重庆市主城区七校2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题（word版含答案）

2018- -2019学年(上)期末考试
高2020级数学(理科)试题
一.选择题（本大四共12小题，每小题5分．共60分，在每小题始出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．直线x+y+l＝0的倾斜角的大小为（　　）
A．30° B．60 C．120° D．150°
2．“a＝1“是“直线l1：ax﹣y+8＝0与直线l2：2x﹣（a+1）y+3＝0互相平行“的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题“存在x0∈R，使得x02﹣2x0+1＜0”的否定为（　　）
A．任意x∈R，都有x2﹣2x+1＞0
B．任意x∈R．都有x2﹣2x+1≥0
C．任意x∈R，都有x2﹣2x+1≤0
D．不存在x∈R．使得x2﹣2x+1≥0
4．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的正切值为（　　）
A． B． C．3 D．
5．过点（﹣4，2），且与双曲线y21有相同渐近线的双曲线的方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（　　）

A．π B．2π C．2π D．4π
7．过坐标原点O作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4的两条切线，切点为A，B．直线AB被圆截得弦AB的长度为（　　）
A． B． C． D．
8．若点（m，n）在椭圆9x2+y2＝9上，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上在意一点．M是线段PF上的点，5．则直线OM的斜率的最大值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．则下列结论中：
①MC⊥AN
②DB∥平面AMN
③平面CMN⊥平面AMN
④平面DCM∥平面ABN所有假命题的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
11．在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，AB＝AC，BC＝2．E为棱BC的中点．点G在AE上且满足AG＝2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为．则tan∠AGD＝（　　）

A． B． C． D．2
12．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的上焦点为F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2相切于点D．且|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（　　）
A．x±y＝0 B． C．6x±7y＝0 D．7x±6y＝0
二、填空题（本大题满分20分有4个小想.只要求将最修结果直技填写在答题纸相应的横线上，每个空格填对得5分.否则一律得零分）.
13．直线x﹣4y+k＝0在两坐轴上截距之和为5，则k＝　 　
14．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线，交抛物线一象限于点A．若|AF|＝3（O为坐标原点）．则直线OA倾斜角的正弦值为　 　．
15．已如圆柱的底面半径为2，用与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为　 　．
16．如图在长方形ABCD中，AB，BC．E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起．使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C．则K所形成轨迹的长度为　 　．

三.解答题（本大题共70分）
17．如图，边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．
（Ⅰ）求证A'D⊥EF；
（Ⅱ）求三棱锥A'﹣EFD的体积．

18．已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在x+y﹣2＝0上，
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设P是直线x+y+2＝0上的动点．PC，PD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．
19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1．
（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）当AD＝1时，求直线FB与平面DFC所成角的正弦值．

20．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）其中（x1＜x2）是曲线y2＝9x（y≥0）．上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C且|BC|＝3．
（1）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的方程：
（2）记△AOD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的范围，
21．如图，在多面体ABD﹣A1B1C1D1中四边形A1B1C1D1，ADD1A1．ABB1A1均为正方形．点M是BD的中点．点H在线段C1M上，且A1H与平面ABD所成角的正弦值为．
（Ⅰ）证明：B1D1∥平面BC1D：
（Ⅱ）求二面角A﹣A1H﹣B的的正弦值．

22．阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：
现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；
现象（2）；光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）．
试结合，上述事实现象完成下列问题：
（Ⅰ）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出．经过球桌边缘的反射（假设球的反射充全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；
（Ⅱ）结论：椭圆上任点P（x0，y0）处的切线的方程为．记椭圆C的方程为C：，在直线x＝4上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B．求证：直线lAB恒过定点：
（Ⅲ）过点T（1，0）的直线l（直线l斜率不为0）与椭圆C：交于P、Q两点，是否存在定点S（s，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在，请说明理由．




一.选择题（本大四共12小题，每小题5分．共60分，在每小题始出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．B
2．A
3．B
4．B
5．A
6．B
7．B
8．D
9．D
10．B
11．C
12．D
二、填空题（本大题满分20分有4个小想.只要求将最修结果直技填写在答题纸相应的横线上，每个空格填对得5分.否则一律得零分）.
13． ．
14．．
15．如图所示，
设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O1．
圆柱的底面中心为O，
则∠OAB＝60°，
可得a＝O1A4，
bCD＝2，
∴c．
∴这个椭圆的离心率：e．

16．由题意，D′K⊥AE，所以K的轨迹是以AD′为直径的一段圆弧D′K，设AD′的中点为O，
∵长方形ABCD′中，AB，BC，
∴∠D′AC＝60°，
∴∠D′OK＝120°，
∴K所形成轨迹的长度为，

三.解答题（本大题共70分）
17．（Ⅰ）证明：取EF中点M，连接A′M，DM，
显然，DE＝DF，故DM⊥EF；
显然，A′E＝A′F，则A′M⊥EF，
又A′M∩DM＝M，且都在平面A′DM内，
∴EF⊥平面A′DM，
∵A′D?平面A′DM，
∴A′D⊥EF；
（Ⅱ）易知，，
，，，
∴DM2＝A′M2+A′D2，
∴，
∴．

18．（Ⅰ）设圆心M（a，b），则a+b﹣2＝0①，
又A（1，﹣1），B（﹣1，1），
∴kAB，
∴AB的垂直平分线l的斜率k＝1，又AB的中点为O（0，0），
∴l的方程为y＝x，而直线l与直线x+y﹣2＝0的交点就是圆心M（a，b），
由，解得：，又r＝|MA|＝2，
∴圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；
（Ⅱ）由切线的性质知：四边形PCMD的面积S＝|PC|?r，
四边形PCMD的面积取最小值时，|PM|最小为圆心M到直线x+y+2＝0的距离，
即|PM|min，得|PC|min＝2．
∴四边形PCMD面积的最小值为4．

19．（Ⅰ）证明：∵AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，∴AF⊥BF，
∵矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，
∴AD⊥AB，∴AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF，
∵AD∩AF＝A，∴BF⊥平面ADF，
∵BF?平面CBF，∴平面DAF⊥平面CBF．
（Ⅱ）解：连结FO，∵AB＝2，EF＝1，AB∥EF，
∴当AD＝1时，四边形EFOB是菱形，
以F为原点，FB为x轴，FA为y轴，过F作平面ABEF的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
F（0，0，0），B（，0，0），C（，0，1），D（0，1，1），
（，0，0），（，0，1），（0，1，1），
设平面DFC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，，），
设直线FB与平面DFC所成角为θ，
则sinθ．
∴直线FB与平面DFC所成角的正弦值为．

20．（1）由B（1，0），可得A（1，y1），
代入y2＝9x，得到y1＝3，
又|BC|＝3，则x2﹣x1＝3，可得x2＝4，
代入y2＝9x，得到y2＝6，
则kAD1，可得直线AD的方程为y﹣3＝x﹣1，即y＝x+2；
（2）设直线AD的方程为y＝kx+m．M（0，m），k＞0，m＞0，
则S1＝S△OMD﹣S△OMA|m（x2﹣x1）||m|．
由，得k2x2+（2km﹣9）x+m2＝0，
所以 ，
又S2（y1+y2）（x2﹣x1）（y1+y2）（kx1+m+kx2+m）（2m），
又注意到y1y2＝3?30，所以k＞0，m＞0，
所以，
因为△＝81﹣36km＞0，所以0＜km，
所以．
21．（Ⅰ）证明：如图，构造正方体ABED﹣A1B1C1D1，
结合正方体ABED﹣A1B1C1D1，得BD∥B1D1，
∵BD?平面BC1D，B1D1?平面BC1D，
∴B1D1∥平面BC1D．
（Ⅱ）解：以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD＝2，则M（1，1，0），C1（0，2，2），A1（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），
设H（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b﹣2，c﹣2）＝（λ，﹣λ，﹣2λ），
∴H（λ，2﹣λ，2﹣2λ），
平面ABD的法向量（0，0，1），（λ﹣2，2﹣λ，﹣2λ），
∵A1H与平面ABD所成角的正弦值为．
∴，
解得，（舍负），∴H（，，1），
（，，﹣1），（0，0，﹣2），（0，2，﹣2），
设平面AA1H的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，0），
设平面A1HB的法向量（x，y，z），
则，取y＝1，得（，1，1），
设二面角A﹣A1H﹣B的平面角为θ，
则cosθ，
∴二面角A﹣A1H﹣B的正弦值为：
sinθ．

22．（Ⅰ）记c，因为桌球第一次与球桌的边缘的接触点可能他也长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，
所以，S＝2（a﹣c）或S＝2（a+c）或S＝4a；
即S＝2（a），S＝2（a），S＝4a；
（Ⅱ）设M（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线lMA：1，lMB：1，代入M中，得lMA：ty1＝1，lMB：2＝1，
则点A，B的坐标满足方程：ty﹣1＝0，
恒过定点G（，0）；
（Ⅲ）由已知直线过点T（1，0），设l的方程为：x＝my+1，P（x，y），Q（x'，y'），联立与椭圆的方程整理得：（9+m2）y2+2my﹣8＝0，∴y+y'，yy'，
kSP，同理得kSQ，∴kSP?kSQ，当s＝3时，kSP?kSQ，
当s＝﹣3时，kSP?kSQ，所以存在定点S（±3，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值．