北京市西城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（word版含答案）

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷
高一数学 2020.1
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，那么（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）方程组的解集是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）函数的定义域是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）下列四个函数中，在上单调递减的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）设，，，则的大小关系为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）若，，则一定有（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设．则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（8）某种药物的含量在病人血液中以每小时的比例递减．现医生为某病人注射了
该药物，那么小时后病人血液中这种药物的含量为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）如图，向量等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（10）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为
，其函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了
两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图像．
给出下列四种说法：
① 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
　 ② 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
　 ③ 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；
④ 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．
其中，正确的说法是（ ）
（A）①③
（B）①④
（C）②③
（D）②④
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
（11）已知方程的两根为和，则___．

（12）已知向量，，其中．若共线，则___．

（13）已知函数．若正数满足，则___．
（14）函数的零点个数是___；满足的的取值范围是___．
（15）已知集合，，其中．
① 集合___；
② 若，都有或，则的取值范围是___．
（16）给定函数，设集合，．若对于，
，使得成立，则称函数具有性质．给出下列三个函数：
① ； ② ； ③ ．
其中，具有性质的函数的序号是___．
三、解答题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题12分）
某校高一新生共有人，其中男生人，女生人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取人进行访谈．
（Ⅰ）这人中男生、女生各多少名?
（Ⅱ）从这人中随即抽取人完成访谈问卷，求2人中恰有名女生的概率．
（18）（本小题12分）
在直角坐标系中，记函数的图像为曲线，函数的图像为曲线．
（Ⅰ）比较和的大小，并说明理由；
（Ⅱ）当曲线在直线的下方时，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：曲线和没有交点．
（19）（本小题13分）
根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．
假设每名队员每次射击相互独立．
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）队员甲进行次射击．用频率估计概率，求甲恰有次中靶环数大于的概率；
（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）
（20）（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）证明：为偶函数；
（Ⅱ）用定义证明：是上的减函数；
（Ⅲ）当时，求的值域．
（21）（本小题13分）
设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
（22）（本小题13分）
设函数其中是非空数集．记，．
（Ⅰ）若，，求；
（Ⅱ）若，且是定义在上的增函数，求集合；
（Ⅲ）判断命题“若，则”的真假，并加以证明．
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷
高一数学参考答案 2020.1
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
（1）C
（2）A
（3）D
（4）D
（5）A
（6）A
（7）D
（8）B
（9）B
（10）C
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
（11） （12）
（13） （14）；
（15）； （16）①③
注：（14）题，（15）题每空2分；（16）题少解给2分，有错解不给分。
三、解答题（共6小题，共76分）
（17）（共12分）
解：（Ⅰ）这人中男生人数为； ………………………… 2分
女生人数为． ………………………… 4分
（Ⅱ）记这人中的名男生为，名女生为，则样本空间为：
，
样本空间中，共包含个样本点． ………………………… 7分
设事件为“抽取的2人中恰有名女生”，
则，
事件共包含个样本点． ………………………… 10分
从而． ………………………… 11分
所以抽取的2人中恰有名女生的概率为． ………………………… 12分
（18）（共12分）
解：（Ⅰ）因为， ………………………… 2分
又函数是上的增函数，
所以． ………………………… 4分
（Ⅱ）因为“曲线在直线的下方”等价于“”，
所以 ． ………………………… 5分
因为 函数是上的增函数， ………………………… 6分
所以 ，
即 ， ………………………… 8分
所以的取值范围是 ． ………………………… 9分
（Ⅲ）因为有意义当且仅当，
解得．
所以的定义域为． ………………………… 10分
有意义当且仅当，
解得．
所以的定义域为． ………………………… 11分
因为，
所以曲线和没有交点． ………………………… 12分
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）由图可得 ， ………………………… 3分
所以 ． ………………………… 4分
（Ⅱ）设事件为“队员甲进行次射击，中靶环数大于”．
则事件包含三个两两互斥的事件：中靶环数为，，，
所以 ． ………………………… 6分
设事件为“队员甲第次射击，中靶环数大于”，其中，
则． ………………………… 7分
设事件为“队员甲进行次射击，恰有次中靶环数大于”．
则，独立． ………………………… 8分
所以

．
所以，甲恰有次中靶环数大于的概率为． ………………………… 10分
（Ⅲ）队员甲的射击成绩更稳定． ………………………… 13分
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）因为，
所以的定义域为，且．………………………… 2分
对于任意，因为，
所以为偶函数． ………………………… 4分
（Ⅱ）当时，． ………………………… 6分
任取，且，那么
………………………… 7分
． ………………………… 8分
因为 ， 所以 ，，
从而，即．
所以是上的减函数． ………………………… 10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，在上单调递增．……………………… 11分
因为，
所以， ………………………… 12分
所以当时，的值域是． ………………………… 13分
（21）（共13分）
解：（Ⅰ）设商品的利润为（万元），
依题意得 ……………………………4分
（Ⅱ）当时， ．
所以 ……………………………6分
……………………………7分

． ……………………………9分
当且仅当，即时取等号，
所以，当时，有最大值（万元）． ……………………………11分
当时，． ……………………………12分
综上，当时，取得最大值（万元）． ……………………………13分
因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值万元．
（22）（共13分）
解：（Ⅰ）因为，，
所以，， ……………………………………2分
所以． ……………………………………3分
（Ⅱ）因为是定义在上的增函数，且， ………………………4分
所以当时，，
所以． 同理可证． ………………………6分
因为，
所以，． ……………………………………8分
（Ⅲ）该命题为真命题．证明如下： ……………………………………9分
假设存在非空数集，且，但．
首先证明．否则，若，则，且，
则，且，
即，这与矛盾！ ……………………11分
若，且，则，且，
所以，且．
因为，
所以，且．
所以，且．
所以，且，
根据函数的定义，必有，即，这与矛盾！
综上，该命题为真命题． ……………………………………13分