1.1.4等腰三角形导学案
课题
1.1.4等腰三角形
课型
新授课
学习目标
1、掌握等边三角形的判定定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；
2、直角三角形30°角的运用。
重点难点
掌握等边三角形的判定定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法
感知探究
自自主学习
阅读课本10、11页，回答下列问题：
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
自自学检测
1、下列说法正确的是( )
A. 三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形
B. 等边三角形不是等腰三角形
C. 等腰三角形是等边三角形
D. 三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
2、 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，AD=AE，∠BAD=60°.试求∠DEC的度数．
合合作探究
探究一：
已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C求证：AB=AC=BC
探究二：
已知： △ABC中，AB=AC， ∠ A=600。
求证：AB=AC=BC
感知
定理 三个角都相等的三角形是______________
定理 有一个角等于 60 ° 的_____________是等边三角形.
探究三：
用两个含 30 ° 角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
已知：如图 1-10（1），△ABC 是直角三角形，∠?C = 90 ° ，∠?A = 30 °求证：BC= AB.
四、
当堂检测
1、△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2、如图，已知：AD平分∠CAE，AD//BC．
(1)求证：△ABC是等腰三角形．
(2)当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．
3、如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，
△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)△AOD能否为等边三角形？为什么？
(4)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
作业：
必做题：
课本P13练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P13练习第3、4题
课堂小结：师生互动，本节课你学到了什么
参考答案：
自学检测
1、解：A.三角形分为等腰三角形和三边不相等的三角形，故本选项错误，
B.等边三角形是等腰三角形，故本选项错误，
C.等腰三角形不一定是等边三角形，故本选项错误，
D.三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故本选项正确，
故选：D．
2、解：∵在△ABC中AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠BAD=60°，
∵AE=AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEC=120°．
合作探究
探究一
证明：在⊿ABC中
∵ ∠ A=∠B（已知）
∴BC=CA（等角对等边）
同理CA=AB
∴BC=CA=AB
探究二：
证明： △ABC中
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
∵ ∠ A=600
∴ ∠B=∠C = 600
∴AB=AC=BC
探究三：
证明：如图 1-10（2），延长 BC 至点 D，使 CD = BC，连接 AD.
∵ ∠ ACB = 90 ° ，∠ BAC = 30 ° ，
∴ ∠ ACD = 90 ° ，∠ B = 60 ° .
∵ AC = AC，∴ △ABC ≌ △ADC（SAS）.
∴ AB = AD（全等三角形的对应边相等）.
∴ △ABD 是等边三角形
（有一个角等于60 ° 的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC= BD= AB
当堂检测
1、解：①三边相等的三角形是等边三角形，正确；
②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确；
③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；
④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确．
则正确的有4个．
故选D．
2、(1)证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
故△ABC是等腰三角形．
(2)解：当∠CAE=120°时△ABC是等边三角形．
∵∠CAE=120°，AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD=60°，
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠B=60°，∠CAD=∠C=60°，
∴∠B=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形．
3、【答案】(1)证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形；
(2)△AOD是Rt△．
理由如下：
解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是Rt△；
(3)不能．理由：
解：由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α．
若△AOD为等边三角形，
则∠ADO=60°，
又∵∠ODC=60°，
∴∠ADC=∠α=120°．
又∵∠AOD=∠DOC=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵∠AOB=110°，
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°<360°．
∴△AOD不可能为等边三角形；
(4)∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°，∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
课件31张PPT。1. 1.4 等腰三角形北师大版 八年级下复习导入在上两节课中，我们学习了等腰三角形的性质和判定定理。请同学回忆一下。亲爱的同学们2.等边对等角.3. 三线合一.2.等角对等边,1.两边相等.1.两腰相等. 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
证明：在△ ABC中
∵ ∠ A=∠B（已知）
∴BC=CA（等角对等边）
同理CA=AB
∴BC=CA=AB已知：如图， △ ABC中， ∠ A=∠B=∠C
求证：AB=AC=BC新知讲解定理 三个角都相等的三角形是等边三角形已知： △ABC中，AB=AC， ∠ A=600。
求证：AB=AC=BC证明： △ABC中
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
∵ ∠ A=600
∴ ∠B=∠C = 600
∴AB=AC=BC60°新知讲解定理 有一个角等于 60 ° 的等腰三角形是等边三角形. 用两个含 30 ° 角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.做一做定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图 1-10（1），△ABC 是直角三角形，∠?C = 90 ° ，∠?A = 30 °求证：BC= AB.新知讲解BCA证明：如图 1-10（2），延长 BC 至点 D，使 CD = BC，连接 AD.
∵ ∠ ACB = 90 ° ，∠ BAC = 30 ° ，
∴ ∠ ACD = 90 ° ，∠ B = 60 ° .
∵ AC = AC，∴ △ABC ≌ △ADC（SAS）.
∴ AB = AD（全等三角形的对应边相等）.DBCA图 1-10（1）∴ △ABD 是等边三角形
（有一个角等于60 ° 的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC= BD= AB新知讲解求证：如果等腰三角形的底角为 15 ° ，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图 1-11，在 △ABC 中，AB = AC，∠?B =15 ° ，CD 是腰 AB 上的高.
求证：CD = AB.图 1-11证明：在 △ABC 中，
∵ AB = AC，∠?B = 15 ° ，
∴ ∠ ACB = ∠ B = 15 ° （等边对等角）.
∴ ∠ DAC = ∠ B + ∠ ACB = 15 ° + 15 ° =30 ° .
∵ CD 是腰 AB 上的高，
∴ ∠ ADC = 90 °
∴ CD = AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
∴ CD = AB.图 1-11定理 三个角都相等的三角形是等边三角形定理 有一个角等于 60 ° 的等腰三角形是等边三角形.定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.1、△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个D解：①三边相等的三角形是等边三角形，正确；
②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确；
③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；
④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确．
则正确的有4个．
故选D．2、如图，已知：AD平分∠CAE，AD//BC．
(1)求证：△ABC是等腰三角形．
(2)当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．(1)证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD//BC，∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，
∴∠B=∠C，∴AB=AC．
故△ABC是等腰三角形．(2)解：当∠CAE=120°时△ABC是等边三角形．
∵∠CAE=120°，AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD=60°，
∵AD//BC，∴∠EAD=∠B=60°，∠CAD=∠C=60°，
∴∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形．中考链接驶向胜利的彼岸如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，
△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)△AOD能否为等边三角形？为什么？
(4)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．中考链接驶向胜利的彼岸(1)证明：∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC．
∵∠OCD=60°，∴△OCD是等边三角形；
(2)△AOD是Rt△．理由如下：
解：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是Rt△中考链接驶向胜利的彼岸(3)不能．理由：
解：由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α．
若△AOD为等边三角形，则∠ADO=60°，
又∵∠ODC=60°，∴∠ADC=∠α=120°．
又∵∠AOD=∠DOC=60°，∴∠AOC=120°，
又∵∠AOB=110°，
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°
=350°<360°．∴△AOD不可能为等边三角形驶向胜利的彼岸(4)∵△OCD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°．①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°，∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．驶向胜利的彼岸课堂总结三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角等于 60 ° 的等腰三角形是等边三角形.等腰三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.板书设计 1.4 等腰三角形
1、等边三角形的判定
2、直角三角形必做题：
课本P13练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P13练习第3、4题
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