（新教材）2019-2020学年人教B版数学必修第二册讲义：4．1.1 实数指数幂及其运算Word版含答案
文档属性
| 名称 | （新教材）2019-2020学年人教B版数学必修第二册讲义：4．1.1 实数指数幂及其运算Word版含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 686.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-10 22:49:47 | ||
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文档简介
4．1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算
考点
学习目标
核心素养
根式的概念及运算性质
理解n次方根及根式的概念．正确运用根式的运算性质进行根式运算
数学抽象
实数指数幂
学会根式与分数指数幂之间的相互转化，掌握用有理指数幂的运算性质化简求值
数学运算
问题导学
预习教材P3－P8的内容，思考以下问题：
1．n次方根是怎样定义的？
2．根式的定义是什么？它有哪些性质？
3．有理指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
4．根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？
5．如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？
1．有理指数幂
(1)一般地，an中的a称为底数，n称为指数．
(2)一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．
①0的任意正整数次方根均为0，记为＝0．
②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在．
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
(3)当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．
一般地，根式具有以下性质：
①()n＝a.
②＝
(4)一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a＝；当没有意义时，称a没有意义．
对于一般的正分数，也可作类似规定，即a＝()m＝．但值得注意的是，这个式子在不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义．
负分数指数幂：若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝．
(5)有理指数幂的运算法则：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs．
■名师点拨
(1)()n中当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0，但中a∈R.
(2)分数指数幂a不可以理解为个a相乘．
2．实数指数幂
一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．因此，当a>0时，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当n∈N
时，()n都有意义．( )
(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( )
(3)＝π－3.( )
(4)0的任何指数幂都等于0.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
下列运算中，正确的是( )
A．a2·a3＝a6
B．(－a2)5＝(－a5)2
C．(－1)0＝0
D．(－a2)5＝－a10
解析：选D.a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；
当a＝1时，(－1)0无意义；
当a≠1时，(－1)0＝1.
化简：－＋＝________．
解析：原式＝
－＋
＝－(－2)＋＝4.
答案：4
根式与分数指数幂的互化
(1)若(x－2)－有意义，则实数x的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(2，＋∞)
D．(－∞，2)
(2)化简－得( )
A．6
B．－2x
C．6或－2x
D．6或2x或－2x
(3)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)．
①·；②
；
③·；④()2·.
【解】 (1)选C.由负分数指数幂的意义可知，(x－2)
－＝，所以x－2>0，即x>2，所以x的取值范围是(2，＋∞)．
(2)选C.原式＝|x＋3|－(x－3)＝
(3)①原式＝a·a＝a＋＝a.
②原式＝a·a·a＝a＋＋＝a.
③原式＝a·a＝a＋＝a.
④原式＝(a)2·(ab3)
＝a·ab＝a＋b＝ab.
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．
将下列根式与分数指数幂进行互化．
(1)a；(2)a－；(3)x3·(x>0)．
解：(1)a＝.
(2)a－＝.
(3)x3·＝x3·x＝x(x>0)．
根式、分数指数幂的化简与求值
计算下列各式：
(1)0.064－－＋[(－2)3]
－＋16－0.75；
(2)×(a>0，b>0)；
(3)·.
【解】 (1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
(2)原式＝aa－b－b＝a0b0＝.
(3)原式＝·＝·
＝·＝a－b－＝a.
(1)化简结果的一个要求和两个不能
(2)幂的运算的常规方法
①化负指数幂为正指数幂．
②化根式为分数指数幂．
③化小数为分数进行运算．
化简下列各式(其中字母均表示正数)．
(1)＋2－2×－0.010.5；
(2)÷·a(ab≠0且a≠8b)．
解：(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝××a＝a.
指数式的条件求值问题
已知a＋a－＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2.
【解】 (1)将a＋a－＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
已知a－a－＝，则a＋a－＝________.
解析：因为(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝(a－a－)2＋4＝5＋4＝9，又因为a＋a－>0，
所以a＋a－＝3.
答案：3
1．化简等于( )
A．e－e－1
B．e－1－e
C．e＋e－1
D．0
解析：选A.
＝＝＝＝|e－1－e|＝e－e－1.
2．下列各式中成立的一项是( )
A.＝n7m
B.＝
C.＝(x＋y)
D.＝
解析：选D.A中应为＝n7m－7；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中当x＝y＝1时不成立；D正确．
3.(a>0)的值是( )
A．1
B．a
C．a
D．a
解析：选D.原式＝a3·a－·a－＝a3－－＝a.
4．计算：－(－9.6)0－＋(1.5)－2＝________．
解析：原式＝－1－＋
＝－1－＋＝.
答案：
[A 基础达标]
1．下列各式正确的是( )
A.＝－3
B.＝a
C.＝2
D.＝2
解析：选C.由于＝3，＝|a|，＝－2，故A、B、D错误，故选C.
2．以下说法正确的是( )
A．正数的n次方根是正数
B．负数的n次方根是负数
C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N
)
D．a的n次方根是
解析：选C.由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故A错；由于负数的偶次方根无意义，故B错；C显然正确；当a<0时，只有n为大于1的奇数时才有意义，故D错．
3．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18
解析：选C.对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C.
4．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D.由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋＝1＋＝.
5．当有意义时，化简－的结果是( )
A．2x－5
B．－2x－1
C．－1
D．5－2x
解析：选C.因为有意义，
所以2－x≥0，即x≤2.
－
＝－
＝|x－2|－|x－3|
＝2－x－(3－x)
＝2－x－3＋x＝－1.
6．化简＝________．
解析：＝(a·a)＝(a)＝a.
答案：a
7．已知3a＝2，3b＝，则32a－b＝________.
解析：32a－b＝＝＝＝20.
答案：20
8.＋＋＝________．
解析：＝－6，
＝|－4|＝4－，
＝－4，
所以原式＝－6＋4－＋－4＝－6.
答案：－6
9．求值：(1)(－1)0＋＋()－；
(2)0.027－－＋2560.75－＋.
解：(1)(－1)0＋＋()－＝1＋＋＝2.
(2)0.027－－＋2560.75－＋＝－36＋64－＋1＝32.
10．化简÷
÷
.
解：原式＝÷÷＝÷÷＝a÷(a)÷(a－2)＝a÷a÷a－＝a－÷a－＝a－÷a－＝a－＋＝a.
[B 能力提升]
11．设a－a－＝m，则＝( )
A．m2－2
B．2－m2
C．m2＋2
D．m2
解析：选C.将a－a－＝m平方得(a－a－)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝m2＋2 ＝m2＋2.
12．已知a＝3，则＋＋＋的值为________
.
解析：＋＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝＋
＝＋＝＝－1.
答案：－1
13．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m＝________．
解析：因为a2＝b4＝m(a>0，b>0)，所以a＝m，b＝m，a＝b2.
由a＋b＝6，得b2＋b－6＝0，
解得b＝2或b＝－3(舍去)．
所以m＝2，m＝24＝16.
答案：16
14．根据已知条件求下列值：
(1)已知x＝，y＝，求－的值；
(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值.
解：(1)－
＝－＝.
将x＝，y＝代入上式得：
＝＝－24
＝－8.
(2)因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以
因为a>b>0，所以>.
＝＝＝＝，
所以＝＝.
[C 拓展探究]
15．(2019·安徽省“江南十校”联考)求下列各式的值：
(1)
＋；
(2)
－＋.
解：(1)法一：原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2.
法二：令x＝＋，两边平方得x2＝6＋2＝8.因为x>0，所以x＝2.
(2)原式＝－＋＝＋－(2－)＋2－＝2.
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4．1.1 实数指数幂及其运算
考点
学习目标
核心素养
根式的概念及运算性质
理解n次方根及根式的概念．正确运用根式的运算性质进行根式运算
数学抽象
实数指数幂
学会根式与分数指数幂之间的相互转化，掌握用有理指数幂的运算性质化简求值
数学运算
问题导学
预习教材P3－P8的内容，思考以下问题：
1．n次方根是怎样定义的？
2．根式的定义是什么？它有哪些性质？
3．有理指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
4．根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？
5．如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？
1．有理指数幂
(1)一般地，an中的a称为底数，n称为指数．
(2)一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．
①0的任意正整数次方根均为0，记为＝0．
②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在．
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
(3)当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．
一般地，根式具有以下性质：
①()n＝a.
②＝
(4)一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a＝；当没有意义时，称a没有意义．
对于一般的正分数，也可作类似规定，即a＝()m＝．但值得注意的是，这个式子在不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义．
负分数指数幂：若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝．
(5)有理指数幂的运算法则：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs．
■名师点拨
(1)()n中当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0，但中a∈R.
(2)分数指数幂a不可以理解为个a相乘．
2．实数指数幂
一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．因此，当a>0时，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当n∈N
时，()n都有意义．( )
(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( )
(3)＝π－3.( )
(4)0的任何指数幂都等于0.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
下列运算中，正确的是( )
A．a2·a3＝a6
B．(－a2)5＝(－a5)2
C．(－1)0＝0
D．(－a2)5＝－a10
解析：选D.a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；
当a＝1时，(－1)0无意义；
当a≠1时，(－1)0＝1.
化简：－＋＝________．
解析：原式＝
－＋
＝－(－2)＋＝4.
答案：4
根式与分数指数幂的互化
(1)若(x－2)－有意义，则实数x的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(2，＋∞)
D．(－∞，2)
(2)化简－得( )
A．6
B．－2x
C．6或－2x
D．6或2x或－2x
(3)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)．
①·；②
；
③·；④()2·.
【解】 (1)选C.由负分数指数幂的意义可知，(x－2)
－＝，所以x－2>0，即x>2，所以x的取值范围是(2，＋∞)．
(2)选C.原式＝|x＋3|－(x－3)＝
(3)①原式＝a·a＝a＋＝a.
②原式＝a·a·a＝a＋＋＝a.
③原式＝a·a＝a＋＝a.
④原式＝(a)2·(ab3)
＝a·ab＝a＋b＝ab.
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．
将下列根式与分数指数幂进行互化．
(1)a；(2)a－；(3)x3·(x>0)．
解：(1)a＝.
(2)a－＝.
(3)x3·＝x3·x＝x(x>0)．
根式、分数指数幂的化简与求值
计算下列各式：
(1)0.064－－＋[(－2)3]
－＋16－0.75；
(2)×(a>0，b>0)；
(3)·.
【解】 (1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
(2)原式＝aa－b－b＝a0b0＝.
(3)原式＝·＝·
＝·＝a－b－＝a.
(1)化简结果的一个要求和两个不能
(2)幂的运算的常规方法
①化负指数幂为正指数幂．
②化根式为分数指数幂．
③化小数为分数进行运算．
化简下列各式(其中字母均表示正数)．
(1)＋2－2×－0.010.5；
(2)÷·a(ab≠0且a≠8b)．
解：(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝××a＝a.
指数式的条件求值问题
已知a＋a－＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2.
【解】 (1)将a＋a－＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
已知a－a－＝，则a＋a－＝________.
解析：因为(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝(a－a－)2＋4＝5＋4＝9，又因为a＋a－>0，
所以a＋a－＝3.
答案：3
1．化简等于( )
A．e－e－1
B．e－1－e
C．e＋e－1
D．0
解析：选A.
＝＝＝＝|e－1－e|＝e－e－1.
2．下列各式中成立的一项是( )
A.＝n7m
B.＝
C.＝(x＋y)
D.＝
解析：选D.A中应为＝n7m－7；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中当x＝y＝1时不成立；D正确．
3.(a>0)的值是( )
A．1
B．a
C．a
D．a
解析：选D.原式＝a3·a－·a－＝a3－－＝a.
4．计算：－(－9.6)0－＋(1.5)－2＝________．
解析：原式＝－1－＋
＝－1－＋＝.
答案：
[A 基础达标]
1．下列各式正确的是( )
A.＝－3
B.＝a
C.＝2
D.＝2
解析：选C.由于＝3，＝|a|，＝－2，故A、B、D错误，故选C.
2．以下说法正确的是( )
A．正数的n次方根是正数
B．负数的n次方根是负数
C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N
)
D．a的n次方根是
解析：选C.由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故A错；由于负数的偶次方根无意义，故B错；C显然正确；当a<0时，只有n为大于1的奇数时才有意义，故D错．
3．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18
解析：选C.对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C.
4．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D.由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋＝1＋＝.
5．当有意义时，化简－的结果是( )
A．2x－5
B．－2x－1
C．－1
D．5－2x
解析：选C.因为有意义，
所以2－x≥0，即x≤2.
－
＝－
＝|x－2|－|x－3|
＝2－x－(3－x)
＝2－x－3＋x＝－1.
6．化简＝________．
解析：＝(a·a)＝(a)＝a.
答案：a
7．已知3a＝2，3b＝，则32a－b＝________.
解析：32a－b＝＝＝＝20.
答案：20
8.＋＋＝________．
解析：＝－6，
＝|－4|＝4－，
＝－4，
所以原式＝－6＋4－＋－4＝－6.
答案：－6
9．求值：(1)(－1)0＋＋()－；
(2)0.027－－＋2560.75－＋.
解：(1)(－1)0＋＋()－＝1＋＋＝2.
(2)0.027－－＋2560.75－＋＝－36＋64－＋1＝32.
10．化简÷
÷
.
解：原式＝÷÷＝÷÷＝a÷(a)÷(a－2)＝a÷a÷a－＝a－÷a－＝a－÷a－＝a－＋＝a.
[B 能力提升]
11．设a－a－＝m，则＝( )
A．m2－2
B．2－m2
C．m2＋2
D．m2
解析：选C.将a－a－＝m平方得(a－a－)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝m2＋2 ＝m2＋2.
12．已知a＝3，则＋＋＋的值为________
.
解析：＋＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝＋
＝＋＝＝－1.
答案：－1
13．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m＝________．
解析：因为a2＝b4＝m(a>0，b>0)，所以a＝m，b＝m，a＝b2.
由a＋b＝6，得b2＋b－6＝0，
解得b＝2或b＝－3(舍去)．
所以m＝2，m＝24＝16.
答案：16
14．根据已知条件求下列值：
(1)已知x＝，y＝，求－的值；
(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值.
解：(1)－
＝－＝.
将x＝，y＝代入上式得：
＝＝－24
＝－8.
(2)因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以
因为a>b>0，所以>.
＝＝＝＝，
所以＝＝.
[C 拓展探究]
15．(2019·安徽省“江南十校”联考)求下列各式的值：
(1)
＋；
(2)
－＋.
解：(1)法一：原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2.
法二：令x＝＋，两边平方得x2＝6＋2＝8.因为x>0，所以x＝2.
(2)原式＝－＋＝＋－(2－)＋2－＝2.
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