5.1.1 相交线(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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人教版2019－2020学年度下学期七年级数学下册第五章相交线与平行线
5.1相交线
5.1.1相交线
【知识清单】
1.
两条直线相交:如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交.该公共点叫做这两条直线的交点.
如图(1)直线AB，CD相交于点O，形成4个角∠1，∠2，∠3，∠4.
2．邻补角：如∠1、∠2两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线.
具有这种关系的两个角，互为邻补角.
3．对顶角：如∠1、∠3两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角.
4．对顶角的性质：对顶角相等.
【经典例题】
例题1、下列图中，既有对顶角，又有邻补角的是(　　)
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角和邻补角定义进行逐个判定即可.
【解答】A、有邻补角没有对顶角，结论错误；
B、有邻补角没有对顶角，结论错误；；
C、有邻补角没有对顶角，结论错误；
D、符合定义，结论正确．
故选D.
【点评】本题考查的是对顶角与邻补角，熟知对顶角及邻补角的定义以及相关图形是解答此题的关键．
例题2、如图，已知直线a、b、c相交于点O，∠1:∠2:∠3=2:
3:4，则∠3=______．
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】由图形可知，∠1+∠2+∠3是周角的一半，再把∠1，∠2代入便可求出∠3的度数．
【解答】由题意，得
∠1+∠2+∠3=×360°=180°．
设∠1=2x°，则∠1=3x°，∠3=4x°，
根据题意，得2x+3x+4x=180，
解得x=20°.
所以4x=80°.
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是对顶角与平角，熟记对顶角及平角的定义以及方程的思想是解答此题的关键．
【夯实基础】
1．如图，∠1与∠2互为邻补角的是(
)
2．如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1+∠2=80°，则∠3的度数为(
)
A．40°
B．100°
C．120°
D．140°
3．如图，直线EF与直线AB、CD分别相交于点E、F.若∠1＋∠2=180°，则图中与∠1相等
的角(不含∠1)有(
)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
4．∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3.若∠3=75°，则∠1的度数是(
)
A．15°
B．25°
C．15°或105°
D．105°
5．如图是一种对顶角量角器，它所测量到的角的度数是
，用它测量角的原理是
．
6．下列论断：①两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线.
具有这种关系的两个
角，互为邻补角；②有公共顶点的两个角是对顶角；③对顶角相等；④如果两个角的和为180°，
那么这两个角为邻补角；⑤两个邻补角的平分线组成的角的度数一定为90°；⑥一个角的邻补角只有一个.其中正确的结论是
(填序号).
7．一个角的对顶角比它的邻补角的5倍还大12°，求这个角的度数．
8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠DOB，OF平分∠COE，若∠AOC:∠COF=4:5，求∠DOF的度数．
9．如图，直线AB与CD相交于点O，
OM平分∠AOD，ON平分∠BOD.
(1)图中∠MON的度数为_____，写出图中∠AOC邻补角为
，
写出图中互余的角
；
(2)①如果∠NOD=
25°，求∠BOM的度数；
②如果∠AOD=6∠DON，求∠COM，∠CON的度数.
【提优特训】
10．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别为∠AOD，∠COB的平分线，则对顶角有(　　)对
A．3
B．4
C．5
D．6
11．15条直线两两相交，交点最多为a个，交点最少为b个，则a+b的值为(
)
A．103
B．104
C．105
D．106
12．如图，当光线从空气射入水中，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象，则图中
的∠1与∠2的大小关系为(
)
A．∠1=∠2
B．∠1>∠2
C．∠1<∠2
D．无法判断
13.如图①，两条直线交于一点，图中共有对对顶角；如图②，三条直线交于一点，
图中共有对对顶角；如图③，四条直线交于一点，图中共有对对
顶角，…，按这样的规律，10条直线交于一点，且两两相交，那么图中的对顶角共有(
)
A.20对
B.45对
C.90对
D.100对
14．已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，且∠BOC＞∠AOB，OD平分∠AOB，射线OE使
∠BOE=∠EOC．当∠DOE=
72°时，∠EOC的度数为
.
15．如图(1)是六棱柱实心体，有人想测量底部的∠ABC的度数，但人又不能进入六棱柱，只能站在六棱柱外，请问该如何测量
请你给出两个方案(1)
(2)
.
如图2()为了测量底部的角(图中∠ABC)的大小，某同学设计了两种测量方案：
方案1：作AB的延长线，量出∠CBF的度数，
便知∠ABC的度数；
方案2：作AB的延长线，CB的延长线，
量出∠EBF的度数，便知∠ABC的度数.
同学们，你能解释他这样做的道理吗？
16．动手操作，并回答问题(试画出示意图)：
(1)如图①，1条直线可以把平面分成两个部分(或区域)，2条直线最多可将平面分成几个部分3条直线最多可将平面分成几个部分？4条直线最多可以把平面分成几个部分？
(2)平面上有n条直线．两两相交，处于这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多，记为an，试研究an与n之间的关系．
17.
如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOE，OF在∠EOB的内部，
∠EOF=∠FOB，∠COF=70°．求∠COE和∠FOD的度数．
18．如图，直线AB，CD相交于点O.已知∠AOD∶∠BOD=7∶5，OE把∠AOC分成两个角，
且∠EOC=∠AOE+15°.
(1)求∠AOE的度数；
(2)若OF平分∠BOE，问：OB是∠DOF的平分线吗？试说明理由．
19．如图，直线AB、CD、EF相交于点O.
(1)若∠1+∠2=62°，求∠3的度数；
(2)
若∠1:∠2:∠3=2:3:10，求∠COF的度数；
(3)
若∠3－∠2=96°，∠1=26°，求∠2的度数；
20．如图已知直线AB，CD相交于点O，∠1=40°，∠BOE与∠BOC互补，OM在∠BOE的
内部，且∠EOM∶∠MOB=2∶3，
∠COF∶∠FOM=3∶5.求∠COF和∠FOE的度数．
【中考链接】
21．(2019 模拟)
如图，直线a，b相交于点O，∠1＋∠2=____°，∠2＋∠3=
°(邻补角的定义)，所以∠1________∠3(同角的补角相等)．由此可知
对顶角_相等_________．
22．(2019 模拟)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°.
(1)若∠BOE=72°，求∠AOF的度数；
(2)若∠BOD∶∠COE=1∶2，求∠AOF的度数．
　
参考答案
1、B
2、D
3、B
4、D
5、(1)30°，(2)对顶角相等
6、①③⑤
10、D
11、B
12、B
13、C
14、70°
21、180°
，180°
，=
，相等
7．一个角的对顶角比它的邻补角的5倍还大12°，求这个角的度数．
解:设这个角为x，则它的对顶角为x，邻补角为(180－x)
°，
根据题意得x5(180x)=12，
解得x=152°
8．解:设∠AOC=4x°，则∠COF=5x°，
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD=4x°.
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=∠BOD=2x°.
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=∠EOF=5x°.
∴∠FOB=∠FOE∠BOE=5x°2x°=3x°.
∵∠AOC+∠COF+∠FOB=180°
∴
4x+5x+3x=180.
解得x=15°，
∴4x°=60°，
5x°=75°，
3x°=45°.
∴∠DOF=∠DOB+∠BOF=60°+45°=105°.
9．解：(2)
①∵ON平分∠BOD，
∴∠BON=∠DON.
∵∠NOD=
25°，
∴∠BON=∠DON=25°.
∴∠BOM=∠BON+∠NOM=25°+90°=115°.
②设∠DON=x°，则∠BON=x°，∠BOD=2x°，∠AOD=6x°，
∵∠AOD+∠DOB=180°，
∴6x+2x
=180.
解得x=22.5°.
∴6x=135°，
2x=45°.
∵∠AOM+∠BON=90°
∴∠AOM=90°∠BON=65°.
∵∠AOC=∠BOD=2x°=45°.
∴∠COM=∠AOC+∠AOM=65°+45°=110°.
∵∠AOC=45°，
∴∠BOC=180°∠AOC=180°-45°=135°.
∴∠CON=∠COB+∠BON=135+22.5°=157.5°.
或∠CON=180°∠DON=180°22.5°=157.5°.
15．
解：如图(2)方案1：利用了邻补角的性质；方案2：利用了对顶角相等的性质.
16．解：
(1)如图②，2条直线可以把平面至少分成3个部分，最多分成4个部分(直线是两两相交)；
如图③，3条直线可以把平面至少分成4个部分，最多分成7个部分(直线是两两相交)；
如图④，4条直线可以把平面至少分成5个部分，最多分成11个部分(直线是两两相交)；
(2)根据以上的规律：1条直线可以把平面分成2=1+1部分，2条直线最多可以把平面
分成4=1+1+2部分，3条直线最多可以把平面分成7=1+1+2+3部分，4条直线最多
可以把平面分成11=1+1+2+3+4部分，则n条最多可以把平面分成1+1+2+3+…+n，
则an=．
17.
解：设∠3=x°，
∵∠COF=70°．
∴∠2=∠COF－∠3=(70－x)°.
∵∠EOF=∠FOB，
∴∠FOB=2∠EOF=2∠3=2x°.
∵OC平分∠AOE，
∴∠1=∠2=(70－x)°.
∵AB的直线，
∴∠AOB=180°.
∴∠1+∠2+∠3+∠FOB=180°.
70－x+70－x+x+2x=180
解得x=40°，2x=80°.
∴∠COE=∠2=(70－40)°=30°.
∴∠FOD=∠FOB+∠4=∠FOB+∠1=80°+30°=110°.
18．解：(1)∵∠AOD∶∠BOD=7∶5，
∴设∠AOD=7x，则∠DOB=5x，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴7x+5x=180°，解得x=15°，则7x=105°，5x=75°.
∴∠AOD=7x
=105°，
∠DOB=5x=75°.
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD=75°.
∴∠EOC+∠AOE=75°.
∴∠AOE+15°+∠AOE=75°.
解得∠AOE=30°.
(2)OB是∠DOF的平分线．理由如下：
∵∠AOE=30°，
∴∠BOE=180°∠AOE=150°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF=75°，
∵∠BOD=75°，
∴∠BOD=∠BOF，
∴OB是∠DOF的平分线．
19．解：(1)∵直线AB、CD、EF相交于点O.
∴∠1=∠DOF，∠2=∠AOE，
∵∠AOE+∠AOD+∠DOF=180°，
∴∠1+∠3+∠2=180°.
∠1+∠2=62°，
∠3=118°.
(2)设∠1=2x°，则∠2=3x°，∠3=10x°
∵∠2+∠3+∠1=180°，
∴2x+3x+10
x
=180.
解得x=12°，2x°=24°，3x°=36°，10
x°=120°.
∴∠COF
=180°∠1=180°24°=156°.
(3)设∠2=x°，则∠3=x°+96°，
∵∠AOE+∠3+∠DOF=180°，
∴∠2+∠3+∠1=180°，
即：x+
x+96+20=180.
解得x=32°，
∴∠2=32°.
20．
解:
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC=∠1=40°.
∵∠BOE与∠BOC互补，∠AOC与∠BOC互为邻补，
∴
∠BOE=∠AOC=40°.
∵∠EOM∶∠MOB=2∶3，
设∠EOM=2x，则∠MOB=3x.
∵∠EOM+∠MOB=40°，
∴2x+3x=40°，
解得x=8°.
∴2x=16°，3x=24°.
∴∠EOM=2x=16°，
∠MOB=3x=24°.
∵∠COF∶∠FOM=3∶5，
设∠COF
=3x，则∠FOM
=5x.
∴∠COM=∠COF+∠FOM=∠AOB∠AOC∠BOM=180°40°24°=116°，
∴3x+5x=116
解得x=14.5°，
∴3x=43.5°，
5x=72.5°.
∴∠COF
=3x=43.5°，
∠FOM
=5x=72.5°.
∴∠FOE=∠FOM∠EOM=72.5°16°=56.5°.
【中考链接】
22．解：(1)∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=∠BOC.
∵∠BOE=72°，
∴∠BOC=2∠BOE=144°.
∵∠AOC与∠COB为邻补角，
∴∠AOC+∠COB=180°.
∴∠AOC=180°∠COB=36°.
∵∠COF=90°，
∴∠AOF=90°∠AOC=54°.
(2)∵∠BOD∶∠COE=1∶2，
设∠BOD=x，则∠COE=2x，
∠BOE=2x.
∵∠COB与∠BOD为互为邻补角，
∴∠COB+∠BOD=180°，
∴2x+2x+x=180.
解得x=36°，
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD=36°.
∵∠COF=90°，
∴∠AOF=90°∠AOC=54°.
A.
B.
C
D
第19题图
①
②
③
第8题图
第10题图
第15题图(1)
第20题图
第19题图
第22题图
第21题图
第9题图
第18题图
第17题图
第17题图
第12题图
例题2图
第15题图(2)
第2题图
图(1)
第18题图
第22题图
第3题图
第15题图(1)
第16题图①
第16题图②
第16题图③
第16题图④
A
B
C
D
第9题图
第5题图
第20题图
第8题图
第15题图(2)
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