2019年数学同步必修一北师大版：第一章集合1.集合的含义与表示 第1课时 学案

§1　集合的含义与表示
第1课时　集合的含义
学习目标　1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．
知识点一　集合的概念
(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，d，…表示集合中的元素．
知识点二　元素与集合的关系
思考　1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？
答案　1是整数；不是整数；没有．
梳理　元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、?.
知识点三　元素的三个特性
思考1　某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？
答案　某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合A，那么任何一个对象a是不是这个集合中的元素就确定了．
思考2　构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？
答案　2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．
思考3　“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？
答案　两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的．由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．
梳理　元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．
知识点四　常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
1．y＝x＋1上所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(　√　)
2．0∈N但0?N＋.(　√　)
3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1?A.(　×　)
类型一　判断给定的对象能否构成集合
例1　考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体．
考点　集合的概念
题点　集合的概念
解　(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．
(2)能构成集合．
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
反思与感悟　判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1　下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
考点　集合的概念
题点　集合的概念
答案　B
解析　A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．
类型二　元素与集合的关系
命题角度1　判定元素与集合的关系
例2　给出下列关系：
①∈R；②?Q；③|－3|?N；④|－|∈Q；⑤0?N，其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　B
解析　是实数，①对；
不是有理数，②对；
|－3|＝3是自然数，③错；
|－|＝为无理数，④错；
0是自然数，⑤错．
故选B.
反思与感悟　要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．
跟踪训练2　用符号 “∈”或“?”填空．
－______R；－3______Q；－1______N；π______Z.
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　∈　∈　?　?
命题角度2　根据已知的元素与集合的关系推理
例3　集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
考点　元素与集合的关系
题点　伴随元素问题
答案　0,1,2
解析　∵x∈N，∈N，
∴0≤x≤2且x∈N.
当x＝0时，＝＝2∈N；
当x＝1时，＝＝3∈N；
当x＝2时，＝＝6∈N.
∴A中元素有0,1,2.
反思与感悟　判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提：集合中的元素是直接给出的．
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．
(2)推理法
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．
跟踪训练3　已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若1?A,2∈A，则(　　)
A．a>－4 B．a≤－2
C．－4考点　元素与集合的关系
题点　由元素与集合的关系求参数的取值范围
答案　D
解析　∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，
∴－4类型三　元素的三个特性的应用
例4　已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．
考点　元素与集合的关系
题点　由元素与集合的关系求参数的值
解　(1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同．
若2a－1＝0，则a＝，A包含的元素为0，－，，与集合B中元素不相同．
故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．
反思与感悟　元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等．
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．
跟踪训练4　已知集合M中含有三个元素：a，，1，集合N中含有三个元素：a2，a＋b,0，若集合M与集合N中元素相同，求a，b的值．
考点　元素与集合的关系
题点　由元素与集合的关系求参数的值
解　∵集合M与集合N中元素相同．
∴
解得或
由集合中元素的互异性，得a≠1，∴a＝－1，b＝0.
1．下列给出的对象中，能组成集合的是(　　)
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
考点　集合的概念
题点　集合的概念
答案　D
2．下面说法正确的是(　　)
A．所有在N中的元素都在N＋中
B．所有不在N＋中的数都在Z中
C．所有不在Q中的实数都在R中
D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
考点　常用的数集及表示
题点　常用的数集及表示
答案　C
3．由“book中的字母”构成的集合中元素的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　元素与集合的关系
题点　集合中元素的个数
答案　C
4．下列结论不正确的是(　　)
A．0∈N B.∈Q C．0?Q D．－1∈Z
考点　常用的数集及表示
题点　常用的数集及表示
答案　C
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(　　)
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
考点　元素与集合的关系
题点　由元素与集合的关系求参数的值
答案　B
解析　由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，
这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．
1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.
3．集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系.