探寻数学学习中化“被动”变“主动”的支点
——谈“平行线间的折线问题”磨课体会
学生数学学习的过程是将已有知识、经验为基础的主动建构过程。然而在日常教学中，要真正将“知”付诸“行”，并非易事。我们常常发现大多数学生不“主动”学，在数学学习中常常陷入“被动”的泥潭，因而常常影响其思维、情感的充分发展。
笔者在17年4月开展了“平行线间的折点问题”这节公开课，本校备课组的老师及长江路集团的老师对这节课进行了磨课及课后点评。在磨课的过程中，笔者充分感受到了数学学习中化“被动”变“主动”的支点探寻过程，下面就磨课经历谈些体会。
一、教材分析和地位
本节课是教材《相交线和平行线》这一章节的拓展内容。在知识与能力方面，七年级学生在学习了平行线的判定和性质后，有了一定的识图说理能力，带领学生探索平行线间的折线问题，旨在使学生学会识图，并了解探索性问题解决的一般步骤及思路，逐步培养学生良好的思维习惯和思维能力；在学习过程方面，充分利用教材，尝试通过小组交流来梳理知识解决问题，力求关注学生的“主动学”，让学生通过探索体验到学习数学的快乐，体会数学思想的奥妙。
初次施教
1、复习引入：复述平行线的性质定理及判定定理。
2、新课探究：
（1）对折线外凸问题研究：如图1，已知AB∥CD，折线BPD是夹在直线AB与CD之间的一条折线，思考：∠1、∠2、∠3有什么数量关系？为什么？
（2）对折线内凹问题研究：如图2，已知AB∥CD，改变点P位置，那么∠1、∠2、∠3之间有什么数量关系？为什么？
3、能力提升：
探索：如图3，已知AB∥CD，如果在BPD之间再增加一个折，求∠1、∠2、∠3、∠4之间有什么数量关系？如图4，再BPD再多加一个折，结果又会怎样？如图5，若有n个折，结果又如何？
4、教后反思：
这份教案是在和本校备课组老师讨论后磨出的第一稿。回顾整个上课过程，学生在复习引入环节对于三条平行线的性质定理和判定定理十分熟悉，整个引入过程由学生口述，教师板书完成，时长2分钟。在新课探究环节，对于对折线外凸问题研究，在教师的引导下，学生添加了三种辅助线，分别是：过P点做平行线、联结BD及延长BP、CD相交于一点，而教师则按照上述方法，点击课件完成，而完成这一环节的添线、证明、总结共花了25分钟。对于折线内凹问题的研究，则与外凸问题相类似，因此学生的专注度下降，逐渐变为老师的一言堂，课堂气氛不浓，而且教师急于完成教学进度，因此像赶场子似的完成了这节课。
宝山区数学教研员钟文丽老师在对这节课评课时谈到：首先，对于复习引入环节，学生对于性质定理已非常熟悉，这样的引入意义不大；其次，在外凸和内凹问题则只需要对其中一个问题完整引导教授，同时讲解既重复又匆忙，可以把内凹问题作为课后作业让学生加以巩固；最后，也是最重要的问题，学生在探究“∠1、∠2、∠3的数量关系”时，教师让学生直接证明计算，而忽略了“测量、猜测”这类体验活动，因此有一部分同学不能得到最后的结论。这样的教学过程，只能让那些基础较好的同学“跟着老师走”，而那些基础较薄弱的同学则更加“被动”，整堂课不能体现学生的主动性，课堂参与度不高。
学科中心组罗佳俊老师说道：对于这样的探究课，有两个策略，策略一：核心问题进行引领，再辅以子问题进行完善；策略二：关注学生学习的过程体验。通过自主学习——探究获得——思考辨析——合作交流——练习巩固。两个策略的应用使学生在经历体验中，提高核心素养。
综观这节课，存在的问题一是学生被老师牵着走，学习与思考被动，教师步步为营，学生只是顺着教师提供的思路亦步亦趋，浅尝辄止，进行低效的“被动”建构。二是教师以抽象解释抽象，感知模糊，在开展学习活动时，学生对“∠1、∠2、∠3的数量关系”感知不够深刻，体验不够丰富，理解不够透彻，这不利于发展学生思维的主动性和深刻性。
改进教学
结合钟文丽老师和备课组老师的意见，进行了如下改动：
整节课并非按照“复习引入——新课讲授——巩固练习——归纳小结”的常规模式展开，而是向学生抛出了三个问题：问题1：如图6，∠1和∠2有什么数量关系？问题2：如图7，∠1、∠2、∠3有什么数量关系？问题3：如图8，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角记作∠C，当∠C为多少度时，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行？为什么？
1、独立思考，由特殊到一般，发现规律
通过引入新课，出现了一般问题（图6）及实际问题（图8），解决了一般问题才能完成实际问题。为了让学生发现图7中∠1、∠2、∠3的数量关系并非偶然性而是一般性，我建议学生在草稿纸上多画几个类似图7的图形，测量后得出规律，即∠1+∠2+∠3=360°。搭设一个桥梁，让学生自主完成，旨在培养学生
的动手、识图、独立思考能力，从特殊到一般，体会化归思想。
学生在探索时，建立这三个角之间的联系是关键，利用直观图形，辅助计算机进行展示（图9），引导学生观察、操作、思考，最后通过推理论证证明观点的正确性，解决这一问题的经验与方法，是继续探究的基础，要让学生充分体验与摸索。
图9 “超级画板”模拟图
（2）小组合作，巧添辅助线，一题多解
学生在作图及计算机演示的过程中，已经在思考如何证明结论的正确性，但是学生们一致认为根据现有的平行线的性质定理是无法证明这道题的，因此就有学生提出，能否添加辅助线来解决问题，但是如何添加辅助线是本题的难点也是本课的重点，为了让学生自主解决问题，我设立了两个核心问题，再辅以体验式活动，以开拓学生的思维。
平行线的性质定理都来源于两条平行线和一条截线，而本题中既然出现了平行线及折线，那我们能否①构造平行线②构造截线来解决问题？这两个核心问题的提出，让学生们很快有了想法，他们以小组为单位，开始了讨论和证明。
值得欣喜的是，学生们展示了多种多样的方法，并且以小组为单位，派代表进行演绎推理，以下进行罗列：
一组：构造平行线。如图10，做PQ∥AB，根据平行线传递性，可证PQ∥CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可以得到∠1＋∠BPQ=180°①，∠3＋∠DPQ=180°②，①＋②得，∠1+∠2+∠3=360°。
二组：构造平行线。如图11，做PQ∥AB，根据平行线传递性，可证PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得，∠1=∠BPQ，∠3=∠DPQ，根据周角定义，可证∠1+∠2+∠3=360°。
三组：构造截线。如图12，联结BD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠ABD＋∠BDC=180°①，三角形内角和180°，可以得到∠DBP+∠2+ ∠CDP=180°②，①＋②得，∠1+∠2+∠3=360°。
四组：构造截线。如图13，在AB上任取一点Q，联结DQ，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠CDQ=∠BQD，根据四边形内角和，可得∠1+∠2＋∠BQD＋∠QDP=360°，即∠1+∠2＋∠CDQ＋∠QDP=360°，即∠1+∠2+ ∠3=360°。
五组：构造截线。如图14，延长BP，CD相交于点Q。根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得到∠1＋∠Q=180°，根据平角定义，∠DPQ=180°—∠2，∠PDQ=180°－∠3，根据三角形内角和定义，∠DPQ+∠PDQ+∠Q=180°，即∠1+∠2+∠3=360°。
学生们积极互动，课堂气氛活跃，并通过讨论总结出一般规律：即过折点做平行线或者加截线构造三角形或四边形来解决平行线间的折点问题。有了对图6的深度剖析，那么解决图7的实际问题就轻而易举了。在最后解决实际问题时，学生们都利用前面所学的方法进行解答，效果良好。
通过核心问题和体验式活动的引入，学生们通过添加平行线和构造截线，利用三角形内角和、多边形内角和的性质，结合化归的数学思想，将未知转化为已知，而几种方法的区别，在于运用的知识点和构图不同。在解决平行线的相关问题时，截线总是如影随行，当出现平行线时，则需添加截线，当出现截线时，则需要寻找平行线，从而形成同位角、内错角、同旁内角的运算关系。
小结反思
回顾这节课的磨课过程以及长江路集团老师的评课，给予我这样的启发：在教学中，只要找到一个支点，就能四两拨千斤，推动数学学习由“被动”变“主动”，走向高效。这个支点就是新知识逻辑发展和学生思维发展的契合处。找到它的前提是把握数学知识与学生思维的本质，用好它的关键是在此支点上巧妙创设体验活动。
让“支点”植根于数学知识本质
让“支点”植根于数学知识本质需要教师透彻理解数学知识的本质。这是教学中促进学生学习由“被动”变“主动”的前提。只有理解透彻了，才能用学生最易理解的语言、最有效的方式描述数学知识设计学习活动。实践中，关键要准确把握知识的“源”与“流”。“源”就是知识的源头，这节课的“源”就是平行线的性质定理和判定定理。把握“源”才能依据教学目标来还原新知识“再创造”最近路径。“流”就知识“流向”哪里，而这节课的“流”，就是推导出平行线间的折线问题的一般添线法则，把握“流”才能掌握好难度，从而凸显新知识的价值。这样，才能准确引导学生主动探求新知识的本质及相关知识间的内在联系，以构建合理知识结构。
2、让“支点”扣准学生思维本质
影响学生主动学习的一个重要原因是教师把握不准学生的思维本质。习惯以自己的经验、理解这一定势来想当然地替代学生的经验、思维过程。在首次试教时，我给予学生思考的时间较少，总觉得若学生思考讨论的时间过多，那么课堂的效率就会降低，因此当抛出问题后，我就会“赶”着学生走，让他们按照我的节奏学习，这样的师生互动就流于形式和表面，并不能真正激发学生求知的欲望，增强他们探索的能力。因此，为了让“支点”扣准学生的思维本质，关键是教师应该站在与“学生思维相似”的视角来分析问题，能清楚地了解学生学习新知时的已有知识与经验、精确地判断他们在学习中会遇到的困难及面对困难可能有的种种想法，从而准确定位并创设促进学生思维发展的学习路径，并给予一定的等待时间，使学生的已有知识与所学新知产生交融共鸣，这也是学生积极、主动建构的保证。
3、在“支点”上创设体验活动
只有通过一定的体验活动才能加深学生的感知、对新知识的本质留下深刻的印象。以三个核心问题为引领，在问题中穿插体两个验活动：独立思考，测量角度，由特殊到一般，发现结论；小组合作，思维碰撞，巧添辅助线，一题多解。学生通过独立思考，增强分析总结能力，通过小组讨论，弥补不足开阔视野。这样的体验活动切入学生思维的最近发展区，以加长对新知本质的感知过程，增强思维进程的“曲折感”和“冲击力”，使得新知识的本质属性在体验中不断反刍，从而牢记于心，并促使学生思维向纵向发展。改进教学就是立足于“平行线与折线间的联系”这一支点，通过“量一量，算一算，议一议，画一画”等体验活动帮助学生自主构建平行线间的折线问题的添线方法的。
这次的集体备课及课后评课对我而言都有着极大的收获。长江路集团的老师们通过“问题引领——任务驱动——同伴互助”的方式，让我了解到对于探究课教学，创设问题链、搭建支架对开拓学生思维发展的必要性，也让我参悟到了在教学中找寻学生从“被动”变“主动”的支点的重要性。这样区域性的磨课和评课活动，对于青年教师的成长起着重要的推动作用，也对优化教学方法，提升教学效益起到促进作用。
课件9张PPT。平行线间的折线问题如图：一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角记为∠C，当∠C为多少度时，此时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行？直线？折线！回顾：两条平行直线被第三条直线所截思考： 图中这些小于平角的角之间会有什么数量关系呢？如图，已知AB∥CD，思考：∠1、∠2、∠3有什么数量关系？为什么？1231试一试：通过测量，猜想，发现有什么数量关系？360°？Q过点P做PQ∥AB
Q连结BDQ延长BP交CD的延长线于Q
1、过折点作平行线，构造新的平行线。
2、连接两点或延长线段相交构造三角形，利用三角形内角和定理。
辅助线添线方法：如图：一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，求∠C的度数。实际应用小 结我知道了......
我感受了......
我了解了......如图，已知AB∥CD，改变点P位置，那么∠1、∠2、∠3之间有什么数量关系？为什么？作业布置
