北师大版九年级数学上册 4.1成比例线段教案（第1课时）

　第四章 图形的相似
1．成比例线段(一)
一、学生知识状况分析
相似图形是现实生活中广泛存在的现象，在小学时学生就接触过比例的知识，在七年级下册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例）。所以学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学生在学习线段的比时不会感到很困难。
二、教学任务分析
（一）教学知识点
1.了解线段的比和成比例线段的概念.
2.理解比例线段的基本性质.
（二）能力训练要求
通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。
（三）情感与价值观要求
增强学生对数学知识来源于生活的认识.
教学重点：成比例线段的概念.
教学难点：比例线段的基本性质.
教学方法：探索、发现法
教学准备： 【教师准备】　课堂教学用的多媒体.
【学生准备】　测量长度的直尺,放大镜等.
教学过程
新课导入
导入一:
出示如图所示的两面大小不同的国旗,让学生比较这两面国旗有什么不同.

[设计意图]　以接近学生生活实际的国旗为背景,对学生进行爱国主义教育,同时提出国旗中蕴含着数学知识,激发学生的学习积极性,从而自然引入本节课内容.
导入二:
埃及法老阿美西斯想要测量金字塔的实际高度,可是没有一个埃及人能测出来.古希腊学者泰勒斯对法老阿美西斯说:“我只需找一个特殊的时刻,就能测出金字塔的高度.”泰勒斯在金字塔前竖立一根1 m长的木棒,他不断测量木棒的影长,当木棒的影子的长正好是1 m时,特殊时刻来了,如图所示,设金字塔的塔基宽为2b m,在塔外的影长为a m,落在塔内的影长恰为塔基宽的一半,这意味着金字塔的影长为a+b,因为木棒的高度与影长的比为1∶1,所以在同一时间同一地点的金字塔的高度与影长之比也应为1∶1,所以金字塔的高度为(a+b)m.

新知构建
　　[过渡语]　形状相同、大小不同的两个图形之间存在着怎样的对应关系呢?
一、两条线段的比
(1)学生测量两面国旗对角线的长度后,教师总结:描述两面国旗大小之间的关系,我们可以借助于两条线段的比来说明.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成.其中线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项,如果把表示成比值k,那么=k,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.如图所示,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同,AB=5 cm,A'B'=3 cm,AB∶A'B'=5∶3,就是线段AB和线段A'B'的比,这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.

(2)问题思考:AB∶A'B'=5∶3,这时线段A'B'与线段AB的比是多少呢?
[知识拓展]　(1)求线段的比时,线段的长度单位要统一.
(2)线段的比没有单位,所以线段的比与所采用的长度单位无关.
(3)两条线段的比有先后顺序,前项和后项不能颠倒.
二、成比例线段
　　[过渡语]　如果两个图形完全一样,只是大小不同,这两个图形上的对应线段之间存在什么关系呢?
思路一
如图所示,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上.

(1)AB,AD,EF,EH的长度分别是多少?
(2),,,的值相等吗?
【总结】　四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
【思考】　上图中还有哪些线段是比例线段?
[知识拓展]　在理解比例线段时,应注意三点:
(1)比例线段是特指四条线段之间的关系,两条线段不能是比例线段,三条线段中的任意一条线段都不能重复使用时,三条线段也不能是比例线段,而五条或五条以上的线段中,只能判断其中的某四条线段能否是成比例线段.
(2)成比例线段是有顺序的.即若a,b,c,d是成比例线段,则a∶b=c∶d,而不能写成a∶b=d∶c.
(3)为了讨论问题方便,我们再给出两个相关的定义:①比例的内项与外项:如果四条线段a,b,c,d是比例线段,那么把线段b,c叫做比例内项,把线段a,d叫做比例外项.②第四比例项:如果四条线段a,b,c,d是成比例线段,那么线段d叫做线段a,b,c的第四比例项.
例　下列四组线段中,是成比例线段的是 (　　)
A.5 cm,6 cm,7 cm,8 cm B.3 cm,6 cm,2 cm,5 cm
C.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm D.12 cm,8 cm,15 cm,10 cm
〔解析〕　∵≠,∴不是成比例线段,故选项A错误;∵≠,∴不是成比例线段,故选项B错误;∵≠,∴不是成比例线段,故选项C错误;∵,∴是成比例线段,故选项D正确.故选D.
思路二
【活动1】　建立比例线段的概念.
【多媒体】　如图所示,AB=50,BC=25,A'B'=20,B'C'=10,求证.

证明:∵=2,=2,
∴.
引导学生分析得出四条线段AB,BC,A'B',B'C'是成比例线段.
(1)题目的已知中共有几条线段?分别是哪几条?
(2)其中的线段AB,BC的比是多少?线段A'B',B'C'的比是多少?其中线段AB与BC的比与线段A'B'与B'C'的比有何关系?
(3)我们称AB,BC,A'B',B'C'这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
(4)请同学们根据这个例子想一想,什么样的四条线段叫做成比例线段?
(5)学生叙述,教师板书比例线段的定义:
在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
【活动2】　熟悉比例线段的概念.
(1)定义告诉我们判定四条线段是成比例线段的方法:
(其中的一个比例式)?a,b,c,d四条线段成比例;
(2)定义告诉我们若已知四条线段成比例,则一定有比例式:
a,b,c,d四条线段成比例?(唯一的一个比例式).
与比例线段有关的概念:
(1)项、内项、外项、第四比例项.
a,b,c,d叫做组成比例的项,b,c叫做比例内项,a,d叫做比例外项,d叫做a,b,c的第四比例项.
(2)比例中项.
若作为比例内项的是两条相同的线段,即或a∶b=b∶c,那么线段b叫做线段a,c的比例中项.
三、探索比例线段的基本性质
计算下列比例式的两个内项的积与两个外项的积.
(1);(2)∶3.
通过计算,同学们发现了什么规律?
【学生活动】　两个内项的积与两个外项的积相等.
【教师活动】　我们把上面成比例的四个数用字母表示,即,用什么方法来说明两个内项的积与两个外项的积相等?
【学生活动】　学生独立思考1分钟后,分组交流探讨“如果,那么ad=bc”.
【教师活动】　教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.
【学生活动】　各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:
(1)等式两边同时乘bd.
(2)设=k,则a=bk,c=dk,因此ad=(bk)d=b(dk)=bc.
【教师活动】　我们又如何把乘积的形式化成比例的形式?
【学生活动】　学生共同回答“等式两边同时除以bd”.
【教师活动】　我们把以上两个方面综合起来,就是比例线段的基本性质.
比例线段的基本性质:
如果,那么ad=bc;如果ad=bc(a,b,c,d都不为0),那么.
[设计意图]　从特殊情况出发,使学生对比例线段的基本性质有一个直观的认识,再让学生以一般的形式探索和推导,让全体学生充分参与,一步一步得出比例线段的基本性质,体现了“从特殊到一般”的教学思想.
【教师活动】　根据上面的方法你能由推导出下列比例式吗?
(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7).
(教材例1)一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照如图所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即,那么a的值应当是多少?

解:根据题意可知,AB=a m,AE=a m,AD=1 m.
由,得,
即a2=1,∴a2=3.
开平方,得a=(a=-舍去).
【问题思考】　如果换成,那么a的值应当是多少?
课堂小结

当堂检测
1.在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于　　　　,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称　　　　.在a∶b=c∶d中,a,d叫做比例　　　　,b,c叫做比例　　　　.如果四条线段a,b,c,d是成比例线段,那么线段d叫做线段a,b,c的　　　　.?
2.如果选用　　　　量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n,其中,线段AB,CD分别叫做这个线段比的　　　　和　　　　.?
3.如果,那么　　　　;如果ad=bc(a,b,c,d都不为0),那么　　　　.?
板书设计
第1课时
1.两条线段的比
2.成比例线段
3.比例线段的基本性质
作业
一、教材作业
【必做题】
教材第79页习题4.1的1,2题.
【选做题】
教材第79页习题4.1的3题.
教学反思
成功之处
本课时的知识要点是强调线段对应成比例,这一点在教学的过程中得到了有效的贯彻.
在理解比例线段的基础上,由特殊上升到一般,接着探讨了比例线段的基本性质.理解比的意义和比例线段,是灵活运用比例线段的基本性质的前提.在知识的讲解和例题、习题的讲练过程中,都渗透着对这个问题的处理.
不足之处
比例线段的比不是固定不变的.比例线段强调的是比例的大小,随着比的顺序的变化,比值也会随之变化,这一点在教学中没有特别地强调.这一点不强调,不利于学生今后理解图形的相似比.