1.1.3等腰三角形导学案
课题
1.1.3等腰三角形
课型
新授课
学习目标
1、掌握等腰三角形的判定定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；
2、熟练运用反证法。
重点难点
探索证明等腰三角形判定定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法
感知探究
自自主学习
阅读课本8、9页，回答下列问题：
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等. 反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
自自学检测
1、在△ABC中，AB=AD=DC，∠C=35°，则∠B的度数为( )
A. 70° B. 75° C. 105° D. 110°
2、如图，∠ADB=∠AEC=100°，∠BAD=50°，BD=EC，则∠C=( )
A. 20° B. 50° C. 30° D. 40°
合合作探究
探究一：
如图 1-7，在 △ABC 中，∠ B = ∠ C，要想证明 AB = AC，只要能构造两个全等的三角形，使 AB 与 AC 成为对应边就可以了. 你是怎样构造的？
探究二：
已知：如图 1-8，AB = DC，BD = CA.
求证：△AED 是等腰三角形.
感知
定理 有两个角相等的三角形是___________.
这一定理可以简述为：____________________.
探究三：
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
例3：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证：∠ A, ∠ B, ∠ C 中不能有两个角是直角.
四、
当堂检测
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，当用反证法证明时，第一步应假设( )
A. AB≠AC
B. PB=PC
C. ∠APB=∠APC
D. ∠B≠∠C
3、 如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：
①四边形AECF为平行四边形； ②∠PBA=∠APQ；
③△FPC为等腰三角形； ④△APB≌△EPC．
其中正确结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
作业：
必做题：
课本P9练习第1题
跟踪练习册
选做题：
课本P10练习第2、3、4题
课堂小结：师生互动，本节课你学到了什么
参考答案：
自学检测
1、解：∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C=35°，
∴∠BDA=∠C+∠DAC═70°，
∵AB=AD，
∴∠BDA=∠B=70°．
故选A．
2、解：∵∠ADB=∠AEC=100°，
∴∠ADE=∠AED=80°，
∴AD=AE，
∵∠BAD=50°，
∴∠B=180°-100°-50°=30°，
在△ADB与△AEC中，
∠ADB=∠AEC AD=AE BD=EC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
故选C．
合作探究
探究一
证明：过A 点作AD⊥BC，垂足为D.
在△ADB 和△ADC 中，
∴ △ADB ≌△ADC （AAS）．
∴ AB = AC ．
探究二
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴ △ABD ≌ △DCA（SSS）.
∴ ∠ ADB = ∠ DAC（全等三角形的对应角
相等）.
∴ AE = DE（等角对等边）.
∴ △AED 是等腰三角形.
探究三
证明：假设 ∠ A, ∠ B, ∠ C 中有两个角是直角，
不妨设 ∠ A 和 ∠ B 是直角，
即 ∠ A = 90 ° ，∠ B = 90 ° .
于是 ∠ A + ∠ B + ∠ C = 90 ° + 90 ° + ∠ C > 180 ° .
这与三角形内角和定理相矛盾，
因此“ ∠ A 和 ∠ B 是直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
当堂检测
1、解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，
∴∠EBC=1/2∠ABC，∠ECB=1/2∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠BCD，
∴∠EBC=∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=1/2(180-36)=72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=1/2∠ABC=36°=∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证，△CDE和△BCD是等腰三角形．
共5个等腰三角形．
故选A
2、解：假设结论PB≠PC不成立，即：PB=PC成立．
故选：B．
假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．
本题考查反证法，解题的关键是熟练掌握反证法的步骤．
3、解：①如图，EC，BP交于点G；
∵点P是点B关于直线EC的对称点，
∴EC垂直平分BP，
∴EP=EB，
∴∠EBP=∠EPB，
∵点E为AB中点，
∴AE=EB，
∴AE=EP，
∴∠PAB=∠APE，
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2(∠PAB+∠PBA)=180°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴AP⊥BP，
∴AF//EC；
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故①正确；
②∵∠APB=90°，
∴∠APQ+∠BPC=90°，
由折叠得：BC=PC，
∴∠BPC=∠PBC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠ABP=∠APQ，
故②正确；
③∵AF//EC，
∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，
∵∠PFC是钝角，
当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，
如右图，△PCF不一定是等腰三角形，
故③不正确；
④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，
∴Rt△EPC≌△FDA(HL)，
∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，
当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，
∴△APB≌△EPC，
故④不正确；
其中正确结论有①②，2个，
故选：B．
课件30张PPT。1.1.3 等腰三角形北师大版 八年级下复习导入在上一节课中，我们学习了等腰三角形的性质。请同学回忆一下。亲爱的同学们新知讲解等腰三角形的性质内容等腰三角形两底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的中线相等，高相等。等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60 ° 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等. 反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？复习导入新知讲解如图 1-7，在 △ABC 中，∠ B = ∠ C，要想证明 AB = AC，
只要能构造两个全等的三角形，使 AB 与 AC 成为对应边就
可以了. 你是怎样构造的？ 证明：过A 点作AD⊥BC，垂足为D.
在△ADB 和△ADC 中，ABCD∴ △ADB ≌△ADC （AAS）．
∴ AB = AC ．已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB =AC．新知讲解新知讲解定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简述为：等角对等边.符号语言：
∵ 在△ABC 中，∠B =∠C，
∴ AB =AC．新知讲解新知讲解证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴ △ABD ≌ △DCA（SSS）.
∴ ∠ ADB = ∠ DAC（全等三角形的对应角
相等）.
∴ AE = DE（等角对等边）.
∴ △AED 是等腰三角形.图 1-8已知：如图 1-8，AB = DC，BD = CA.
求证：△AED 是等腰三角形.新知讲解想一想小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？新知讲解小明是这样想的：图 1-9如图 1-9，在 △ABC 中，已知 ∠ B≠∠?C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等.假设 AB = AC，那么根据“等边对等角”定理可得 ∠ C = ∠ B，这与已知条件 ∠ B≠∠ C 相矛盾，因此 AB≠AC.新知讲解你能理解他的推理过程吗？新知讲解小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立. 这种证明方法称为反证法。新知讲解例3：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证：∠ A, ∠ B, ∠ C 中不能有两个角是直角.新知讲解证明：假设 ∠ A, ∠ B, ∠ C 中有两个角是直角，
不妨设 ∠ A 和 ∠ B 是直角，
即 ∠ A = 90 ° ，∠ B = 90 ° .
于是 ∠ A + ∠ B + ∠ C = 90 ° + 90 ° + ∠ C > 180 ° .
这与三角形内角和定理相矛盾，
因此“ ∠ A 和 ∠ B 是直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.2.等边对等角.3. 三线合一.2.等角对等边,1.两边相等.1.两腰相等. 新知讲解课堂练习1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个A课堂练习解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠BCD，
∴∠EBC=∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= (180-36)=72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD= ∠ABC=36°=∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证，△CDE和△BCD是等腰三角形．
共5个等腰三角形．课堂练习课堂练习2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，
求证：PB≠PC，当用反证法证明时，第一步应假设( )
A. AB≠AC B. PB=PC
C. ∠APB=∠APC D. ∠B≠∠C
B课堂练习解：假设结论PB≠PC不成立，即：PB=PC成立．
故选：B．
假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．中考链接驶向胜利的彼岸如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：
①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；
③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．
其中正确结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4中考链接驶向胜利的彼岸解：①如图，EC，BP交于点G；
∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，
∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB，
∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP∴∠PAB=∠APE，
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2(∠PAB+∠PBA)=180°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF//EC；
∵AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；中考链接驶向胜利的彼岸②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，
由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠ABP=∠APQ，故②正确；
③∵AF//EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，
∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，
如右图，△PCF不一定是等腰三角形，
故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，
∴Rt△EPC≌△FDA(HL)，
∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，
当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，
∴△APB≌△EPC，故④不正确；
其中正确结论有①②，2个，
故选：B．中考链接课堂总结等角对等边反证法等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形.先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立. 板书设计 1.3 等腰三角形
1、等腰三角形的判定：等角对等边
2、反证法作业布置必做题：
课本P9练习第1题
跟踪练习册
选做题：
课本P10练习第2、3、4题
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