程》单元测试卷（解析版）

2020年青岛新版九年级上册数学《第4章 一元二次方程》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．（x﹣3）x＝x2+2 B．ax2+bx+c＝0
C．3x2﹣+2＝0 D．2x2＝1
2．方程2x2﹣3＝0的一次项系数是（　　）
A．﹣3 B．2 C．0 D．3
3．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
4．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
5．方程x2﹣25＝0的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x1＝，x2＝﹣
6．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4
7．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3
C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3
8．方程x2﹣x＝0的解为（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
9．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（　　）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
10．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5
二．填空题（共8小题）
11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　 　．
12．方程（x﹣5）（2x﹣1）＝3的一般形式是　 　．
13．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则a＝　 　．
14．观察表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0最精确的一个近似解是　 　（精确到0.1）．
x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x﹣1.1 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
15．方程（x﹣1）2＝0的两根是　 　．
16．方程x2+2x﹣1＝0配方得到（x+m）2＝2，则m＝　 　．
17．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是　 　，求根公式是　 　．
18．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为　 　．
三．解答题（共8小题）
19．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
21．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．
22．解方程4（x﹣1）2＝9
23．解方程：x2+4x﹣7＝0．
24．解方程x2﹣3x+1＝0．
25．解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
26．解方程（x﹣2）2﹣4（x﹣2）+3＝0．



2020年青岛新版九年级上册数学《第4章 一元二次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．（x﹣3）x＝x2+2 B．ax2+bx+c＝0
C．3x2﹣+2＝0 D．2x2＝1
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高常数是2整式方程是一元二次方程．对每个方程进行分析，作出判断．
【解答】解：A：化简后不含二次项，不是一元二次方程；
B：当a＝0时，不是一元二次方程；
C：是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
D：符合一元二次方程的定义，是一元二次方程．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，作出判断．
2．方程2x2﹣3＝0的一次项系数是（　　）
A．﹣3 B．2 C．0 D．3
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程2x2﹣3＝0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C．
【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是0，注意不要说是没有．
3．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣1＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣1＝0得：1+m﹣1＝0，
解得：m＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
4．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【分析】利用x＝3.24，ax2+bx+c＝﹣0.02，而x＝3.25，ax2+bx+c＝0.03，则可判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【解答】解：∵x＝3.24，ax2+bx+c＝﹣0.02，
x＝3.25，ax2+bx+c＝0.03，
∴3.24＜x＜3.25时，ax2+bx+c＝0，
即方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
5．方程x2﹣25＝0的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x1＝，x2＝﹣
【分析】先移项得到x2＝25，然后利用直接开平方法求解．
【解答】解：x2＝25，
x＝±5，
所以x1＝5，x2＝﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
6．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0
∴x2+2x＝3
∴x2+2x+1＝1+3
∴（x+1）2＝4
故选：D．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3
C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3
【分析】利用公式法即可求解．
【解答】解：a＝1，b＝﹣4，c＝3
△＝16﹣12＝4＞0
x＝
解得：x1＝3，x2＝1；故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
8．方程x2﹣x＝0的解为（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
【分析】通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（　　）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
【分析】在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把x+2y当成一个整体进行考虑．
【解答】解：设x+2y＝a，则原方程变形为a2+3a﹣4＝0，解得a＝﹣4或a＝1．故选C．
【点评】此题主要是把x+2y当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解．
10．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝m﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，
解得m≤5．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
二．填空题（共8小题）
11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　m≥0且m≠1　．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的范围．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，
∴m﹣1≠0，且m≥0，即m≥0且m≠1，
故答案为：m≥0且m≠1
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
12．方程（x﹣5）（2x﹣1）＝3的一般形式是　2x2﹣11x+2＝0　．
【分析】首先利用整式是乘法法则打开括号，然后移项、合并同类项，最后就可以得到方程的一般形式．
【解答】解：（x﹣5）（2x﹣1）＝3，
∴2x2﹣11x+5﹣3＝0，
∴2x2﹣11x+2＝0．
故答案为：2x2﹣11x+2＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，其中一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
13．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则a＝　2　．
【分析】把x＝﹣2代入x2+3x+a＝0中得到关于a的方程，然后解此方程即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入x2+3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．观察表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0最精确的一个近似解是　1.7　（精确到0.1）．
x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x﹣1.1 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
【分析】根据表格中的数据和题意可以解答本题．
【解答】解：由表格可知，
当x＝1.7时，y＝0.09与y＝0最接近，
故答案为：1.7．
【点评】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
15．方程（x﹣1）2＝0的两根是　x1＝x2＝1　．
【分析】两边直接开平方可得x﹣1＝0，再解一元一次方程即可．
【解答】解：（x﹣1）2＝0，
两边直接开平方得：x﹣1＝0，
解得：x1＝x2＝1，
故答案为：x1＝x2＝1．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
16．方程x2+2x﹣1＝0配方得到（x+m）2＝2，则m＝　1　．
【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加上1，配成完全平方的形式，即可得到结果．
【解答】解：x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
x2+2x+1＝2，
（x+1）2＝2，
则m＝1；
故答案为：1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是　b2﹣4ac　，求根公式是　　．
【分析】答题时首先要知道根的判别式的含义，△＝b2﹣4ac，知道求根公式．
【解答】解：方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是b2﹣4ac，求根公式为．
【点评】本题主要考查根的判别式△＝b2﹣4ac这一知识点，比较简单．
18．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为　15　．
【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝6，再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为3，腰为6，然后计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣9x+18＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0，
所以x1＝3，x2＝6，
所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15．
故答案为15．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
三．解答题（共8小题）
19．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得m2﹣1＝0，m+1≠0，解即可；
（2）根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：（1）根据一元一次方程的定义可知：m2﹣1＝0，m+1≠0，
解得：m＝1，
答：m＝1时，此方程是一元一次方程；

②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，
解得：m≠±1．
一元二次方程的二次项系数m2﹣1、一次项系数﹣（m+1），常数项m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的概念和一元一次方程的概念，关键是掌握两种方程的定义．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
【分析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0得出m2﹣3m+2＝0，进而得出即可；
（2）分别将m的值代入原式求出即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴m的值为1或2；

（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0得出：
x2+5x＝0
x（x+5）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
当m＝1时，5x＝0，
解得x＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．
21．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．
【分析】根据m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，然后对题目中所求式子进行变形即可解答本题．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，m2﹣2＝m，
∴（m2﹣m）（m﹣+1）
＝
＝
＝2×（1+1）
＝2×2
＝4．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．
22．解方程4（x﹣1）2＝9
【分析】直接开平方法必须具备两个条件：
（1）方程的左边是一个完全平方式；
（2）右边是非负数．将右边看做一个非负已知数，利用数的开方解答．
【解答】解：把系数化为1，得
（x﹣1）2＝
开方得x﹣1＝
解得x1＝，x2＝﹣．
【点评】本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
23．解方程：x2+4x﹣7＝0．
【分析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【解答】解：x2+4x﹣7＝0，
移项得，x2+4x＝7，
配方得，x2+4x+4＝7+4，
（x+2）2＝11，
解得x+2＝±，
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
24．解方程x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据公式法求解即可．
【解答】解：x2﹣3x+1＝0，
∵△＝9﹣4＝5＞0，
∴x1＝，x2＝．
【点评】考查了解一元二次方程﹣公式法，公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
25．解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：由原方程得：（3x+1）（x﹣1）＝0，
可得3x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
26．解方程（x﹣2）2﹣4（x﹣2）+3＝0．
【分析】设x﹣2＝y，则原方程变为y2﹣4y+3＝0，然后解关于y的方程，最后再来求x的值．
【解答】解：x﹣2＝y，则有
y2﹣4y+3＝0，
∴（y﹣1）（y﹣3）＝0；
解得，y＝1或y＝3；
①当y＝1时，x＝3；
②当y＝3时，x＝5．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的目的是降元．