1.1等腰三角形导学案
课题
1.1等腰三角形
课型
感知
学习目标
1、探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；?
2、明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
重点难点
探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法
感知探究
自自主学习
阅读课本2、3页，回答下列问题：
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
自自学检测
1、如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C=30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD=AC 其中正确的有（）个．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2、已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（? ?）
A. 15°或75° B. 140° C. 40° D. 140°或40°
合合作探究
探究一：
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
探究二：
已知：如图 1-1，在 △ABC 中，AB = AC.
求证：∠ B = ∠ C.
分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等（如图 1-2）. 实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形. 这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.
你还有其他证明方法吗？与同伴交流.
感知
1．定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个______.（AAS）。
2. 全等三角形的___________、_____________。
探究三：
在图 1-3 中，线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
四、
当堂检测
1、下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ）
A. 一个角是45°的两个等腰三角形 B. 两个等边三角形 C. 各有一个角是40°，腰长都是8cm的两个等腰三角形 D. 腰长相等的两个等腰直角三角形
2、如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠B=∠C B. AD⊥BC，∠BAD=∠CAD C. AD⊥BC，∠BAD=∠ACD D. AD⊥BC，BD=CD
3、如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？
作业：必做题：
课本P4练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P5练习第5、6题
课堂小结：师生互动，本节课你学到了什么
参考答案：
自主检测
1、【答案】A
【分析】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难度适中.根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD=∠EBD，即可判断①；先由全等三角形的对应边相等得出BD=CD，BE=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DE⊥BC，则∠BED=90°，再根据全等三角形的对应角相等得出∠A=∠BED=90°，但A、D、C可能不在同一直线上，即可判断②；根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，从而可判断∠C，但A、D、C可能不在同一直线上，即可判断③；根据全等三角形的对应边相等得出BE=CE，再根据三角形中线的定义即可判断④；根据全等三角形的对应边相等得出BD=CD，但A、D、C可能不在同一直线上，所以AD+CD可能不等于AC．
【解答】
解：①∵△ADB≌△EDB，
∴∠ABD=∠EBD，
∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；
②∵△BDE≌△CDE，
∴BD=CD，BE=CE，
∴DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵△ADB≌△EDB，
∴∠A=∠BED=90°，
∴AB⊥AD，
∵A、D、C可能不在同一直线上
∴AB可能不垂直于AC，故②不正确；
③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，
∴∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，
∵∠A=90°
若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，
∴∠C≠30°，故③不正确；
④∵△BDE≌△CDE，
∴BE=CE，
∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；
⑤∵△BDE≌△CDE，
∴BD=CD，
若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD＞AC，
∴AD+BD＞AC，故⑤不正确．
2、解：如图1，三角形是锐角三角形时，
∵∠ACD=50°，
∴顶角∠A=90°-50°=40°；
如图2，三角形是钝角三角形时，
∵∠ACD=50°，
∴顶角∠BAC=50°+90°=140°，
综上所述，顶角等于40°或140°.
故选D．
合作探究
一、证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
二、证明：如图 1-3，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵ AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）.
∴ ∠?B =∠?C（全等三角形的对应角相等）.
三、推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
当堂检测
D
【解答】
解：A.因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等，故本选项错误；
B.因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误；
C.因为没有说明该角是顶角还是底角，故本选项错误．
D.因为符合SAS，故本选项正确；
故选：D．
2、C
【解答】
解：A.由∠B=∠C可得AB=AC，则△ABC为等腰三角形，故A能推出△ABC是等腰三角形；
B.由AD⊥BC且∠BAD=∠CAD，可得△BAD≌△CAD，则可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故B能推出△ABC是等腰三角形；
C.由AD⊥BC，∠BAD=∠ACD，无法求得AB=AC或AC=BC，故C不能推出△ABC是等腰三角形；
D.由AD⊥BC，BD=CD，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得AB=AC，故D能推出△ABC是等腰三角形；
故选C.
3、【答案】解：（1）△BPD与△CQP是全等．理由如下：
当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时
有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm
则CP=BC-BP=10-4=6cm
CQ=AC-AQ=12-8=4cm
∵D是AB的中点
∴
∴BP=CQ，BD=CP
又∵△ABC中，AB=AC
∴∠B=∠C
在△BPD和△CQP中
∴△BPD≌△CQP（SAS）
（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP=2t，AQ=4t
∴t的取值范围为0＜t≤3
则CP=10-2t，CQ=12-4t
∵△CPQ的周长为18cm，
∴PQ=18-（10-2t）-（ 12-4t）=6t-4
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP=CQ时，则有10-2t=12-4t
解得：t=1
②当PQ=PC时，则有6t-4=10-2t
解得：
③当QP=QC时，则有6t-4=12-4t
解得：
三种情况均符合t的取值范围．
综上所述，经过1秒或 秒或 秒时，△CPQ是等腰三角形.
课件35张PPT。1.1 等腰三角形北师大版 八年级下复习导入在“平行线的证明”一章中，我们给出了 8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。请同学回忆一下平行线的判定和性质（一）平行线的判定1.同位角相等,两直线平行.2.同旁内角互补,两直线平行.3.内错角相等,两直线平行.4.平行于同一直线的两直线平行.复习导入1.两直线平行,同位角相等.
2.两直线平行,内错角相等.3.两直线平行,同旁内角互补.(二)平行线的性质想一想我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）根据全等三角形的定义，我们可以得到全等三角形的对应边相等、对应角相等.议一议
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2）请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流.定理 等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角.已知：如图 1-1，在 △ABC 中，AB = AC.
求证：∠ B = ∠ C.D图 1-1图 1-2图 1-3我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等（如图 1-2）. 实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形. 这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.分析证明：如图 1-3，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵ AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）.
∴ ∠?B =∠?C（全等三角形的对应角相等）.你还有其他证明方法吗？与同伴交流.D证法二:D证明：过点A作BC的垂线交BC于点D，
∵ AB=AC, AD=DA,
∴ △ABD≌△ACD (HL)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SAS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）证法三:D想一想在图 1-3 中，线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.等腰三角形的性质内容书写格式等腰三角形的
两个底角相等∵AB＝AC（已知）
∴∠B＝∠C （等边对等角）ABCABD2C1①∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）
∴BD＝DC，AD⊥BC（三线合一）
② ∵AB＝AC，BD＝DC（已知）
∴ ∠1＝∠2， AD⊥BC（三线合一）
③∵ AB＝AC， AD⊥BC （已知）
∴ ∠1＝∠2， BD＝DC（三线合一）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线底边上的高互相重合。1、下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ）
A. 一个角是45°的两个等腰三角形 B. 两个等边三角形 C. 各有一个角是40°，腰长都是8cm的两个等腰三角形 D. 腰长相等的两个等腰直角三角形D解：A.因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等，故本选项错误；
B.因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误；
C.因为没有说明该角是顶角还是底角，故本选项错误．
D.因为符合SAS，故本选项正确；2、如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠B=∠C B. AD⊥BC，∠BAD=∠CAD C. AD⊥BC，∠BAD=∠ACD D. AD⊥BC，BD=CDC解：A.由∠B=∠C可得AB=AC，则△ABC为等腰三角形，故A能推出△ABC是等腰三角形； B.由AD⊥BC且∠BAD=∠CAD，可得△BAD≌△CAD，则可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故B能推出△ABC是等腰三角形； C.由AD⊥BC，∠BAD=∠ACD，无法求得AB=AC或AC=BC，故C不能推出△ABC是等腰三角形； D.由AD⊥BC，BD=CD，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得AB=AC，故D能推出△ABC是等腰三角形；中考链接驶向胜利的彼岸如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动． 中考链接驶向胜利的彼岸（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？中考链接驶向胜利的彼岸解：（1）△BPD与△CQP是全等．理由如下：
当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时
有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm
则CP=BC-BP=10-4=6cm
CQ=AC-AQ=12-8=4cm
∵D是AB的中点cm驶向胜利的彼岸∴BP=CQ，BD=CP
又∵△ABC中，AB=AC
∴∠B=∠C
在△BPD和△CQP中 ∴△BPD ≌△CQP（SAS）（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时， 有BP=2t，AQ=4t ∴t的取值范围为0＜t≤3 则CP=10-2t，CQ=12-4t ∵△CPQ的周长为18cm， ∴PQ=18-（10-2t）-（?12-4t）=6t-4 驶向胜利的彼岸要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论： ①当CP=CQ时，则有10-2t=12-4t 解得：t=1 ②当PQ=PC时，则有6t-4=10-2t
解得： 驶向胜利的彼岸③当QP=QC时，则有6t-4=12-4t 解得： 三种情况均符合t的取值范围．综上所述，经过1秒或 秒或 秒时，△CPQ是等腰三角形.驶向胜利的彼岸课堂总结等边对等角三线合一等腰三角形等腰三角形两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合板书设计 1.1 等腰三角形
1、等边对等角
2、三线合一必做题：
课本P4练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P5练习第5、6题
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