人教版九年级数学下册基础专题——反比例函数中的大小比较教案（附答案）

基础专题　反比例函数中的大小比较

专题概述;
反比例函数的函数值大小比较一般有三种方法：代入比较、特殊值比较及性质比较．
　类型1：比较函数值的大小
1．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．
【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．

2．反比例函数y＝﹣图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据反比例函数y＝﹣的系数﹣3＜0判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据x1＜0＜x2＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣3＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＞0、y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系及反比例函数的增减性是解答此题的关键．

3．若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】先判断出反比例函数图象在第一三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，y随x的增大而减小判断．
【解答】解：∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴反比例函数y＝（a为常数）的图象位于第一三象限，
∵﹣6＜﹣2，
∴0＞y1＞y2，
∵3＞0，
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键．
　
类型2：求函数值的取值范围
4．已知反比例函数y＝（2m﹣1）xm2﹣2，当x＞0时，y随着x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）当1＜x＜4时，求y的取值范围．
【分析】（1）利用反比例函数的定义以及其性质得出m的值即可；
（2）分别将x＝1，x＝4代入求出对应y的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（2m﹣1）xm2﹣2，当x＞0时，y随着x的增大而减小，
∴m2﹣2＝﹣1，2m﹣1＞0，
解得：m＝±1，m＞，
故m＝1；

（2）∵y＝x﹣1，
∴当x＝1时，y＝1，x＝4时，y＝，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是：＜y＜1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质与定义，得出m的值是解题关键．

5．已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2．
（1）填空：这个反比例函数的图象位于　 　象限，在图象的每一支上，y随x的增大而　 　；
（2）求这个反比例函数的解析式；
（3）当x＝﹣3时，求反比例函数y＝的值；
（4）当＜x＜4时，求y＝的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件得到k＝4＞0，根据反比例函数的性质即可得到结论；
（2）由正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2．得到这个交点的坐标为（2，2），把点（2，2）代入y＝，得2＝，即可得到结论；
（3）把x＝﹣3代入y＝，即可得到结果；
（4）把x＝代入y＝，得y＝8；把x＝4代入y＝，得y＝1；于是得到结论．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，
∴交点坐标为（2，2），
∴k＝4＞0，
∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；在图象的每一支上，y随x的增大而减小；
故答案为：第一、三，减小；

（2）∵正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2．
∴这个交点的坐标为（2，2），
把点（2，2）代入y＝，得2＝，
∴k＝4，
∴这个反比例函数的解析式是y＝；

（3）把x＝﹣3代入y＝，得y＝＝﹣，

（4）把x＝代入y＝，得y＝8；
把x＝4代入y＝，得y＝1；
∴当＜x＜4时，求y的取值范围是 1＜y＜8．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求函数解析式，反比例函数的增减性，正确的求出函数的解析式是解题的关键．
　
类型3：求自变量的取值范围
6．已知点A（x1，2）、B（x2，5）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1
【分析】反比例函数y＝﹣的图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，而点A（x1，2）、B（x2，5）都在第二象限的反比例函数的图象上，可以判断出x1、x2与0的大小关系．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴反比例函数y＝﹣的图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∵点A（x1，2）、B（x2，5）都在第二象限的反比例函数的图象上，
∴x1＜x2＜0，
故选：A．
【点评】考查反比例函数的图象和性质，即：当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大；画出相应的图象，数形结合则更直观容易．

7．如图，直线y＝k1x+b与双曲线相交于A（m，2），B（﹣2，﹣1）两点．当x＞0时，不等式的解集为　 　．

【分析】把B（﹣2，﹣1）代入求出y＝，把A（m，2）代入上式求出m＝1，即A（1，2），根据A的坐标结合图形即可得出答案．
【解答】解：把B（﹣2，﹣1）代入得：k2＝2，
即y＝，
把A（m，2）代入上式得：2＝，
m＝1，
即A（1，2），
∵直线y＝k1x+b与双曲线相交于A（m，2），B（﹣2，﹣1）两点，
∴当x＞0时，不等式的解集是x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题和用待定系数法求出反比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．

8．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b（k≠0）与双曲线y2＝（a≠0）交于A、B两点，已知点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线y1沿x轴负方向平移2个单位后得到直线y3，直线y3与双曲线y2交于D、E两点，当y2＞y3时，求x的取值范围．

【分析】（1）把点B 代入双曲线求出a的值，即可得到双曲线的解析式；把点A代入双曲线求出m的值，确定A点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可解答；
（2）先求出y3的解析式，再解方程组求出点D点E的坐标，即可解答．
【解答】解：（1）∵点B（﹣1，﹣4）在双曲线y2＝（a≠0）上，
∴a＝（﹣1）×（﹣4）＝4，
∴双曲线的解析式为：．
∵点A（m，2）在双曲线上，
∴2m＝4，
∴m＝2，
∴点A的坐标为：（2，2）
∵点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）在直线y1＝kx+b（k≠0）上，
∴
解得：
∴直线的解析式为：y1＝2x﹣2．
（2）∵把直线y1沿x轴负方向平移2个单位后得到直线y3，
∴y2＝2（x+2）﹣2＝2x+2，
解方程组得：或，
∴点D（1，4），点E（﹣2，﹣2），
∴由函数图象可得：当y2＞y3时，x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解决本题的关键是求出直线和双曲线的解析式．

9．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，6），B（4，），与y轴，x轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）直接写出不等式kx+b﹣＜0（x＞0）的解集．

【分析】（1）将B点坐标代入即可得出反比例函数y＝（x＞0），再将A、B两点坐标分别代入y＝kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由函数的图象即可得出反比例函数的值大于一次函数值的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数 经过点B，
∴将x＝4，代入，得m＝6，
∴反比例函数解析式为 ，
把x＝a，y＝6代入，得a＝1，
点A坐标为（1，6），
∴一次函数解析式 y＝kx+b 也经过A（1，6），B（4，）．

解得：，
故一次函数解析式为：y＝﹣x+；

（2）不等式kx+b﹣（x＞0）的解集为：0＜x＜1或 x＞4．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．未经









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