河南省2018-2019年度上学年高二年级期末考试数学（理科）（word版含答案）

2018~2019年度上学年高二年级期末考试
数学(理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设命题p：?x＞0，|x|＝x，则￢p为（　　）
A．?x＞0，|x|≠x B．?x0≤0，|x0|＝x0
C．?x≤0，|x|＝x D．?x0＞0，|x0|≠x0
2．已知抛物线的准线方程x，则抛物线的标准方程为（　　）
A．x2＝2y B．x2＝﹣2y C．y2＝x D．y2＝﹣2x
3．若等比数列{an}的前n项和为Sn，2a3+a6＝0，则（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．函数f（x）＝x3﹣ex的图象在x＝1处的切线斜率为（　　）
A．3 B．3﹣e C．3+e D．e
5．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝5，b＝3，，则（　　）
A． B． C． D．
6．若函数f（x）＝ax﹣lnx在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C． D．（﹣∞，
7．若，则函数f（x）＝ax+ex﹣1的图象在x＝1处的切线方程为（　　）
A．2x﹣y＝0 B．2x+y＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y＝0
8．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．函数f（x）的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
10．若x＞1，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
11．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（　　）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]
12．设双曲线M：1（a＞0，b＞0）的上顶点为A，直线y与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过87a，则M的离心率的取值范围是（　　）
A．[1，+∞） B．[1，+∞） C．（1，1] D．（1，1]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上
13．若函数f（x）＝x2，则f′（1）＝　 　．
14．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值为　 　．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为　 　．
16．若函数y＝sin2x+cos3x+a﹣1在区间[]上的最小值为0，则a＝　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知椭圆W：1（m＞0，n＞0）的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD．
（1）若W的一个焦点为（3，0），|CD|＝6，求W的方程；
（2）若|AB|＝10，e，求W的方程．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos2A﹣cos2B＝1，b+2acosC＝0．
（1）求C；
（2）若，求△ABC的周长．
19．设函数f（x）＝（x+1）2+axex．
（1）若a＝1，求f（x）的极值；
（2）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间．
20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝5S2，a6＝6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an?3}的前n项和Tn．
21．已知函数f（x）＝（a﹣b）x2﹣x﹣xlnx．
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，且f（1）＝a，求a，b的值；
（2）若a＝1，f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．
22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1＝BA，，AB⊥B1C．
（1）证明：AC＝AB1；
（2）若AC⊥AB1，求二面角B1﹣AB﹣C的正弦值．




一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．D
2．D
3．A
4．B
5．A
6．
7．A
8．A
9．D
10．C
11．A
12．D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上
13． 3．
14．﹣1
15．．
16．函数y＝sin2x+cos3x+a﹣1＝﹣cos2x+cos3x+a，因为x∈[]．所以cosx∈[0，1]，
令t＝cosx，则g（t）＝t3﹣t2+a，g′（t）＝3t2﹣2t＝t（3t﹣2），t∈[0，1]，
当t∈[0，]时，g′（t）≤0，当t∈（，1]时，g′（t）＞0，
从而g（t）max＝g（）＝a0，解得a．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（1）由已知可得，c＝3，2b＝6，b＝3．
∴a2＝b2+c2＝18．
由题意可知，椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为；
（2）由已知可得，2a＝10，则a＝5，
又e，∴c＝3，则b2＝a2﹣c2＝16．
若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为．
若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为．
18．（1）∵2cos2A﹣cos2B＝1，
∴2（1﹣2sin2A）﹣（1﹣2sin2B）＝1，
∴2sin2A＝sin2B，
由正弦定理 可得，b2＝2a2，
∵b+2acosC＝0．
∴0，
∴cosC，
∵C∈（0，π），
∴C，
（2）∵，C，
由余弦定理可得，10，
5a2，
∴，b＝2，
∴△ABC的周长2．
19．（1）a＝1时，f（x）＝（x+1）2+xex，
f′（x）＝（x+1）（ex+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，
令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，
故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
故f（x）极小值＝f（﹣1），无极大值；
（2）证明：a＝﹣1时，f（x）＝（x+1）2﹣xex，
f′（x）＝（x+1）（2﹣ex），
令f′（x）＝0，解得：x＝﹣1或x＝ln2＞0，
故x∈（﹣∞，﹣1），（ln2，+∞）时，f′（x）＜0，
x∈（﹣1，ln2）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（﹣1，ln2）递增，在（﹣∞，﹣1），（ln2，+∞）递减．
20．（1）设等差数列{an}的公差为d，由，得a1＝1，d＝1，
故an＝n；
（2）由，
，
两式作差，得：
﹣2，
故．
21．（1）函数f（x）＝（a﹣b）x2﹣x﹣xlnx的导数为f′（x）＝2（a﹣b）x﹣1﹣（1+lnx）＝2（a﹣b）x﹣2﹣lnx，
在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，且f（1）＝a，可得
2（a﹣b）﹣2＝0，且a﹣b﹣1＝a，解得a＝0，b＝﹣1；
（2）a＝1，f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
即为（1﹣b）x2﹣x﹣xlnx≥0对x＞0恒成立，
可得b≤（1）min，
设g（x）＝1，
g′（x），
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有g（x）在x＝1处取得最小值，且为0，
可得b≤0，
即b的取值范围是（﹣∞，0]．
22．（1）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，
由题知，侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，
又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABO，
又AO?平面ABO，所以B1C⊥AO．
因为B1O＝CO，所以AC＝AB1．
（2）解：因为AC⊥AB1，所以AO＝CO，又AB＝BC，所以△BOA≌△BOC．
所以OA⊥OB，可知OA，OB，OB1两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，
设，则A（0，0，1），，C（0，﹣1，0），B1（0，1，0），
所以，，，
设平面ABC的法向量为，
由，令y＝3，得，
设平面B1AB的法向量为，
由，令x＝1，得，
所以，
故二面角B1﹣AB﹣C的正弦值为．