高中数学人教A版（2019）必修第一册第一章教案1.2集合间的基本关系1.4充分条件与必要条件（PDF版）

1.2 集合间的基本关系 (1课时 )
-、 内容和内容解析
1.内容
集合之间的包含与相等的含义;子集、真子集与空集的概念;集合的Ⅴenn图表示。
2.内容解析
教科书关于集合安排了三节内容,第一节引人新的数学对象——集合,第二、三节研究这个
数学对象。研究一个新对象时,类比已有的学习经验是一个好方法。本节类比实数,发现和提出
“
集合是否像实数一样具有相等关系、大小关系
”
的问题,抽象概括出包含关系,并从子集角度
再认识相等关系。
包含关系是集合的基本关系,包含关系和相等关系也都是从元素与集合之间的关系定义集合
之间的关系。也就是说,当我们判断集合间关系时,其实是回归到了元素与集合的关系。明确了
这一点,对于辨析属于关系、包含关系及理解其符号表示都是很有帮助的。如 “A∈ B” 就是
“
对于任意四∈A,c∈ B”。
符号化是数学的重要特征。在集合的学习中,需要建立符号表示和数学意义之间的联系 ,
Venn图则是梳理集合间的关系以及后面所学的运算的直观且有效的工具。通过各种问题,建立
自然语言、符号语言和图形语言 (Venn图)之间的联系,有利于表示数学问题,也有助于提升
学生数学抽象素养。
结合以上分析,确定本节课的教学重点:集合间包含与相等的含义。
二、目标和 目标解析
1.目标
(1)理解集合之间的包含与相等的含义 ;
(2)能识别给定集合的子集,了解空集含义 ;
(3)能进行自然语言、图形语言 (Venn图 )、 符号语言间的转换,提升数学抽象素养。
2.目标解析
达成上述目标的标志是 :
(1)会通过类比实数间关系,发现和提出需要研究的问题;能从元素与集合间关系的角度 ,
分析两个集合之间的包含与相等关系,并用符号语言、图形语言表示这些关系;体会研究数学新
对象的基本方法。
(2)对于具体的集合,能写出集合的子集;能判断一个集合是否是另一个集合的子集;知道
空集也是一个集合,以及空集与其他集合的关系。
(3)在具体问题J清景中,能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言 (Venn图 )的转
换,熟悉符号语言和图形语言的表述方式,并能有意识地使用符号语言表述数学对象,积累数学
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抽象经验。
三、教学问题诊断分析
学生在义务教育阶段数学学习中,已经接触过集合,对于数集、点集等有了一定的感性认
识。从初中到高中、从直观到抽象,了解集合的含义及其性质并不困难。难点在于两种关系的识
别——元素与集合、集合与集合,特别是符号语言的表述,提升了这部分内容学习的抽象度,例
如,(c)CA与 c∈ A,A∈B与 B2A、 A2B等。
此外,对于空集这个特殊的集合,由于其本质特征
“
不含任何元素
”
无法用列举法或描述法
直观地表达出来,所以用一个单独的符号
“
￠
”
来标记。看不见、摸不着,这也是让学生感到困
难的原因.另外,空集也容易和一些集合混淆,比如集合
“(0)” ,“ (0)” 是含有一个元素的集
合,集合中的元素是
“
0” ,而￠是不含任何元素的,因此￠与 (0〉 之间的关系是￠∈ (0)。
本节课的教学难点是集合基本关系的符号表述及识别,对空集的了解。
四、教学过程设计
(-)概念的引入
问题 1:上一节我们学习了集合,对于这个新的研究对象,接下来该如何研究呢?比如要研
究些什么问题?用什么方法研究?
师生活动:学生独立思考、讨论交流:
教师提示,类比已有的学习经验是一个好方法,比如
“
实数
”;然后指引学生回顾实数研究
了哪些内容,如实数间的关系、实数的运算等;最后确定集合的研究问题:集合间的关系,集合
的运算.
设计意图:引 入一个新的数学对象后,关键在于引导学生思考
“
如何研究一个数学对象
”
,
这种思考有助于学生学会研究数学对象,学会发现问题和提出问题。这里采用的
“
类比
”
就是一
种重要的数学思维方法,通过类比实数关系、联想集合关系,提 出要研究的问题。
问题 2:阅读教科书第 7页
“
观察
”,类比实数之间的相等关系、大小关系,集合与集合之间
有哪些关系?
师生活动:学生独立观察,充分思考,交流讨论。
根据学生交流讨论情况,教师可以适时地选择以下问题进行追问。
追问:(1)你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系?(从元素与集合之间的关系来分析
每组两个集合间的关系。)
(2)请用集合的语言归纳概括上述三个具体例子的共同特点。(在每组的两个集合中,第一
个集合中的任何一个元素都是第二个集合中的元素.)
(3)上述三组集合中,前两组的两个集合间的关系与第三组的两个集合间的关系有什么不同
之处?(不同之处是前两组集合中,集合 B中有的元素属于集合A,有的元素不属于集合 A;第
三组集合中,集合 A中的任何一个元素都属于集合 B,反过来,集合 B中的任何一个元素也都
属于集合A。 )
师生活动:教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果,抽象概括成数学定义,介绍子集、
包含关系和相等关系。
设计意图:让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程,其 中包括独立思考和交流讨
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论。这是一个提升学生数学抽象素养的时机。
(二 )概念的理解
问题 3:阅读教科书第 7页
“
观察
”
之后至第 8页
“
思考
”
之前的内容,你有什么疑问?
师生活动:让学生独立阅读这段内容,然后分别提出自己感到困惑的问题。
教师根据学生的回答情况,可以选择以下问题进行追问。
追问:(1)举几个具有包含关系、相等关系的集合,并用符号语言和 Venn图表示。
(2)子集和真子集的区别与联系是什么?
(3)什么是空集?举几个空集的例子。
(4)与实数中的结论
“
若Ω≥3,且 乙≥n,则 Ω=3” 相类比,你对集合间的基本关系有什么
体会?根据实数关系的其他结论,你还能猜想出哪些集合间关系的结论?
师生活动:根据学生举例的情况,教师可以补充一些例子,帮助学生提升对概念的理解,比
如集合
“
〈0)” 是否为空集等例子。根据追问的问题 (4),教师可以引导学生获得教科书第 8页
的两个结论.
设计意图:对于难度不大的内容,特别是符号比较多时,通过阅读,熟悉自然语言、符号语
言和图形语言,并建立它们之间的对应关系;通过阅读,提 出自己的困惑,学会质疑,深入理解
概念;通过举例子,抽象概念具体化,深入理解概念。
(三 )概念的巩固应用
例 1 写出集合 (Ω ,3)的所有子集,并指出哪些是它的真子集。
师生活动:学生分析解题思路,教师给出解答示范。
设计意图:巩 固子集和真子集的概念和性质,体会分类的原则和方法,为 保证不重不漏,要
按照一定顺序写出子集,比如可以根据子集中元素的个数分类。
例 2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集,并说明理由 :
(1)A=(1,2,3),B=(ε |J是8的约数);
(2)A=(J|￡ 是长方形),B=(ε |劣 是两条对角线相等的平行四边形 )。
师生活动:学生判断,教师给出解答示范。
设计意图:检验学生对子集概念的掌握情况,进一步明确判断两个集合之间关系的基本方
法——定义法。
练习:教科书第 8页练习1,2,3。
师生活动:学生做练习,教师根据学生练习情况给予反馈。
(四 )归纳总结、布置作业
教师引导学生回顾本节知识,并回答以下问题 :
(1)两个集合间的基本关系有哪些?如何判断两个集合间的关系?
(2)你是如何研究集合间基本关系的?
(3)包含关系与属于关系有什么区别?比如 (a)∈A与Ω∈A?
设计意图:从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结。
布置作业:教科书习题 1.2第 2,3,4,5题。
五、目标检测设计
1.用适当的符号填空 :
|第
—章 集含与常用逻辑用语 | 41
(1)0 (￡ |=2=ε ); (2)-1 (ε |茁 2=￡ ); (3)￠ (劣 |J2=￡ );
(4) (0) (￡ |茁
2=￡
); (5) (0, 1) (茁 |茁
2=￡
).
设计意图:考查学生对符号语言的掌握程度。
2.已知(夕 ,3)匡X∈ (Ω ,3,c,J),写出满足条件的所有集合 X。
设计意图:考查学生对子集的概念、性质与符号的理解。
1.4 充分条件与必要条件 (2课时,单元教学设计 )
-、 内容和内容解析
1.内容
充分条件、必要条件以及充要条件的意义;判定定理与充分条件的关系,性质定理与必要条
件的关系,数学定义与充要条件的关系。
本单元内容可分 2课时完成:第 1课时,充分条件和必要条件;第 2课时,充要条件。也可
以先把
“
三种条件
”一气呵成地学完,再进行练习等深化理解。
2.内容解析
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,是逻辑思维的基本语
言,充分条件、必要条件和充要条件是数学中常用的逻辑用语.由于中学数学中的许多命题都可
以写成
“
若 p,则 g” 的形式,通过判断命题的真假,分析条件 p和结论 g的关系,可以得到三
个逻辑用语。也就是说 ,“若 夕,则 g” 是真命题,即由夕能推出g,贝刂p是 g的充分条件,即 p
成立,足以保证 q成立;同时,g是 p的必要条件,即 p成立,首先必须 g成立。反之,“若 g,
则 夕
”
也是真命题,则 夕也是g的必要条件,此时,夕 是g的充分必要条件。
由上述分析,也就获得了辨析充分条件、必要条件以及充要条件的方法:即将判断
“p是 g
的什么条件
”
的问题转化为判断命题
“
若 夕,贝刂g” 及其逆命题的真假的问题。具体包括四种情
况:若 p◇q且 g◇p,则 夕为q的充分必要条件;若 p◇q且 ￠劫 ,则 夕为g的充分不必要条
件:若 p劫 且g◇p,贝刂p为口的必要不充分条件:若 夕劫 且￠劫 ,则 p为 g的既非充分又非
必要条件。
在数学知识体系中,数学定义、判定定理和性质定理是重要的组成部分,它们都可以用逻辑
用语表述。每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件,每一条判定定理都给出
了相应数学结论成立的一个充分条件,每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条
件.运用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,可以提高交流的严谨性和准确性。
基于以上分析,确定本单元的教学重点:充分条件、必要条件、充要条件的意义。
二、目标和 目标解析
1.目标
(1)理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系 ;
(2)理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系 ;
(3)理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系 ;
(4)初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,提升逻辑推理素养。
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2.目标解析
达成上述目标的标志是 :
(1)通过梳理典型的数学命题,知道
“
命题真假
”“
条件和结论之间的关系
”“
充分条件
”
三
者之间的关系,能将判断
“p是 g的充分条件”的问题转化为判断命题 “若 p,则 g” 的真假的
问题,能说明充分条件的意义;知道判定定理与充分条仵的联系,能举例说明每一条判定定理都
给出了相应数学结论成立的一个充分条件。
(2)通过梳理典型的数学命题,知道
“
命题真假
”“
条件和结论之间关系
”“
必要条件
”三者
之间的关系,能将判断
“p是 g的必要条件”的问题转化为判断命题 “若 g,则 p” 的真假的问
题,能说明必要条件的意义;建立性质定理与必要条件的联系,能举例说明每一条性质定理都给
出了相应数学结论成立的一个必要条件。
(3)通过梳理典型的数学命题,知道
“
命题真假
”“
条件和结论之间关系
”“
充要条件
”三者
之间的关系,能将判断 勹 是g的充要条件
”
的问题转化为判断命题
“
若 p,则 日”及其逆命题
的真假的问题,能说明充要条件的意义;知道建立数学定义与充要条件的联系,能举例说明每一
条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件。
(4)通过使用三种逻辑用语表达数学对象,进行数学推理,体会并能说明常用逻辑用语在表
达数学内容和论证数学结论中的作用,提升交流的逻辑性和准确性,逐步提升逻辑推理素养。
三 、教学问题诊断分析
学生在初中已经学习了命题、真命题、假命题等概念,会判断一些简单命题的真假.充分条
件、必要条件以及充要条件的判断是建立在命题真假判断基础上的。
“
若 p,则 g” 为真命题,那
么 勹 是g的充分条件
”,也就相当于 “命题的条件”是
“
命题的结论
”
的充分条件,这与学生
已有的推理经验 (由 p推出g)是一致的,所以学生比较容易理解。但是对于
“q是 p的必要条
件
”,相当于
“
命题的结论
”
是
“
命题的条件
”
的必要条件,学生不明白这样分析命题的意义 ,
不容易理解。而且在判断 g是否为夕的必要条件时,需要判断命题
“
若 p,则 g” 的真假,而判
断 p是否为g的必要条件时,需要判断命题
“
若 g,则 p” 的真假,所以学生在判断必要条件时
对于命题的条件和结论也容易混淆。
本节课的教学难点是对必要条件的理解。
四、教学过程设计
1.4.1 充分条件与必要条件
(-)概念的引入
问题 1:在初中,我们学习过命题。什么是命题?命题通常写成什么形式?什么是真命题和
假命题?你能举一些例子吗?
师生活动:根据学生列举的例子,教师和学生一起回顾初中学习的命题的相关知识:命题的
概念、命题的真假等,并引导学生关注到本节主要讨论的命题形式上 :“若 p,则 g” ,通过改写
之前列举的命题的例子,认识条件和结论,
设计意图:复 习初中学过的关于命题、真命题、假命题的概念,认识命题的条件和结论,为
后续学习作好铺垫。
}第一章 集合与常用逻辑用语 | 43
(二 )概念的形成
问题 2:阅读教科书第 17页
“
思考
”,关于思考中的 4个命题,哪些是真命题?哪些是假命
题?你是如何判断一个命题的真假的?
师生活动:学生判断命题 (D~(4)的 真假,教师根据学生情况,可以选择以下问题进行
追问。
追问:(1)关于命题 (D和命题 (4),由条件 p通过推理可以得出结论 g,所以它们是真
命题。对于一般的
“
若 p,则 g” 形式的命题,如果由夕通过推理可以得出g,刀阝么这个命题一
定是真命题吗?反过来,如果这个命题是真命题,能否由p通过推理-定得出g?
(2)关于命题 (2)和命题 (3),由 p通过推理不能得出g,所以它们是假命题。对于一般
的
“
若 p,则 g” 形式的命题,如果由 p通过推理不能得出g,那么这个命题一定是假命题吗?
反过来,如果这个命题是假命题,能否由夕通过推理得出g?
师生活动:学生独立思考追问中的问题、讨论交流。
教师引导学生梳理讨论交流的结果,阐明
“
命题真假
” “
由 p推出 g” “充分条件 (必要条
件)” 之间的关系,给出充分条件和必要条件的定义。
设计意图:从学生熟悉的命题出发,在判断
“
若 p,则 g” 形式命题的真假的过程中,明 确
“
命题的真假
”
与
“
由p推 出g” 的关系,从而引入充分条件和必要条件。
(三 )概念的理解
问题 3:(1)在教科书第 17页 “思考”中的四个命题申,p是 g的什么条件?q是 p的什么
条件?
(2)举一些命题的例子,判断 p是 g的什么条件,g是夕的什么条件。
师生活动:学生独立思考,回答问题。教师进行订正,并提出以下问题进行追问。
追问:(l)对于命题 (D,如果 g不成立,那么 夕成立吗?也就是 “若平行四边形不是菱
形,则这个平行四边形的对角线互相垂直”成立吗?
(2)同样地,对于命题 (4),如果 q不成立,那么夕成立吗?也就是
“
若平面内直线 Ω和D
不平行,则直线Ω和乙均垂直于直线 J” 成立吗?
(3)对于
“
若 p,则 g” 形式的真命题,如果 g不成立,则 p一定不成立吗?为什么?
(4)如何判断 p是否为g的充分条件?g是否为p的必要条件?
师生活动:学生独立思考,讨论交流。
教师根据学生的回答,结合学生列举的例子,重点说明两点 :
(1)必要条件的意义,即
“
如果 g不成立,则 夕一定不成,所以,g对于p成立而言是必要
的,因此 g是 p的必要条件△ 对于学习程度比较好的学生,也可以从形式推理角度说明
“
若 p
可以推出q,刀阝么日不成立时,夕 一定不成立
”,否则,若 p成立,则 g一定成立,矛盾 !
(2)辨析充分条件 (必要条件)的方法:将判断 p是 g的充分条件 (g是 p的必要条件)的
问题转化为判断命题
“
若 p,则 g” 的真假的问题。
设计意图:通过教科书的例子和学生自已举例子,熟悉充分条件和必要条件的意义;借助具
体例子,分析必要性,突破理解必要条件的难点;通过对辨析过程的分析,让 学生掌握判断充分
条件、必要条件的方法。
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(四 )概念的深化
例 1 下列 “若 p,则 g” 形式的命题中,哪些命题中的 p是 q的充分条件?
(l)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形 ;
(2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似 ;
(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直 ;
(0若男2=1,则 J=1;
(5)若 c=3,贝刂Ωc=3c;
(6)若 ￡,丿 为无理数,则 ε丿为无理数。
师生活动:学生判断,教师给出解答示范,然后根据学生情况逐次提出以下问题进行追问。
追问:(l)命题 (l)给出了 “四边形是平行四边形”的一个充分条件,即 “四边形的两组
对角分别相等
”。这样的充分条件唯一吗?如果不唯一,你能再给出几个不同的充分条件吗?
(2)这些充分条件都是初中学习的平行四边形的什么定理?
(3)请举例说明:数学中的判定定理都给出了判定相应数学对象的一个充分条件。
师生活动:学生独立思考,讨论交流。
教师将学生列举的充分条件写在黑板上,如下 :
①若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形 ;
②若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形 ;
③若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形。
补充完善学生讨论交流 (2)的结果,点 明要点:数学中的判定定理都给出了判定相应数学
对象的一个充分条件。
设计意图:一是熟练掌握利用判定命题真假来判断充分条件的方法;二是通过典型的数学命
题,如 四边形是平行四边形、两直线平行、内错角相等,理解判定定理与充分条件的关系,深化
对
“
充分条件
”
的理解。
例 2 下列 “若 p,则 g” 形式的命题中,哪些命题中的g是 p的必要条件?
(1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等 ;
(2)若两个三角形相似,则两个三角形的三边对应成比例 ;
(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形 ;
(4)若 J=1,贝刂=2≡ 1;
(5)若 Ωc=3c,贝刂a=3;
(6)若 Jy为无理数,则 ε,y为无理数.
师生活动:同例 1。
设计意图:一是熟练掌握利用判定命题真假来判断必要条件的方法;二是通过典型的数学命
题,如 四边形是平行四边形、两直线平行、内错角相等,理解性质定理与必要条件的关系:数 学
中的每一条性质定理给出了相应数学结论的一个必要条件,深化对
“
充分条件
”
的理解。
1.4.2 充要条件
(-)概念的引入
问题 4:阅读教科书第 ⒛页
“
思考
”
,≠刂断其中所举出的命题及其逆命题的真假。
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师生活动:学生判断命题 (D~(4)及 其逆命题的真假,教师根据学生情况,可以选择以
下问题进行追问.
追问:(1)每个命题中,p是 g的什么条件?g是夕的什么条件?
(2)哪些命题中p既是 g的充分条件,又是 g的必要条件?
师生活动:学生回答,教师订正,并给出充要条件的定义。
设计意图:从学生熟悉的具体命题出发,通过分析命题及其逆命题的真假,引 入充要条件。
(二 )概念的形成 `
问题 5: (1)在教科书 ⒛ 页的
“
思考
”
所举出的命题中,哪些命题中的 p与 g互为充要
条件?
(2)如何判断 p是 q的充要条件?
师生活动:学生独立思考,交流讨论。
教师与学生共同梳理出判断充要条件的方法:将判断 p是否为g充要条件的问题转化为判断
命题
“
若 p,则 g” 及其逆命题 “若 q,贝刂夕”的真假的问题。
例 3 下列各题中,哪些 p是 q的充要条件?
(l)夕 :四边形是正方形,g:四边形的对角线互相垂直且平分 ;
(2)p:两个三角形相似,g:两个三角形三边对应成比例 ;
(3) 夕: Jy)0, g: J>0, y)0;
(4)p:ε =1是一元二次方程 cε2+阮 +c=0的一个根,g:Ω +3+c=0(Ω ≠0)。
师生活动:学生判断,教师给出解答示范.
设计意图:借助学生熟悉的数学命题,说 明p对于g的充分性和p对于g的 必要性之间的关
系.理解p为 q的充要条件就是 “若夕,则 q” 和
“
若q,则 p” 都为真命题,而这也是判断充要
条件的方法。
(三 )概念的深化
问题 6:(1)若 p△g,贝刂p为 g的充要条件,p唯一吗?请举例说明。
(2)我们已经知道判定定理和充分条件的关系',性质定理和必要条件的关系,那么,充要条
件和什么有关系呢?结合
“
四边形是平行四边形
”
说一说.
师生活动:学生独立思考,举例,讨论交流。
教师选取学生的举例板书,引导学生梳理、完善讨论交流的结果,指明数学定义和充要条件
的关系——数学定义是从充分性和必要性两个方向刻画数学对象的,不同的充要条件从不同的角
度刻画了一个数学对象。
设计意图:在充分条件、必要条件的基础上,进一步理解
“
充要条件
”
的概念,体会充要条
件不唯一;通过举例分析,理解数学的定义与充要条件的关系,进一步理解
“
充要条件
”。
(四 )概念的巩固应用
例 4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线J的距离为J.求证:J=r是直线J与⊙O相切
的充要条件。
师生活动:学生分析题意,给出解题思路。教师根据学生情况,可 以就以下问题进行追问.
然后在学生回答的基础上进行板书示范。
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追问:(1)如何证明充要条件?
(2)证明充分性时,条件和结论分别是什么?证明必要性时,条件和结论分别是什么?
设计意图:在推理之前,明确证明思路,分清条件和结论很重要;这个题目的推理过程略有
难度,需要教师的引导和书写规范的证明过程。
(五 )单元小结、布置作业
教师引导学生回顾本单元所学知识,并引导学生回答下面的问题 :
(1)请用结构框图表示本节所学的知识。
(2)请举例说明什么是充分条件?什么是必要条件?什么是充要条件?如何判断充分条件、
必要条件和充要条件?
(3)请举例说明判定定理与充分条件的关系,性质定理与必要条件的关系,充要条件与数学
定义之间的关系。
设计意图:梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法。
布置作业:教科书习题 1.4第 2,3,4,5题 .
五 、目标检测设计
1.下列各组命题中,p是 g的什么条件?(请用 “充分不必要条件”“必要不充分条件”“充
要条件
”“
既不充分又不必要条件
”
回答)
(Dp:B∈A;g:A∪ B=A;
(2)p:0(=(3;g:|J— 1|(2;
(3)p:两圆的圆心距小于半径之和;g:两圆相交 ;
(4)p:两个三角形有两组边相等,一组角相等;g:两个三角形全等.
设计意图:考查学生是否会判断充分条件、必要条件和充要条件。
2.给出
“
关于 =的一元二次方程
'+J一
锑=o有实根”的充要条件,并证明你的结论。
设计意图:考查学生能否利用已有数学知识给出简单命题的充要条件,并 能用数学的逻辑语
言来证明充要条件。
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