1.2.1直角三角形导学案
课题
1.2.1直角三角形
课型
新授课
学习目标
1、掌握直角三角形的判定定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；
2、勾股定理及其逆定理的运用。
重点难点
掌握直角三角形的判定定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法
感知探究
自自主学习
阅读课本15、16页，回答下列问题：
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
自自学检测
1、各边分别为a，b，c，在下列条件中，不是直角三角形的是
A. B. C. D.
2、如图，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于
A. B. C. D.
合合作探究
探究一：
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
探究二：
已知：如图 1-12（1），在 △ABC 中，AB2 + AC2 = BC2
求证：△ABC 是直角三角形.
感知
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
探究三：
议一议
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.
四、
当堂检测
1、下列三角形中，不是直角三角形的是( )
A. △ABC中，∠A=∠B-∠C
B. △ABC中，a：b：c=1：2：3
C. △ABC中，a2=c2-b2
D. △ABC中，三边的长分别为m2+n2，m2-n2，2mn(m>n>0)
2、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CF平分∠ACB．
(1)求∠ACE的度数．
(2)若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形．
如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边边AB、BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B同时出发向点C运动，且它们的速度都为设运动时间为
连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
当t为何值时，是直角三角形？
如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
作业：
必做题：
课本P17练习第1题
跟踪练习册
选做题：
课本P18练习第2、3、4题
课堂小结：师生互动，本节课你学到了什么
参考答案：
自学检测
解：：，是直角三角形，故此选项不合题意； B.：：：4：5， ，不是直角三角形，故此选项正确； C.， ， ， ， 是直角三角形，故此选项不合题意； D.， ，是直角三角形，故此选项不合题意； 故选B．
2、解：如图，、是的外角，，，．
故选B． 合作探究
探究二
证明：如图 1-12（2），作 Rt△A′B′C′，使
??∠?A′?= 90 ° ，A′B′?= AB，A′C′?= AC，
则 A′B′ 2 + A′C′ 2 = B′C′2 （勾股定理）.
∵ AB 2 + AC 2 = BC 2 ，
∴ BC 2 = B′C′ 2 . ∴ BC = B′C′.
∴ △ABC ≌ △A′B′C′ （SSS）.
∴ ∠?A = ∠ A′ = 90 ° （全等三角形的对应角相等）.
因此，△ABC 是直角三角形.
探究三
解：A、中，，是直角三角形，故此选项不合题意； B、中，a：b：：2：3，设三边长为：x，2x，3x，由，故此三角形不是直角三角形，符合题意； C、中，，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，故此选项不合题意； D、中，三边的长分别为，，，则，是直角三角形，故此选项不合题意； 故选：B．
解：中，，， ， 又平分， ； ，， ， 又， ， 又， ， 是直角三角形．
3、解：不变． 等边三角形中，，，? 又由条件得，， 在与中 ≌， ， ；
设时间为t，则，， 当时，? ， ，得，； 当时， ， ，得，； 当第秒或第秒时，为直角三角形； 不变． 在等边三角形中，，， ， 在与中 ≌，? ， 又， ．
课件32张PPT。1.2.1 直角三角形北师大版 八年级下复习导入我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流。亲爱的同学们复习导入(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；90°如图，在Rt△ABC中，其中∠C=90°
(1) 三边之间的关系: a2+b2=_____；c2想一想新知讲解（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？新知讲解定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. 实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理。新知讲解新知讲解勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.新知讲解反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论. 下面我们证明这个结论.新知讲解已知：如图 1-12（1），在 △ABC 中，AB2 + AC2 = BC2
求证：△ABC 是直角三角形.新知讲解证明：如图 （2），作 Rt△A′B′C′，使
??∠?A′?= 90 ° ，A′B′?= AB，A′C′?= AC，
则 A′B′ 2 + A′C′ 2 = B′C′2 （勾股定理）.
∵ AB 2 + AC 2 = BC 2 ，
∴ BC 2 = B′C′ 2 . ∴ BC = B′C′.
∴ △ABC ≌ △A′B′C′ （SSS）.
∴ ∠?A = ∠ A′ = 90 ° （全等三角形的对应角相等）.
因此，△ABC 是直角三角形.新知讲解定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.新知讲解议一议
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.新知讲解再观察下面三组命题：
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.新知讲解上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.新知讲解在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.想一想新知讲解你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？新知讲解一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
例如，本节课学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理. 你还能举出一些互逆定理的例子吗？新知讲解定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.课堂练习1、下列三角形中，不是直角三角形的是( )
A. △ABC中，∠A=∠B-∠C
B. △ABC中，a：b：c=1：2：3
C. △ABC中，a2=c2-b2
D. △ABC中，三边的长分别为m2+n2，m2-n2，2mn(m>n>0)B课堂练习?课堂练习2、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CF平分∠ACB．
(1)求∠ACE的度数．
(2)若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形．解：(1)∵△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-30°-60°=90°，
又∵CF平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB=45°；
(2)∵CD⊥AB，∠B=60°，
∴∠BCD=90°-60°=30°，
又∵∠BCE=∠ACE=45°，∴∠DCF=∠BCE-∠BCD=15°，
又∵∠CDF=75°，
∴∠CFD=180°-75°-15°=80°，∴△CFD是直角三角形．课堂练习中考链接驶向胜利的彼岸如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B同时出发向点C运动，且它们的速度都为1cm/s.设运动时间为t(s)
(1)连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
中考链接驶向胜利的彼岸(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数。 中考链接驶向胜利的彼岸?中考链接驶向胜利的彼岸?中考链接驶向胜利的彼岸???课堂总结直角三角形的两个锐角互余.有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形勾股定理板书设计 1.2.1 直角三角形
1、直角三角形的判定
2、勾股定理作业布置必做题：
课本P17练习第1题
跟踪练习册
选做题：
课本P18练习第2、3、4题
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