全等三角形中的截长补短法
教学反思
1、本节课在教学方法的设计中，把重点放在例题，对截长补短法的介绍与应用上。以学生为主体，主要引导学生由已学向新的内容的自主探究，比较变式与例题，总结截长补短法在三角形角平分线的形式下的证明一般思路。
2、在教学过程中，由于对较难的问题设置了问题串，降低了难度，因此，学生参与面比较广，积极性较高。
3、本节课不足的是在学生回答不到位时，我有时会急于纠正，应耐心听学生说完，再引导学生发现、纠正。以及在证明的书写方面，没有强调，在以后也需规范书写。
全等三角形中的截长补短法
说课稿
今天我说课的课题是《截长补短法解决线段的和差倍问题》。下面，我从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程及设计意图这四个方面来说明我对这节课的教学设计。
一、教材分析
本章主要是三角形，三角形是平面内最简单的直线型封闭图形，三角形的知识是进一步探究学习其他图形性质的基础。现在已经学习了“三角的有关概念与性质”“全等三角形”“等腰三角形”，而在平时的练习中，解决三角形边的和差数量关系时，也会有提示借助辅助线将其转化为线段相等的问题加以解决这一类型的题目，所以根据实际需要，我们备课组将同一类型的辅助线题目做了归纳整理，并对题目的各种细节做了一定的修改，设计了一节遵循一定规律的作辅助线的习题课。本课意将学过的知识联系起来，提升了学生的思维能力和应用意识，也归纳了一种辅助线的添加方法。
在本节课的学习过程中，需要学生通过观察、归纳、类比、转化等方法来寻找图形中线段的数量关系，从而得到辅助线的添加方法。（1）经历截长补短法添加辅助线解决几何问题的过程，理解截长补短法添辅助线的本质特征；
那么通过添辅助线，学生能了解添加辅助线的目的。还要注意体验“推理证明”的必要性和如何在旧知的基础上，通过转化、推理、证明从而将辅助线与全等等腰联系起来，培养言之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力．
（2）通过构造全等三角形，等腰三角形，解决与角平分线有关的几何问题，体验问题解决的思维过程和方法， 在讨论交流中提高解决几何问题的能力.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：截长补短法本质的理解；
难点：截长补短解决几何问题的合理运用.
二、学情分析：
作为七年级第二学期的学习，对于几何学习的要求正由实验几何向论证几何过渡，对学生的思维要求增加了。在确定课题为截长补短添辅助线之前，借助一些练习书以及吴老师网上找的一些资料，原本我选定了一些找线段的数量关系且不需要添辅助线的题目，并在最后一题与图形运动联系起来，强化分类讨论，一种情况是线段的和一种是差。但后来朱老师帮我一起分析了班级学生的情况，作为七年级提高班的学生，找全等证数量关系可能过于简单，并且题目之前也没什么联系，再结合平时的练习中做简单的辅助线，例如联结两个点，和复杂的有提示的类似于截长补短的辅助线，选定了这堂课的主题。对于提高班而言，需要掌握辅助线的方法，但对如何添加稍复杂的辅助线没有思路和方法，主要是因为对三角形中的特殊线段的理解还不深，对添加合适的辅助线后的转化也不了解。虽然截长补短法的运用是非常广泛的，但根据现所学内容，我希望能通过理解截长补短的本质，暂且将之运用于有角平分线的三角形的题目中，加强学生对转化思想的理解，掌握一种辅助线证明的思路，当然在以后学习了其他平面图形还会再进一步探究这辅助线的应用方法。
三、教法学法
根据对前面的学情分析和教材内容的分析，本节课的设计力求体现使学生“学会学习，学会思考，”的理念，努力实现学生的主体地位，将主动权充分交给学生。整堂课以问题思维和学生活动为主线，让学生探索规律，得到方法。精心安排练习，适当拓展，不断丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，渗透转化思想，发展数学思维。
四、教学过程及设计意图
复习引入
如图,在Δ ABC中, ∠BAC=90° , AB=AC,DE过点A,BD⊥ DE, CE⊥DE, 求证:DE=BD+CE
问题 ：怎样证明DE=BD+CE？ （线段转换）
【设计意图】通过对练习中做过的习题的回顾，回忆线段和差类几何证明题的解决方法，主要强调把线段的和差问题转化为线段的相等问题，引出新课.
新课学习：
【例1】如图，△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC，求证：AB=AC+CD.
比较例题与复习题，发现结论形式的一致性，并借助复习题，思考
如何证明AB=AC+CD，引导学生说出要证线段相等。再比较与复习题的不同，之前长的线段分为了两部分，现在题目中长的线段没被分段，让同学小组讨论寻找解决方法。
经过桃林，学生想到需要添加辅助线
运用截长：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
接着继续引导他们思考其他方法，可以把长的线段分成两段，是否可以把两条短的线段接在一起，引导学生想到补短的方法。通过延长短边或旋转等方式使两短边拼合到一起。
【设计意图】引出这种辅助线的方法，理解截长补短法的本质特征，强化辅助线的写法，引导学生说出证明的大致思路过程，体验问题解决的思维过程和问题转化的方法，由初步认识上升至对方法的理解.
变式 1：如图，△ABC中，∠C=60°，AD平分∠BAC，AB=AC+CD.求∠B
【设计意图】将例题中的条件结论稍作调整，考察学生逆向思维的能力。并由角度的2倍关系改为更直接的30°，初步尝试截长补短法添加辅助线解决几何问题，一题多解，积极进行数学表达。
变式 2：如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝40°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，且AD与CE相交于点O.求证：AE＋CE＝AC＋CD.
【设计意图】进一步尝试截长补短法添加辅助线解决几何问题，通过与例题的比较，能够进行数学方法的迁移，看清线段的转换，点到将AE+EC转化为AB，变回原来例题的形式，理解截长补短法添辅助线构造全等等腰的本质，在简单应用的基础上加深理解.
变式3：如图,在三角形 ABC中AD平分∠BAC，CD⊥AC,AD=BD,说明AB=2AC的理由
【设计意图】改变结论中线段之和的表示方法，引入倍数关系，运用截长补短两种方法添加辅助线的方法， 由于时间关系只能作为回家作业了。
三、课堂小结：
请学生谈谈本节课的收获
截长补短法
证明线段的和差倍：线段相等
在引导学生观察题目的共同点，证明过程的共同点后，也说出了 以及添辅助线后 进行线段的转化。
课件15张PPT。如图,在Δ ABC中, ∠BAC=90° , AB=AC,DE过点A,BD⊥ DE, CE⊥DE, 求证:DE=BD+CE怎样证明DE=BD+CE？
线段相等回顾：如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC。
求证:AB=AC+CD。例题（1）怎样证明AB=AC+CD
（2）需要添加辅助线吗？怎样添？ 全等三角形中的截长补短法截长法
在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。
截长补短法简介补短法
通过延长短边或旋转等方式使两短边拼合到一起。例题如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC。
求证:AB=AC+CD。
ABCDE12证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。∵ AD平分∠BAC（已知）
∴∠1=∠2（角平分线意义）
在△AED和△ACD中
∵ AE=AC（所作）
∠1=∠2（已证）
AD=AD（公共边）
∴△AED≌△ACD（S.A.S）3∵∠C=2∠B（已知）
∴ ∠ B+∠4 =2∠B （等量代换）
∴∠B=∠4（等式性质）4∴ ∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等)∵ ∠3= ∠ B+∠4（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） ）
∴ ∠C= ∠ B+∠4（等量代换）∴ EB=ED（等角对等边）
∴ EB=CD（等量代换）
∴ AB=AE+EB=AC+CD（等量代换）
ED=CD（全等三角形的对应边相等）例题如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC。
求证:AB=AC+CD。
ABCDF12证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。∵ CD=CF（所作）
∴∠F=∠3（等角对等边）∴ AB=AF=AC+CF=AC+CD（等量代换）
3在△ABD和△AFD中
∵ AB=AF（已知）
∠1=∠2（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△AFD（S.A.S）∴ AB＝AF（全等三角形的对应边相等）∵ ∠ACB= ∠3+∠F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）
∴ ∠ACB= 2∠F（等量代换）∵∠C=2∠B（已知）
∴ ∠ B= ∠F（等式性质）∵AD平分∠BAC （已知）
∴∠1=∠2（角平分线意义）变式 1：如图，△ABC中，∠C=60°，AD平分∠BAC，AB=AC+CD.求∠B
变式 2：如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝40°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，且AD与CE相交于点O.求证：AE＋CE＝AC＋CD.变式3：如图,在三角形 ABC中AD平分∠BAC，CD⊥AC,AD=BD,说明AB=2AC的理由小结截长补短法线段和差倍的问题：线段相等三角形角平分线截长补短构造全等三角形
构造等腰三角形 已知:如图AC//BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E.
求证:AB=AC+BD 变式一：已知:如图AC//BD，AE平分∠CAB，E是CD中点。
求证: AB=AC+BD 变式二：已知:如图AC//BD，AE平分∠CAB， ∠A=900，E是CD中点。请问线段AB与AC、BD有什么数量关系？1、要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法；2、要证明两条线段也可以寻找等腰三角形。3、已知线段中点，可以延长线段构造全等三角形。小结： 如图，在△ABC、 △ADC中，AD为BC边上的中线, AB为EC边上的中线,且∠ABC= ∠ACB 。
求证：CD=2CE拓展训练
