高中数学人教A版（2019）必修第一册第三章教案3.2函数的基本性质3.3幂函数（pdf版）

3。 2 函数的基本性质 (第 1课时 )
-、 内容和内容解析
1.内容
函数的单调性。
2.内容解析
函数的单调性是函数的基本性质之一,它刻画了函数的增减变化规律。因为在现实世界的运
动变化中,增减趋势是主要的变化规律之一,而引进函数单调性的概念为刻画这种变化规律提供
了方法;另外,方程、不等式等问题的求解,也可以利用函数的单调性。因此,函数单调性在数
学内外都有重要的应用.
函数的单调性是函数的
“
局部
”
性质,即它通常是在函数定义域的某个子集上具有的性质 ;
而函数奇偶性、周期性、最大值、最小值是函数在整个定义域上的性质,属于函数的整体性质。
另外,通过研究函数的单调性,就容易得到函数的最大 (小 )值。
从初中到高中,函数单调性概念的形成,经历了从定性到定量的过程,体现了数学概念逐渐
抽象化、严格化的过程,对于数学一般概念的学习具有借鉴意义。初中阶段,用 “y随 J的增大
而增大 (减小)” 来刻画函数图象从左到右的上升 (下 降),学生经历了用自然语言表述图形特
征的过程;高中阶段,通过引人数学符号,并采用 “Vε 1,J2∈ D” 的方式,进一步将
“y随兔
的增大而增大 (减小)” 转化为精确的定量关系,即用不等式刻画
“
增大
”“
减小
”,从而使定性
刻画上升到定量刻画,实现了变化规律的精确化表达.这样一种从图形直观到定性刻画再到定量
刻画的研究过程,以及通过引人数学符号、借助代数语言定量刻画变化规律的方法,体现了数学
抽象的一般过程,对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义。
基于以上分析,确定本节课的教学重点:函数单调性的符号语言刻画.
=、
目标和 目标解析
1.目标
(1)借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最 (小)值 ,理解它们的作用和实际
意义 ;
(2)会用定义证明简单函数的单调性 ;
(3)会根据问题的实际意义,求函数的最大 (小)值 ;
(4)在抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用。
2.目标解析
达成上述目标的标志是 :
(1)知道用符号语言刻画函数单调性时,“任意
”“
都有
”
等关键词的含义;能够从函数图象
或通过代数推理,得出函数的单调递增、单调递减区间;知道函数的单调性反映了现实世界中事
物在量的增加或减小上的变化趋势。
(2)会用函数单调性的定义,按一定的步骤证明函数的单调性 ;
(3)会用函数最大值、最小值的定义,按-定的步骤求函数的最大 (小 )值 ;
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(4)经历从图象直观到自然语言描述再到符号语言刻画的过程,感悟通过引人
“
Vε1,砀 ∈D”
的符号表示,把一个含有
“
无限
”
的问题转化为一种
“
有限
”
方式表示的方法,感受数学符号语
言的作用。
三、教学问题诊断分析
学生在初中阶段已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数,对于每一类函
数都研究了函数值随自变量的增大而变化的规律,能够理解函数图象从左到右上升或下降这一性
质,可以用 勹 随J的增大而增大 (减小)” 这样的自然语言来描述。高中阶段,要通过引人
“
V品 1,￡ z∈ D,当 J1(=2,都有 r(ε 1)r(ε z))” 的符号表达方式,对函
数的单调性实现定量刻画,这样的语言是学生第一次接触,对他们而言是一个很大的难点。
教学中,要利用一次函数、二次函数等,借助一定的教学媒体,如用信息技术展示函数值随
自变量变化而变化的情况,用表格形式加强自变量从小到大时函数值的大小变化趋势等,数形结
合地提出问题,给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程,引 导学生逐步抽象出
函数单调性的定义,再通过辨析、练习帮助学生理解定义。
根据以上分析,确定本节课的教学难点:符号语言的引人,对
“
任意
”“
都有
”
等涉及无限
取值的语言的理解和使用。
四、教学支持条件分析
为使学生更好地理解单调性的形式化定义,降低归纳定义过程中的难度,可利用信息技术 ,
采用动态方式展现函数值随自变量值变化的规律,并体会自变量取值的任意性。
五、教学过程设计
(-)引入
引导语:我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型,这样我们可以通过研究函数的性质
获得对客观世界中事物变化规律的认识。比如,通过研究函数值随自变量值的变化规律,可 以得
到函数所刻画的现实问题的变化规律。
什么是函数性质呢?总体而言,函数性质就是
“
变化中的规律性,变化中的不变性△ 因此 ,
我们研究函数性质,就是要学会在运动变化中发现规律.
问题 1:请看下面的函数图象 (图 D,从中你发现了函数图象的哪些特征?你觉得它们反映
了函数的哪些方面的性质?
图 1
师生活动:教师利用 PPT展示例子,学生观察图象后回答问题。学生的回答有可能涉及很
多方面,教师引导学生关注函数图象从左到右升降变化的特点、对称性、最高点或最低点等。
第三章 |函数的概念与性质 |l03
教师指出:函数图象所反映的这些特点就是函数的性质。本节课我们先研究如何用定量的方
法刻画函数值随自变量的增大而增大 (或减小)的变化规律。
设计意图:通过实例,使学生感受研究函数性质的必要性;结合初中已学的用定性方法刻画
函数单调性的知识,明确学习任务。
(二 )单调性性质的定童刻画
1.具体实例的分析
问题 2:在初中我们研究过二次函数 y=Ω (￡ —九)2+尼 ,从它的图象可以看出:如果 夕>0,
当J<九 时,丿 随=的增大而减小,当 ￡)凡 时,γ 随=的增大而增大;如果Ω(0,当 ε(九 时 ,
y随 r的增大而增大,当 J>九 时,丿 随￡的增大而减小。请问:你是怎样理解
“
丿随J的增大
而减小
”
的?你能说说它的数量特征吗?比如以j=J2为例。
师生活动:学生先独立思考或小组讨论,然后再组织全班交流。
设计意图:从刻画数量特征角度进行描述,可 以促使学生深入思考单调性,以 及从定性描述
转向定量刻画。
追问 (1):“ J增大了”怎么用符号语言表示?“对应的函数值 y减小”又该如何表示?以
丿=J2为例,观察下表,你能给出具体的描述吗?
罚 一 在 -3 -2 ˉ? 1
r(=)〓艹孓 1
师生活动:一般地,学生会从表格中看到具体数值的变化规律,如 :
当￡从-4增大到—3,则 ∫(ε )从 ∫(-4)=16减 小到∫(-3)=9;
当￡从-3增大到-2,则 r(ε )从 ∫(-3)=减小到∫(-2)=4;
当￡从-2增大到—l,则 ∫(J)从 ∫(⊥ 2)=4减少到r(— D=1;
追问 (2):①这样的变化过程能写得完吗?
②你能借助字母符号,归纳出上述具体例子的共同点吗?
师生活动:先让学生从具体到抽象进行概括,教师根据学生回应进行启发,最后得到只要
￡1<助 ,就有∫(￡ 1))∫ (J2).
追问 (3):这里对 JⅡ 茁2有什么要求?只取 (一∞,0]上的某些数是否可以?你能举例说
明吗?
师生活动:让学生展开讨论,教师适当引导,并举出一些例子 (反例)进行说明,最终要让
学生明确,应该是区间 (—∞,四 上的任意两个数。
追问 (4):你觉得更严格的表达应该是怎样的?
师生活动:让学生说出
“
任取ε” 茁2∈ (—∞,0],只要 J1<ε 2,就有 ∫(￡1)>∫ (￡ 2)” ,
教师总结:这里,我们借助数学号语言,给出了一个与
“
无限
”
相关的变化规律的定量描述,即
任取￡l,￡ 2∈ (_∞ ,Ol,就把 “无穷”的问题转化成了具体可操作的有限过程。这就是数学抽
象和形式化的力量。
追问 (5):对于函数丿=',你 能模仿上述方法,给出 “在区间 EO,+∞ )上 ,y随￡的
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增大而增大
”
的符号语言刻画吗?
设计意图:这个环节是本节课的重点,其核心是通过从具体到抽象的过程,让学生学会用严
格的符号语言刻画
“
在区间D上 ,当 ￡增大时,相 应的∫(J)随着减小△ 在 “图象从左到右下
降一γ随￡的增大而减小一任取 J” ε2∈ D,当 Jl<￡ 2时 ,都有 r(J1))r(￡ 2)” 的不断精确
化的过程中,通过问题串,设法把
“
任意
”
两个字从学生的潜意识中
“
逼
”
出来,引 导他们体会
借助符号 (字母表示数的任意性),体会用
“
任意
”
刻画
“
无限
”
的数学方法的威力,并 有效地
突破￡在区间D上的任意取值这一难点。
需要注意的是,因 为函数的单调性是一个比较难理解的概念,学生第一次遇到要用数学符号
语言刻画一个涉及
“
无限取值的问题
”,大 多数学生很难独立想到其中的数学方法,所 以教学中
可以采取先由教师教学启发性讲解,使学生理解
“
在区间D上 ,y随 ￡的增大而减小”可以用
“
任取ε1,=2∈ D,当 =1(ε 2时 ,都有∫(￡ 1))r(J2)” 来严格刻回;然后让学生模仿给出
“
在
区间D上 ,丿 随￡的增大而增大”的符号语言表述。
练习:请你模仿上述过程,用严格的符号语言刻画∫(￡ )=|ε |和 ∫(ε )=~￡ 2的单调性。
2.单调性定义的抽象
问题 3:请你归纳关于函数∫(茁 )=J2,∫ (￡ )=|J}和 r(茁 )=—
'的
单调性的刻画方法 ,
给出函数 y=∫ω )在区间D上单调性的符号表述。
师生活动:先由学生独立完成,然后小组交流,再组织全班交流。在充分交流的基础上,教
师给出严格的单调性定义表述。
3.单调性定义的辨析
问题 4:(1)设 A是区间D上某些自变量的值组成的集合,而且 V茁 1,=2∈A,当 J1时,都有∫(￡ 1)(r(J2),我 们能说函数∫(J)在区间 D上单调递增吗?你能举例说明吗?
(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,你能举出在整个定义域内单调递增的函数
例子吗?你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗?
师生活动:先由学生独立思考完成,再组织全班交流。教师可以提醒学生用多种方法表示函
数 (特别是利用图象直观说明问题).
设计意图:问题 4(1)是引导学生辨析定义中的 “任意”二字;问题 4(2)既 是为了区分
“
单调递增
”
与
“
增函数
”
、
“
单调递减
”
与
“
减函数
”
等概念,同 时也是为了引导学生认识函数
在不同区间上单调递增 (递减)时 ,在 它们的并集上不一定保持单调递增 (递减)的性质。
(三 )单调性定义的筒单应用
例 l 根据定义,研究函数 r⒍ )=尼=+3α ≠0)的单调性。
师生活动:先让学生独立思考,然后共同讨论研究思路;最后由学生给出严格的表述 (可 以
让几个学生板书),教师引导学生进行点评。
这里教师应该强调:(1)研究一个函数的单调性,需要利用单调性的定义,考察在定义域的
哪些区间上单调递增、在哪些区间上单调递减;(2)具体的操作方法是;在条件 =I<￡ 2下 ,考
察不等式∫(￡ l)<∫ (=2)是否成立,这里往往要用不等式的性质和代数变形。
设计意图:关 于一次函数的单调性,初 中是通过观察图象得到的,这里是利用定义通过严格
的逻辑推理证明结论。由此,不仅体现了形式化定义的作用,而且通过比较简单的推理过程,让
第三章 |函数的概念与性质 |145
学生理解用单调性定义考察函数单调性的基本方法。
例 2 物理学中的玻意耳定律 p=钅 (尼 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体
积 y减小时,压强 p将增大。试对此用函数的单调性证明。
师生活动:先让学生独立思考 “体积 V减小时,压强 p增大”的含义,建立物理意义与函
数单调性的联系;再让学生独立给出证明,可让几个学生进行板书,完成后再进行点评完善。
追问:你能总结例 1、 例 2的解题过程,归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数单调性
的基本步骤吗?
设计意图:例 2是一个物理学中的公式,本例要使学生体会函数模型可以用来刻画现实世界
中的现象。而且数学研究的不是一个现象而是抽象概括出来的一般性问题,将 一些不同的现象抽
象成一类函数,通过研究这一类函数的性质获得事物的变化规律。
另外,通过追问,要让学生总结出证明函数单调性的基本步骤 :
第一步,确定函数的定义域 r;
第二步,VJ1,￡ 2∈ r,且设 J1(J2,并将ε” J2代入 r(￡ ),得 ∫(ε 1),r(J2);
第三步,将 ∫(J1)—r(J2)进行代数变形氵转化为可以直接用实数大小关系、不等式的基本
性质等判断其符号或大小关系的式子 ;
第四步,得 出相应的单调区间。
例 3 根据定义证明函数 y=￡十÷在区间
(1,+∞ )上单调递增。
师生活动:先由学生独立思考并写出证明过程,可选几名学生板书,然后再进行全班交流。
要引导学生进一步总结证明步骤,明确代数变形的方向。
设计意图:利用单调性的定义,通过严格的代数推理,获得函数在 (1,+∞ )上单调递增
的性质,这在没有函数单调性定义的时候是做不到的,可 以使学生进一步体会定义的作用;同
时,也可以使学生体会代数证明的一般方法,培养学生的逻辑推理、数学运算等素养。
(四 )课堂小结
问题 5:回答下列问题 :
(1)什么叫函数的单调性?你能举出一些具体例子吗?
(2)你认为,在理解函数的单调性时应把握好哪些关键问题?
(3)结合本节课的学习过程,你对函数性质的研究内容和方法有什么体会?
师生活动:学生独立思考的基础上回答,教师再进行归纳。
设计意图:(1)让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念,通过举例使
学生进一步把握函数单调性的要点;(2)引 导学生进一步理解
“
函数有意义
”
是讨论函数单调性
的前提,“ V品 1,=2∈ r,且设￡1“
r(￡ 1)~∫ (茁 2)” 进行代数变形等 ;
(3)要使学生体会
“
从定性到定量
”
的研究思路,即通过图象直观及自然语言刻画得到函数性质
的定性刻画,再用符号语言进行定量刻画,从而使函数性质得到严谨的数学表达。
六 、目标检测设计
1.请根据如图所示的函数描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系。
设计意图:考查学生通过图象观察得到函数的单调性,并会用其解释实际问题。
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2.证明函数∫o)=—台在区间
(—∞,0)上单调递增.
设计意图:考查学生利用单调性定义进行证明的步骤和方法。
3.画出反比例函数丿=蚤的图象。
(1)这个函数的定义域 r是什么?
(2)它在定义域 Ⅰ上的单调性是怎样的?证明你的结论。
设计意图:考查学生对单调性定义的理解和掌握。
(第 1题 )
3.3 幂函数 (1课时 )
-、 内容和内容解析
1.内容
幂函数的定义,y=J,γ =',γ =J3,y=ε 2,y==ˉ 1五个幂函数的图象与性质。
2.内容解析
幂函数是一类重要的基本初等函数,很多函数都是由幂函数及其他基本的初等函数经过运
算、复合得到的。幂函数是学生进人高中后学习的第一类具体的基本初等函数。学生已学习正比
例函数、反比例函数、一次函数、二次函数,y=ε 1,y=J,丿 =ε2等都是学生很熟悉的。因
此幂函数的学习是在学生已有的函数学习经验上的拓展,主要是在归纳五个具体函数共性基础上
的数学抽象。
“
幂函数
”
的内容安排在
“
函数的概念与性质
”
一章的第 3节 ,是在学习完一般函数的概念
以及函数的基本性质后,选取一类简单的基本初等函数进行研究,使学生明确一类具体函数的研
究内容 (定义、表示一图象与性质一应用),并体会如何在一般函数的概念及基本性质的指导下
展开研究。因此幂函数的学习既是对前面所学内容的巩固,也为后面指数函数、对数函数的学习
打下基础。
基于以上分析,确定本节课的教学重点:幂函数的概念、图象与性质。
二、目标和 目标解析
1.目标
(1)通过具体实例,了解幂函数的定义,会画 y=峦 ,y=￡2,y=￡ 3,y=J万 ,y=ε
1五
个幂函数的图象,理解它们的性质 ;
(2)通过对幂函数的研究,体会研究一类函数的基本内容与方法。
2.目标解析
达成上述目标的标志是 :
(1)能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性,抽象出幂函数的一般形式 ;
会利用幂函数的定义识别给出的函数是否为幂函数;会画出五个具体幂函数的草图,并利用图象
得到它们定义域、值域、单调性、奇偶性等性质;能利用幂函数的性质解决一些简单的问题,如
比较大小等。
第三章 |函数的概念与性质 }l07
(2)结合对幂函数的研究,体会从定义、表示一图象与性质一应用的研究具体函数的方法。
三、教学问题诊断分析
学生在初中已经学习过一些具体的幂函数,但缺乏对研究一类函数的内容和方法的认识,教
学时应联系初中学习函数的经验,以及前面学习过的一般函数的概念和性质,让学生尝试构建本
节课的学习思路,从而体会研究一类函数的内容、思路和方法。
画出γ=J3和 γ=J2的图象会有一定难度。教学时应该先引导学生观察函数解析式的特点 ,
得出丿=￡
3是
奇函数,γ =￡
2的
定义域为非负数的集合等;然后让他们思考如何取点,并利用描
点法作图,分析五个函数图象的共J眭和差异性而得出性质。同时,还要加强信息技术的应用。
在归纳性质时,学生对从哪些方面进行归纳会存在困惑,教师要引导学生思考研究函数的一
般方法及所要研究的内容,结合前面函数性质的研究,为这里性质的归纳作好铺垫。
基于以上分析,确定本节课的教学难点:观察五个幂函数的解析式的共性,抽象幂函数概
念;观察函数图象的内容和方法。
四、教学支持条件分析
利用信息技术,可以将五个具体幂函数的图象画在同一个坐标系中,以利于观察、归纳出函
数的性质。
五 、教学过程设计
(-)幂函数定义的抽象
问题 1:我们知道函数可以来刻画现实世界中的实际问题,请看下面几个例子 :
(1)如果张红购买了每千克 1元的蔬菜 v kg,那么她需要支付 p=ttl元 ,这里 p是 te,的
函数 ;
(2)如果正方形的边长为色,那么正方形的面积 S=Ω2,这里 S是Ω的函数 ;
(3)如果立方体的边长为乙,那么立方体的体积 V=乙 3,这里 V是 3的函数 ;
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么这个正方形的边长 c=A/S,这里 c是 S的函数 ;
(5)女口果某人砂s内骑车行进了 1km,尹阝么他骑车的平均速度 v=÷ km/s, 即γ二莎?
1km/s,
这里 v是 莎的函数。
观察这五个函数的解析式,从自变量、函数值和解析式的结构特征看,它们有什么共性?
师生活动:教师提出问题,学生观察思考后回答问题。根据学生的回答,教师进行必要的补
充。最后指明:这几个函数解析式都具有幂的形式,幂的底数是变量,指数为定值。
教师给出幂函数的定义,并进行板书。
追问 (1):在这几个函数中有没有你熟悉的函数?
师生活动:教师提出问题,学生思考并回答.p=v,s=Ω 2,y=莎 1分别是初中学习过的
一次函数 (正 比例函数)、 二次函数和反比例函数的一种特殊情况,这种形式的函数称为幂函数。
追问 (2):能否根据幂函数的定义各举出一个幂函数的例子?
师生活动:学生思考后回答。教师根据学生的回答,将学生举出的具体幂函数的解析式写到
黑板上,进行评价纠错。
设计意图:通过学生熟悉的实际问题引出幂函数;通过追问 (D使学生建立幂函数与之前
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已学函数的联系;追 问 (2)引 导学生抓住幂函数的形式特点。
(二 )幂函数的图象与性质
问题 2:有了幂函数的定义,接着应该研究什么?请你根据已有的经验说一说。
师生活动:学生回答。教师在学生回答的基础上进行补充,最后指出:根据我们学习过的函
数的知识,应该研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等内容。
追问:如何研究一类函数的这些性质呢?
师生活动:教师在学生回答的基础上进行总结:根据初中学习函数的经验,我们可以先用描
点法画出函数图象,再利用图象得到函数的性质。在画图过程中也可以借助解析式来帮助我们简
化画图的过程。
设计意图:引 导学生回顾已有经验,给 出研究函数的一般内容和方法。
问题 3:关于这五个幂函数,y=￡ ,丿 =J2和 丿=J1的图象是我们熟悉的,如何画出 y=J3
和丿=ε
2的
图象?
追问:观察这两个函数的解析式,你能先说出它们的一些性质吗?
师生活动:学生回答。最后使学生认识到:通过解析式,可 以得到 y=△ 3和 y==2的定义
域,并可以知道 y=ε3是奇函数,丿 =JΞ既不是奇函数又不是偶函数;而且通过解析式得到函数
的性质后,可以简化作图的过程。
学生进行作图,在一个坐标系中画出五个幂函数的图象,教师利用信息技术进行画图并
演示。
设计意图:引 导学生体会研究一类函数的方法。其中,让 学生先观察函数 y=多
3和 y=￡ 2
解析式的特点,对 函数的定义域、单调性、奇偶性等进行初步判断,这样可以使学生提高取点的
目的性,使 图象更好地反映函数的特征,而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点。
问题 4:观察这五个函数图象,它们有哪些共同的性质?有哪些不同的性质?
师生活动:学生回答,通过交流补充归纳得到五个幂函数的性质,并将这些性质填人表
格中。
在获得了上面几条基本性质之后,教师可引导学生关注函数图象所经过的特殊点以及函数图
象的变化趋势,进一步得到
“
函数都过 (1,D点”,y=茁 1的图象 “当￡越来越大时,图象无
限靠近ε轴,且当J趋向于 0时 ,函数图象无限靠近 y轴”这样的性质。
设计意图:引 导学生通过观察函数的图象,得 出五个函数各自性质的基础上,归纳共性和差
异性,得 出幂函数的一些基本性质。
问题 5:利用函数图象我们得到了五个幂函数的上述性质。事实上,观察得到的结论有时候
y△攵 夕△rr2 y△ j° ly亠 t2
y=Jr|1
定义域
值域
奇偶性
单调狻
第三章 |函数的概念与性质 |l09
是不可靠的,我们还应该对其进行严格的证明。你能证明幂函数 r(J)=√t在 E0,+∞ )上是
增函数吗?
师生活动:教师提出问题,学生独立完成,请几位学生板书证明过程。教师对学生的证明过
程进行评价纠错。
设计意图:引 导学生对观察得到的性质进行理性思考,利 用解析式对结论进行严格证明,提
高学生思维的严谨性。同时引导学生认识到用抽象语言表述的单调性定义在证明中的重要作用。
(三 )归纳小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容,并回答下列问题 :
(1)什么是幂函数?结合具体的幂函数,你能说说幂函数具有哪些性质吗9
(2)结合对五个幂函数的研究过程,你能归纳一下函数的研究内容和方法吗?
设计意图:回顾本课的主要知识和研究过程,总结研究函数的内容、思路和方法.
(四 )布置作业
教科书习题3.3第 1,2,3题。
六、目标检测设计
1.已 知幂函数 y=r(ε )的 图象过点 (2,属 ),试求出这个函数的解析式。
设计意图:考查学生对幂函数的定义的理解。
2.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小 :
⑴㈠丿,㈠o` ⑵≡汽,〓凯·
设计意图:考查学生应用幂函数y=￡ 3和 y=多 l的单调性的运用。
3.画出函数 y=|ε 「
1的
图象,并判断函数的奇偶性,讨论函数的单调性。
设计意图:考查学生对研究函数的一般思路和方法的理解。
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