2019-2020学年青岛新版上册数学八年级《第3章 分式》单元测试卷（解析版）

2020年青岛新版上册数学八年级《第3章 分式》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．在代数式，，，a+中，分式的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≠﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣3
3．若分式的值为0，则x的值等于（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
4．已知x2﹣3x﹣4＝0，则代数式的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
5．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
6．已知关于x的方程＝3的解是正数，那么m的取值范围为（　　）
A．m＞﹣6且m≠﹣2 B．m＜6 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜6且m≠﹣2
7．如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（　　）

A．①② B．②④ C．①③ D．③④
8．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
9．若2x＝3y，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．下列四条线段中，不能成比例的是（　　）
A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5
C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
二．填空题（共8小题）
11．已知2+＝22×，3+＝32×，4+＝42×，…，若10+＝102×（a，b为正整数），则a+b＝　 　．
12．如果代数式有意义，那么x的取值范围是　 　．
13．若分式的值为零，则x的值为　 　．
14．若分式方程无解，则m的值为　 　．
15．分式方程的解为　 　．
16．关于x的方程＝3有增根，则m的值为　 　．
17．若＝，则＝　 　．
18．在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是　 　km．
三．解答题（共8小题）
19．已知，求的值．
20．利用分式的基本性质填空：
（1）＝，（a≠0）；（2）＝．
21．约分（1）；
（2）．
22．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+＝2+的解为x1＝2，x2＝；方程x+＝3+的解为x1＝3，x2＝；方程x+＝4+的解为x1＝4，x2＝； …
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+＝5+的解是　 　；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+＝的解是　 　；
（3）由（2）可知，在解方程：y+＝时，可变形转化为x+＝的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
23．解方程：．
24．解方程：．
25．已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝10，求a，b，c的值．
26．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB＝4，求BC的长．




2020年青岛新版上册数学八年级《第3章 分式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在代数式，，，a+中，分式的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
【解答】解：在代数式，，，a+中，分式有和，共有2个．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≠﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣3
【分析】根据分式有意义的条件可得x+3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
3．若分式的值为0，则x的值等于（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【分析】根据分式值为0的条件：分子等于0，分母不为0求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣9＝0且x﹣3≠0，
解得：x＝﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解本题的关键．
4．已知x2﹣3x﹣4＝0，则代数式的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
【分析】已知等式变形求出x﹣＝3，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式整理得：x﹣＝3，
则原式＝＝＝，
故选：D．
【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程，
故选：B．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
6．已知关于x的方程＝3的解是正数，那么m的取值范围为（　　）
A．m＞﹣6且m≠﹣2 B．m＜6 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜6且m≠﹣2
【分析】先求得分式方程的解（含m的式子），然后根据解是正数可知m+6＞0，从而可求得m＞﹣6，然后根据分式的分母不为0，可知x≠2，即m+6≠2．
【解答】解：将分式方程转化为整式方程得：2x+m＝3x﹣6
解得：x＝m+6．
∵方程得解为正数，所以m+6＞0，解得：m＞﹣6．
∵分式的分母不能为0，
∴x﹣2≠0，
∴x≠2，即m+6≠2．
∴m≠﹣4．
故m＞﹣6且m≠﹣4．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的应用，求得方程的解，从而得到关于m的不等式是解题的关键．
7．如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（　　）

A．①② B．②④ C．①③ D．③④
【分析】根据等式的性质1，等式的两边都加或减同一个整式，结果不变，根据等式的性质2，等式的两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．
【解答】解：①根据等式的性质2，等式的两边都乘同一个不为零的整式x﹣2，结果不变，
③根据等式的性质1，等式的两边都加同一个整式3﹣x，结果不变．
故选：C．
【点评】本题考查了等式的性质，利用了等式的性质1，等式的性质2．
8．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
【分析】根据方程特点设y＝，则原方程可化为2y﹣+3＝0，则y2+3y﹣5＝0．
【解答】解：设＝y，则原方程化为2y2+3y﹣5＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．
9．若2x＝3y，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积即可求解．
【解答】解：∵2x＝3y，
∴＝3，
则＝．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的基本性质：两内项的积等于两内项的积．
10．下列四条线段中，不能成比例的是（　　）
A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5
C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A、4×10＝5×8，能成比例；
B、2×5＝2×，能成比例；
C、1×4≠2×3，不能成比例；
D、1×4＝2×2，能成比例．
故选：C．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
二．填空题（共8小题）
11．已知2+＝22×，3+＝32×，4+＝42×，…，若10+＝102×（a，b为正整数），则a+b＝　109　．
【分析】根据题意找出规律解答．
【解答】解：由已知得a＝10，b＝a2﹣1＝102﹣1＝99，
∴a+b＝10+99＝109．
【点评】本题属于找规律题目，关键是找出分母的规律，b＝a2﹣1．根据题意解出未知数，代入所求代数式即可．
12．如果代数式有意义，那么x的取值范围是　x≠1　．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．
13．若分式的值为零，则x的值为　3　．
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到3﹣|x|＝0且x+3≠0，从而得到x的值．
【解答】解：依题意得：3﹣|x|＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
14．若分式方程无解，则m的值为　1　．
【分析】关键是理解方程无解即是分母为0，由此可得x＝1，再按此进行计算．
【解答】解：关于x的分式方无解即是x＝1，
将方程可转化为x＝m，
当x＝1时，m＝1．
故答案为1．
【点评】本题是一道基础题，考查了分式方程的解，要熟练掌握．
15．分式方程的解为　x＝3　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣2＝1，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解．
故答案为：x＝3．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16．关于x的方程＝3有增根，则m的值为　﹣1　．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入整式方程算出未知字母的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得
2x﹣（3﹣m）＝3（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，即增根为x＝2，
把x＝2代入整式方程，得m＝﹣1．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0，确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．若＝，则＝　　．
【分析】根据已知设a＝2k，b＝5k，代入求出即可．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝2k，b＝5k，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质的应用，能熟记比例的性质是解此题的关键．
18．在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是　1.25　km．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离．
【解答】解：设甲、乙两地间的实际距离为xcm，则：
＝，
解得：x＝125000cm＝1.25km．
故答案为：1.25．
【点评】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题．
三．解答题（共8小题）
19．已知，求的值．
【分析】我们可将前面式子变式为x2+1＝3x，再将后面式子的分母变式为的形式从而求出值．
【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1＝3x，
＝＝＝．
【点评】本题考查的是分式的值，解题关键是用到了整体代入的思想．
20．利用分式的基本性质填空：
（1）＝，（a≠0）；（2）＝．
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：（1）＝（a≠0）；
（2）＝．
故答案为：6a2，a﹣2．
【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
21．约分（1）；
（2）．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变作答．
【解答】解：（1）；
（2）．
【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
22．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+＝2+的解为x1＝2，x2＝；方程x+＝3+的解为x1＝3，x2＝；方程x+＝4+的解为x1＝4，x2＝； …
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+＝5+的解是　x1＝5，x2＝　；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+＝的解是　x1＝a，x2＝　；
（3）由（2）可知，在解方程：y+＝时，可变形转化为x+＝的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
【分析】（1）（2）根据已知材料即可得出答案；（3）把方程转化成（y+1）+＝3+，由材料得出y+1＝3，y+1＝，求出方程的解即可．
【解答】（1）解：关于x的方程x+＝5+的解是：x1＝5，x2＝，
故答案为：x1＝5，x2＝．

（2）解：关于x的方程x+＝的解是：x1＝a，x2＝，
故答案为：x1＝a，x2＝．

（3）解：y+＝，
y+＝，
y+1+＝3+，
（y+1）+＝3+，
即y+1＝3，y+1＝，
解得：y1＝2，y2＝﹣．
【点评】本题考查了分式方程的解和解分式方程的应用，解此题的关键是找出材料中隐含的规律，通过做此题培养了学生的阅读能力和理解能力．
23．解方程：．
【分析】找出分式方程的最简公分母为（x+1）（x﹣1），去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，代入检验即可得到原分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）﹣3（x﹣1）＝（x﹣1）（x+1），
化简，得x﹣3x+3＝﹣1，
解得 x＝2，
检验：当x＝2时，（x﹣1）（x+1）≠0，
∴x＝2是原分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24．解方程：．
【分析】设＝y，则原方程化为y＝+2y，解方程求得y的值，再代入＝y求值即可．结果需检验．
【解答】解：设＝y，则原方程化为y＝+2y，
解之得，y＝﹣．
当y＝﹣时，有＝﹣，解得x＝﹣．
经检验x＝﹣是原方程的根．
∴原方程的根是x＝﹣．
【点评】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
25．已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝10，求a，b，c的值．
【分析】运用设k法，再进一步得到关于k的方程，解得k的值后，即可求得a、b、c的值．
【解答】解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
又∵2a+3b﹣2c＝10，
∴4k+9k﹣8k＝10，
5k＝10，
解得k＝2．
∴a＝4，b＝6，c＝8．
【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来．
26．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB＝4，求BC的长．

【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE＝36°，从而得到∠BCE＝∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；
（2）根据等角对等边的性质可得AE＝CE＝BC，再根据黄金分割求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝×72°＝36°，
∴∠BCE＝∠A＝36°，
∴AE＝BC，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴＝，
∴BC2＝AB?BE，
即AE2＝AB?BE，
∴E为线段AB的黄金分割点；

（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴BC＝CE，
由（1）已证AE＝CE，
∴AE＝CE＝BC，
∴BC＝?AB＝×4＝2﹣2．
【点评】本题考查了黄金分割点的定义，相似三角形的判定与性质，理解黄金分割点的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比是解题的关键．