人教版数学九年级下册28.2.1解直角三角形-课件（1）（共20张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册28.2.1解直角三角形-课件（1）（共20张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 546.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-11 09:47:18 | ||
图片预览
文档简介
(共20张PPT)
解直角三角形
知识回顾
问题探究
课堂小结
（2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
（1）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，若∠C=90°，则 ， ，
（4）含30°角的直角三角形的三边比为 ；含45°角的直角三角形的三边比为 。
（3）直角三角形两锐角互余。
知识回顾
问题探究
课堂小结
（5）30°、45°、60°角的三角函数值：
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
知识回顾
问题探究
课堂小结
创设情境，引入新知
活动1
探究一：已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？
问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°＜α＜75°，如图现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
分析：对于问题（1），当梯子与地面所成的角α 为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度。问题（1）可以归结为：在Rt△ABC中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长。
分析：对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角α的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角α的度数。
知识回顾
问题探究
课堂小结
创设情境，引入新知
活动1
解：（1）由
得
由计算器求得 ，所以
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
探究一：已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？
问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°＜α＜75°，如图现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
知识回顾
问题探究
课堂小结
创设情境，引入新知
活动1
探究一：已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？
问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°＜α＜75°，如图现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
解：（2）由于 ，
利用计算器求得
因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°
由 可知，这时使用这个梯子是安全的。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究一：已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？
探究思考，理论提升
活动2
思考：在上面问题的Rt△ABC中，
（2）根据AC=2.4，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
（1）根据∠A=75°，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
结论：可以，过程尝试自己写一下。
知识回顾
问题探究
课堂小结
解直角三角形
活动1
探究二：什么是解直角三角形？依据是什么？
1．一般地，我们把三角形的三个角∠A，∠B，∠C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，即三角形共有六个元素。
2.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形。
3.在直角三角形中，除直角外共有5个元素，即3条边和2个锐角，如果已知两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。即解直角三角形满足“知二推三”。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究二：什么是解直角三角形？依据是什么？
直角三角形各元素间的关系
活动1
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）
（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
以上三点就是解直角三角形的依据。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究二：什么是解直角三角形？依据是什么？
应用新知，巩固练习
活动1
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= ，AC= ，解这个直角三角形。
解：
点拨：已知两边，用三角函数求出一角是突破口。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究二：什么是解直角三角形？依据是什么？
应用新知，巩固练习
活动1
例2：如图，在Rt△ABC中，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）。
解：
点拨：已知一边一角，用三角函数求出第二条边是突破口。
另外，解直角三角形的方法很多，在做题中要善于比较归纳、灵活处理。
知识回顾
问题探究
课堂小结
应用新知，回顾引言
活动2
探究三：怎样解直角三角形？
例3：如图，始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜。1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之后，仍巍然屹立。可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜1cm的速度继续增加，随时
都有倒塌的危险。为此，意大利当局从1990年起对斜塔
进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直
中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm，根据上面的信息，
你能用“塔身中心线偏离垂直中心线的角度”来描述
比萨斜塔的倾斜程度吗？
我们一起来解决关于比萨斜塔倾斜的问题。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：怎样解直角三角形？
应用新知，回顾引言
活动2
解：先看1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A。
过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C。
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m
sinA= ≈0.0954
所以∠A≈5°28′
类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角。
我们一起来解决关于比萨斜塔倾斜的问题。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：怎样解直角三角形？
常见类型，归纳提升
活动3
当图形中没有需要的直角三角形时，常常通过添加辅助线来构造直角三角形。
例1：如图，在△ABC中，已知BC＝ ，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长。
D
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
设BD＝x，
在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝x·tan60°＝ x
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°
∴∠C＝∠CAD∴CD＝AD＝ x
∵BC＝ ，∴ x＋x＝ 解得x＝1，即BD＝1
在Rt△ABD中， ∵cos B＝ ， ∴AB＝
点拨：无直角的三角形常常作高，作高一般不破坏特殊角。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：怎样解直角三角形？
常见类型，归纳提升
活动3
例2：如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积。
解：如图，延长BC，AD交于点E
∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°
在Rt△ABE中，BE＝ ，
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2. ∴DE＝EC·cos 30°＝
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝
E
点拨：有直角、无三角形的图形常常延长某些边。本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：怎样解直角三角形？
常见类型，归纳提升
活动3
例3：如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD＝ ，求tanA的值。
解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E。
E
∵点D是AB的中点，∴AD＝DB
又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE
在Rt△CBE中，sin∠BCE＝ ，∴BC＝3BE
∴CE ， ∴
∴tan A＝
点拨：有三角函数值不能直接利用时常常作垂线构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：怎样解直角三角形？
常见类型，归纳提升
活动3
例4：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝ ∠BAC，求tan∠BPC的值。
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
E
∵AB＝AC＝5，
∴BE ，∠BAE＝ ∠BAC
∵∠BPC＝ ∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝ ，
∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝
点拨：求角的三角函数值，若角不在直角三角形中、也不好构造直角三角形时，可以尝试将角转化到容易构造直角三角形的位置求解。
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）直角三角形各元素间的关系：
三边关系——勾股定理；
角的关系——两锐角互余；
边角关系——锐角三角函数。
（2）解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形。
（3）解直角三角形的一般方法
知识回顾
问题探究
课堂小结
重难点突破
（1）熟练掌握直角三角形边的关系、角的关系、边角关系是解直角三角形的关键。
（2）在做题过程中，抓住三角函数这一工具来求解，往往是简单可行的办法。
谢 谢
解直角三角形
知识回顾
问题探究
课堂小结
（2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
（1）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，若∠C=90°，则 ， ，
（4）含30°角的直角三角形的三边比为 ；含45°角的直角三角形的三边比为 。
（3）直角三角形两锐角互余。
知识回顾
问题探究
课堂小结
（5）30°、45°、60°角的三角函数值：
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
知识回顾
问题探究
课堂小结
创设情境，引入新知
活动1
探究一：已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？
问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°＜α＜75°，如图现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
分析：对于问题（1），当梯子与地面所成的角α 为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度。问题（1）可以归结为：在Rt△ABC中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长。
分析：对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角α的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角α的度数。
知识回顾
问题探究
课堂小结
创设情境，引入新知
活动1
解：（1）由
得
由计算器求得 ，所以
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
探究一：已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？
问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°＜α＜75°，如图现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
知识回顾
问题探究
课堂小结
创设情境，引入新知
活动1
探究一：已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？
问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°＜α＜75°，如图现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
解：（2）由于 ，
利用计算器求得
因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°
由 可知，这时使用这个梯子是安全的。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究一：已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？
探究思考，理论提升
活动2
思考：在上面问题的Rt△ABC中，
（2）根据AC=2.4，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
（1）根据∠A=75°，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
结论：可以，过程尝试自己写一下。
知识回顾
问题探究
课堂小结
解直角三角形
活动1
探究二：什么是解直角三角形？依据是什么？
1．一般地，我们把三角形的三个角∠A，∠B，∠C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，即三角形共有六个元素。
2.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形。
3.在直角三角形中，除直角外共有5个元素，即3条边和2个锐角，如果已知两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。即解直角三角形满足“知二推三”。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究二：什么是解直角三角形？依据是什么？
直角三角形各元素间的关系
活动1
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）
（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
以上三点就是解直角三角形的依据。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究二：什么是解直角三角形？依据是什么？
应用新知，巩固练习
活动1
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= ，AC= ，解这个直角三角形。
解：
点拨：已知两边，用三角函数求出一角是突破口。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究二：什么是解直角三角形？依据是什么？
应用新知，巩固练习
活动1
例2：如图，在Rt△ABC中，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）。
解：
点拨：已知一边一角，用三角函数求出第二条边是突破口。
另外，解直角三角形的方法很多，在做题中要善于比较归纳、灵活处理。
知识回顾
问题探究
课堂小结
应用新知，回顾引言
活动2
探究三：怎样解直角三角形？
例3：如图，始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜。1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之后，仍巍然屹立。可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜1cm的速度继续增加，随时
都有倒塌的危险。为此，意大利当局从1990年起对斜塔
进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直
中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm，根据上面的信息，
你能用“塔身中心线偏离垂直中心线的角度”来描述
比萨斜塔的倾斜程度吗？
我们一起来解决关于比萨斜塔倾斜的问题。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：怎样解直角三角形？
应用新知，回顾引言
活动2
解：先看1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A。
过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C。
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m
sinA= ≈0.0954
所以∠A≈5°28′
类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角。
我们一起来解决关于比萨斜塔倾斜的问题。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：怎样解直角三角形？
常见类型，归纳提升
活动3
当图形中没有需要的直角三角形时，常常通过添加辅助线来构造直角三角形。
例1：如图，在△ABC中，已知BC＝ ，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长。
D
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
设BD＝x，
在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝x·tan60°＝ x
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°
∴∠C＝∠CAD∴CD＝AD＝ x
∵BC＝ ，∴ x＋x＝ 解得x＝1，即BD＝1
在Rt△ABD中， ∵cos B＝ ， ∴AB＝
点拨：无直角的三角形常常作高，作高一般不破坏特殊角。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：怎样解直角三角形？
常见类型，归纳提升
活动3
例2：如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积。
解：如图，延长BC，AD交于点E
∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°
在Rt△ABE中，BE＝ ，
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2. ∴DE＝EC·cos 30°＝
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝
E
点拨：有直角、无三角形的图形常常延长某些边。本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：怎样解直角三角形？
常见类型，归纳提升
活动3
例3：如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD＝ ，求tanA的值。
解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E。
E
∵点D是AB的中点，∴AD＝DB
又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE
在Rt△CBE中，sin∠BCE＝ ，∴BC＝3BE
∴CE ， ∴
∴tan A＝
点拨：有三角函数值不能直接利用时常常作垂线构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：怎样解直角三角形？
常见类型，归纳提升
活动3
例4：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝ ∠BAC，求tan∠BPC的值。
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
E
∵AB＝AC＝5，
∴BE ，∠BAE＝ ∠BAC
∵∠BPC＝ ∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝ ，
∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝
点拨：求角的三角函数值，若角不在直角三角形中、也不好构造直角三角形时，可以尝试将角转化到容易构造直角三角形的位置求解。
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）直角三角形各元素间的关系：
三边关系——勾股定理；
角的关系——两锐角互余；
边角关系——锐角三角函数。
（2）解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形。
（3）解直角三角形的一般方法
知识回顾
问题探究
课堂小结
重难点突破
（1）熟练掌握直角三角形边的关系、角的关系、边角关系是解直角三角形的关键。
（2）在做题过程中，抓住三角函数这一工具来求解，往往是简单可行的办法。
谢 谢