北师大版九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程的关系教案（表格式）

课题名称：《二次函数与一元二次方程的关系》
年级学科
九年级数学
教材版本
北师大版
一、教学内容分析
本课的学习任务：体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力。本节内容是初中阶段最后一次研究函数的内容，反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。牵扯到的知识点较多，尤其二次函数和一元二次方程是初中数学学习的重点和难点，在学习中具有举足轻重的作用和地位。一方面有相当数量的学生对旧的知识点的掌握本身就不是特别牢固，另一方面本节课运用了各种数学思想方法，有函数思想、方程思想、类比思想、分类讨论思想、数形结合思想等，这些都是初中数学中对学生所要培养的重要思想。可以说本节内容是初中代数各种知识与思想的集体展现，是初中代数内容的一个总结，同时这一内容也将为高中学习打好基础，作好铺垫，在教学中有着承上启下的作用。
二、教学目标
1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。2、理解二次函数的图像和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根。3、体会数形结合的思想。
三、学习者特征分析
学生的知识技能基础：学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的表格、图象和表达式的三种表示方法，其中表达式主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。学生学习态度基础：我校处于城乡结合部，教学条件相对简陋，学生多数来源于失地农民和外来务工子女，学生的基础较差；家长对子女的教育意识淡薄，学生没有良好的学习习惯，而且受周边名校的影响，学生的流动性较大，学困生，贫困生多，尖子生少。学生对学习没有兴趣，遇到问题不愿多加探究，不愿深入思考，缺乏主动学习的态度。针对这一现状，我校积极寻找策略，多次派中青年教师出外学习考察，认真分析结合我校的实际情况，现在申请成为华南师大郭思乐教授提倡的“生本教育”理念下的实验学校，教师也积极学习，根据情况尝试着利用“先学后教，以学定教”的生本课堂模式，力求寻找一种真正将课堂还给学生的教学，实施也快一年了，学生的习惯比以前大有改善，他们有了自我探索，合作学习，展示交流的意识，课堂上教师参与其中，同学参与其中，通过讨论，展示交流，质疑，达成共识，学生参与面广了，积极性高了，但学生的理解能力还是欠缺。因此本节课的难点是理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根。
四、教学过程
提出问题，布置预习；探究交流，分享展示；求同存异，达成共识；当堂检测，感悟新知
五、教学计
教师活动
预设学生活动
设计意图
（一）、提出问题，布置预习1、在一场足球比赛中，有一名球员从球门正前方12m处将球踢出射向球门，若球的飞行路线是一条抛物线，如图所示。（1）球的飞行高度y(m)与水平距离x（m）的关系式是什么？（2）若没有其他球员的阻挡，足球能被射进球门吗？你有几种求解方法？
在课前，老师把拟定好的预置性作业分发给学生，让学生参照问题预习新课，同时鼓励学生尽量解决课后的练习题。通过这些问题的解决让学生主动探索，形成自己的观点，以便上课和同伴交流。
这一环节主要是想通过具体的情景，激发学生的求知欲望，从而使学生想通过自己的预习来解决问题，使学生有种成就感。同时也可使学生养成一个主动思考和善于思考的学习习惯。
（1）一元二次方程x2+2x=0，
x2-2x+1=0
有几个根？解方程验证一下，一元二次方程有根吗？（2）每个图象与x轴有几个交点？（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
一元二次方程x2+2x=0x2-2x+1=0x2-2x+2=0b2-4ac一元二次方程的根二次函数y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2图象与x轴的交点判别式一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标b2-4ac＞0b2-4ac=0b2-4ac＜0
教学过程中学生往往对所学的知识和探究的问题感觉比较零乱，没有一个系统的、一般的理解与认识。所以安排这一教学环节来及时地把问题和教学内容进行整理和归纳，给学生一明细的系统化的认知。
在一场足球比赛中，有一名球员从球门正前方12m处将球踢出射向球门，球的飞行路线是一条抛物线，水平距离x
m和球飞行的高度y
m满足解析式为y=-x2
+x
。
（1）球飞行的水平距离为多少时高度是1.25m
(2)根据所给的资料，你还能提出什么问题？
学生在前面问题解决中，已经获得了函数与方程之间的联系，他们会很快用两种方法解决(1),之后他们会顺势提出另外一个高度来考同伴，此时他们在交流过程中会遇到有一个解，两个节，无解，和前面有了联系和对比，他们就会类比总结：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=h有交点时，交点的横坐标即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根。
（二）探究交流，分享展示
这一环节，老师安排学生对每一个问题进行组内交流，分工，合作在全班交流，他们解决问题的思路，其他组进行补充质疑，将问题的解决转换为对本节课内容的解决和完善。
（三）求同存异，达成共识
当学生通过环节二的交流，质疑，呈现出自己，小组，全班的不同观点，这里他们会有不同的解决问题的方法呈现，但最终用不同的方法解决了问题，通过归纳总结达成共识，解决本节课的重难点，把课堂还给学生，教师积极参与其中，进行组织。
(四)当堂检测，感悟新知
1、抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为
_______2、抛物线y=x2－2x＋3与两坐标轴交点的个数为
个．3、抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=
____________4、二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围
用课堂形成性评价方式检查学生本节课的学习效果，学生基本上都能够顺利完成前4个小题的解答。第5小题的综合性非常强，问题串一环接一环的引导学生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系。从认识一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c
图象与x轴交点的横坐标，到理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c
与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，这个体会感受的过程对于学生来说起初是模糊的，此时组织学生合作交流讨论，再由小组派代表发言，教师启发、引导学生将问题表达清楚。教学中引导学生用类比的方法来研究，即分解了学生学习上思维难点，又把学生思维逐步引向深处，时间不够的话可采用课后作业。
六、教学板书（本节课的教学板书）
二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程x2+2x=0x2-2x+1=0x2-2x+2=0b2-4ac一元二次方程的根判别式一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标b2-4ac＞0b2-4ac=0b2-4ac＜0（一）、提出问题，布置预习在课前，老师把拟定好的预置性作业分发给学生，让学生参照问题预习新课，同时鼓励学生尽量解决课后的练习题。通过这些问题的解决让学生主动探索，形成自己的观点，以便上课和同伴交流。1、在一场足球比赛中，有一名球员从球门正前方12m处将球踢出射向球门，若球的飞行路线是一条抛物线，如图所示。（1）球的飞行高度y(m)与水平距离x（m）的关系式是什么？（2）若没有其他球员的阻挡，足球能被射进球门吗？你有几种求解方法？（可用待定系数法求出该抛物线的解析式y=-x2
+x；可利用图象，也可以解方程-x2
+x=0。设计意图：这一环节主要是想通过具体的情景，激发学生的求知欲望，从而使学生想通过自己的预习来解决问题，使学生有种成就感。同时也可使学生养成一个主动思考和善于思考的学习习惯。2、（1）一元二次方程x2+2x=0，
x2-2x+1=0
有几个根？解方程验证一下，一元二次方程有根吗？（2）每个图象与x轴有几个交点？一元二次方程x2+2x=0x2-2x+1=0x2-2x+2=0b2-4ac一元二次方程的根二次函数y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2图象与x轴的交点（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？判别式一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标b2-4ac＞0b2-4ac=0b2-4ac＜0设计意图：教学过程中学生往往对所学的知识和探究的问题感觉比较零乱，没有一个系统的、一般的理解与认识。所以安排这一教学环节来及时地把问题和教学内容进行整理和归纳，给学生一明细的系统化的认知。3、在一场足球比赛中，有一名球员从球门正前方12m处将球踢出射向球门，球的飞行路线是一条抛物线，水平距离x
m和球飞行的高度y
m满足解析式为y=-x2
+x
。（1）球飞行的水平距离为多少时高度是1.25m
(2)根据所给的资料，你还能提出什么问题？设计意图：学生在前面问题解决中，已经获得了函数与方程之间的联系，他们会很快用两种方法解决(1),之后他们会顺势提出另外一个高度来考同伴，此时他们在交流过程中会遇到有一个解，两个节，无解，和前面有了联系和对比，他们就会类比总结：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=h有交点时，交点的横坐标即一元二次方ax2+bx+c=h(a≠0)的根
4、通过以上问题的解决，你收获了些什么？设计意图：这一环节可以促使学生对本节课的内容进行主动的、深层次的的回顾与反思，从而加深学生对所学知识的整理、记忆与理解，同时也便于老师对课堂教学效果的及时掌握和调整以后的教学思路。（二）探究交流，分享展示这一环节，老师安排学生对每一个问题进行组内交流，分工，合作在全班交流，他们解决问题的思路，其他组进行补充质疑，将问题的解决转换为对本节课内容的解决和完善。（三）求同存异，达成共识当学生通过环节二的交流，质疑，呈现出自己，小组，全班的不同观点，这里他们会有不同的解决问题的方法呈现，但最终用不同的方法解决了问题，通过归纳总结达成共识，解决本节课的重难点，把课堂还给学生，教师积极参与其中，进行组织。(四)当堂检测，感悟新知1、抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为
_______2、抛物线y=x2－2x＋3与两坐标轴交点的个数为
个．3、抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=
____________4、二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围
5、一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t2＋19.6t
来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．（1）当t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）经过多长时间球落地？（4）方程－4.9t2＋19.6t
=0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗 （5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t
的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗 设计意图：用课堂形成性评价方式检查学生本节课的学习效果，学生基本上都能够顺利完成前4个小题的解答。第5小题的综合性非常强，问题串一环接一环的引导学生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系。从认识一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c
图象与x轴交点的横坐标，到理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c
与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，这个体会感受的过程对于学生来说起初是模糊的，此时组织学生合作交流讨论，再由小组派代表发言，教师启发、引导学生将问题表达清楚。教学中引导学生用类比的方法来研究，即分解了学生学习上思维难点，又把学生思维逐步引向深处，时间不够的话可采用课后作业。