高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章教案5.4三角函数的图像与性质（pdf版）

T的横坐标 JO的本质是以OA为始边,以 OB为终边的角 ,
示。过点 B作 J轴的垂线,垂足为 D,则线段 DB的长即为
标 JO,其纵坐标可以用几何方法精准描出.
因此,弧长 ACB==° ,如 图 1所
|⒍n岔0.于是对于任意一个横坐
图 1
精准绘制一个点的问题解决之后,即可用相同的方法描出其他的点,进而描出正弦函数在一
个周期内的图象,并通过平移描出正弦函数的图象.这个过程充分体现了从特殊到一般的研究
方法。
在此基础上,通过平移变换,画出余弦函数图象。
有了函数图象,就可以发挥图象的直观作用,通过观察,获得正弦函数、余弦函数的性质 ,
并给予代数证明。这一过程充分体现了数形结合思想.
基于以上分析,确定本单元的教学重点:正弦函数、余弦函数的图象及其性质 (包括周期
性、奇偶性、单调性、最值和值域).
=、
目标和 目标解析
1.目标
(1)经历绘制正弦函数图象的过程,掌握描点法,掌握绘制正弦函数图象的
“
五点法
”。
(2)经历绘制余弦函数图象的过程,理解其中运用的图象变换的思想。
(3)经历利用函数图象研究函数性质的过程,掌握正弦函数、余弦函数的性质。
2.目标解析
达成上述目标的标志分别是 :
(1)学生能先根据正弦函数的定义绘制一个点,再绘制正弦函数在一个周期 E0,2π ]内的
图象,最后通过平移得到正弦函数的图象;能说出正弦函数图象的特点,并能用五点法绘制正弦
函数的图象。
(2)学生能用图象变换的方法,由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象,并能就一个具体的
点清晰地解释图象的变换方式及原因;能用
“
五点法
”
绘制余弦函数的图象。
(3)学生能利用正弦函数和余弦函数的图象,得到其周期性、奇偶性、单调性、最值等性
质,并给予代数证明;能利用正弦函数和余弦函数的性质解决有关的问题。
三、教学问题诊断分析
学生之前拥有丰富的绘制函数图象的经验,但是利用定义的几何意义绘制函数图象是第一
次,因此在思维习惯上存在障碍。教学时要给予充分的引导,特别强调要准确地绘制出函数的图
象这一要求,让学生感受到这种做法的困难,然后从三角函数的定义上分析点的坐标的几何意
义,让学生真正理解。
|第五章 三角函数 |sO5
绘制函数任意一点的操作存在困难。为此,可以先选定一个点的横坐标 ￡°∈EO,2π ],然后
用
“
手工细线缠绕
”
的方法找到弧 ACB:找一根没有弹性的细线,在 ￡轴上量出横坐标￡°的
长度,然后将长度为 =° 的细线以A为起点沿逆时针方向缠绕在单位圆上,细线的末端就是 B。
于是图象上的点 (=° ,⒍n=° )随之确定。
在研究正弦函数、余弦函数的性质时,利用图象获得性质容易,但是进行代数论证比较困
难.为此,首先要培养学生的代数说理习惯,其次要给予完整的代数论证过程,还要采取具体化
的方法进行说明,即选择图象上一个点,通过这个点的变化说明图象的变换,并渗透换元转化的
思想方法。
三角函数图象的对称性比较革富,这也是学生理解上的一个困难所在。为此可以借助图象 ,
直观想象函数图象向两端无限延伸的情况.
本单元的教学难点是:掌握准确绘制函数图象一个点的方法,并由此绘制出正弦函数的图
象;对三角函数性质的理解。
四、教学支持条件分析
绘制正弦函数图象的关键是准确地绘制图象上的一个点,为此可让学生用
“
手工细线缠绕
”
法,使用自制教具完成.也可以利用信息技术完成。
后续让学生描出其他的点,并连线描出正弦函数在一个周期内的图象时,同样可以利用信息
技术。
五、教学过程设计
第一部分 正弦函数 、余弦函数的图象
(-)规划研究方案,形成研究思路
问题 1:三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数,按照函数研究的方法,学习了三角
函数的定义之后,接下来应该研究什么问题?怎样研究?
追问:(1)研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的?
(2)绘制一个新函数图象的基本方法是什么?
(3)根据三角函数的定义,需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗?选择哪一个区
间即可?
师生活动:教师提出问题,学生回忆函数研究的路线图,师生共同交流、规划,完善方案。
预设的答案如下。 -
研究的线路图:函数的定义一函数的图象一函数的性质。
绘制一个新函数图象的基本方法是描
`点
法。
对于三角函数,单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置,这一特性已经用公
式一表示,据此,可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程,比如可以先画函数
y=⒍n￡ ,￡ ∈E0,2π]的图象,再画正弦函数 y=sh茁 ,￡ ∈R的图象。
设计意图:规划研究方案,构建本单元的研究路径,以便从整体上掌握整个单元的学习进
程,形成整体观念。
(二 )正弦函数的图象
问题 2:绘制函数的图象,首先需要准确绘制其上一点。对于正弦函数,在 EO,2π彐上任取
30s|酱通高中教科书教师教学用书 数学 必修 第一册 |
一个值 J° ,如何借助单位圆确定正弦函数值 ⒍n茁°,并画出点 T(J° ,⒍n￡°)?
追问 (1):根据正弦函数的定义思考,一个点的横坐标 J° 在单位圆上表示哪个几何量?
⒍叱 0的几何意义又是什么?
师生活动:教师引导学生,根据定义分析确定多0,sin ε0对应的几何量。
追问 (2):根据上述分析,如何具体地作出点 T0° ,⒍nJ° )?
师生活动:教师和学生讨论后,共同通过提前准备的工具尝试绘制这个点。
具体的操作:方法 1:“手工细线缠绕”法 (具体操作办法见
“
教学问题诊断分析
”
).
方法 2:利用信息技术。
设计意图:教师引导学生剖析一个点的画法,深化对正弦函数定义的理解.通过分析点的坐
标的几何意义,准确描点。
问题 3:我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点,类 比指数函数、对数函数图象的画
法,接下来,如何画出函数丿=sin J,J∈ E0,2π彐的图象?你能想到什么办法?
师生活动:学生给出设想,师生讨论后选择一种或者多种适合的方法实施.
预设的答案 :
方案 1:在区间 E0,2π]内任取一些横坐标的值,按照上述方法逐一绘制,再用光滑的曲
线连接。
方案 2:为方便操作,可以在区间 [0,2π]内取等分点,按照上述方法逐一绘制,再用光
滑的曲线连接。
追问:这两种绘制方法的异同是什么?(两种方法本质相同,在信息技术条件支持下都容易
实现,在手工操作的条件下,用方案 2比较可行。)
师生活动:学生用方案 2绘制函数图象.教师借助信息技术,用方案 1绘制函数图象。
设计意图:确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施,同 时体会信息技术给数学研究
带来的便捷。
问题 4:根据函数丿=⒍nJ,ε ∈EO,z9r]的 图象,你能想象正弦函数 y=⒍n￡ ,多 ∈R的图
象吗?依据是什么?画出该函数的图象。
师生活动:学生画图,教师予以指导。
预设的答案:根据公式一,可知函数丿=sin J,J∈ [2尼 π,2(屁 +Dπ ],乃 ∈z且 乃≠0的图
象与 y=sin茁 ,￡ ∈EO,2,rl的 图象形状完全一致。因此将函数 丿=sh=,=∈ E0,2π彐的图象
不断向左、向右平移 (每次移动 2π 个单位长度),就可以得到正弦函数y≡ sh J,ε ∈R的图象 ,
如图 2所示。
图 2
教师指出,正弦函数的图象叫做正弦曲线 (§ne curve),是 一条
“
波浪起伏
”
的连续光滑
曲线。
|第五章 三角函数|307
设计意图:绘制函数丿=sin ε,￡ ∈R的 图象,并培养说理的习惯。
问题 5:如何画出函数丿=⒍nJ,J∈ EO,2π]图象的简图?
追问:在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点?
师生活动:教师提出问题,引导学生观察图 2,并说出他们的想法.
预设的答案:观察图 2,在 函数 丿=sin J,￡ ∈E0,2π ]的 图象上,五个点 (0,0),
(号 ,1),(π ,0),(誓 ,-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用。因此只要描出这五个
点,按照正弦函数图象的走势,并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图,称为
“
五
点法∴
设计意图:观察函数图象,概括其特征,获得
“
五点法
”
画图的简便画法。
(三 )余弦函数的图象
问题 6:如何画出余弦函数 y=cos J的图象?
师生活动:学生可能会类比正弦函数图象的画法,提出用类似的方法画余弦函数的图象。对
此教师应予以肯定,并进一步提出追问的问题。
追问 (1):由三角函数的定义可知,正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数。诱导公式
表明,余弦函数和正弦函数可以互化。相应地,能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数
的图象?
师生活动:学生先用排除法观察诱导公式,选择简洁的公式,作为正弦函数、余弦函数关系
研究的依据。教师引导学生通过比较进行选择。从数的角度看,可以选择关系灬 ￡=⒍<劣 +号 )。 记
∫CLr)=sh J,则 cos J=∫ ⒍+号 )· 囟此函数 γ=cos J的图象,可以看作将函数 γ=⒍n茁 的
图象上的点向左平移号个单位得到
。
追问 (2):你能在两个函数图象上选择=对具体的点,解释这种平移变换吗?
师生活动:这是教学的难点,教师要首先进行示范。教师可以先选择一个具体的点,进行分
析,然后上升到对一般点的分析。得到图象之后还可以再利用图象进行验证。
预设的答案:设 (￡。,γ 0)是函数丿=cos J图象上任意工
`点
,则有为=cos rO=0<缅 +号 ).
令 JO+号 =莎。,则 丿°丁sin彦°9即在函数丿=⒍ n￡ 图象上有对应点 (彦 0,yO)。
比 较 两 个 点 :(rO,y° )与 (J。 ,y° )。 因 为 JO+号 =彦0,即 JO=莎 0一
号
。
所以点 (JO,y。 )可以看做是点 (彦 。,yO)向左平移号个单位得到的,只要将函数 γ=⒍n￡
图象上的、点向左平移号个单位即
可得到函数 丿=cos J的图象 ,如图 3所示 :
30g}誓通高中教科书教师教学用书 数学 必修 第—册 |
,’=cos艿 ,豸∈R y〓sin艿,jr∈ R
1
图 3
教师指出,余弦函数丿=∞ s￡ 9J∈ R的图象叫做余弦曲线 (∞ sine curve)。 它是与正弦曲
线具有相同形状的
“
波浪形
”
曲线。
设计意图:利用诱导公式,通过图象变换,由 正弦函数的图象获得余弦函数图象;增 强对两
个函数图象之间的联系性的认识。
问题 7:类似于用
“
五点法
”
作正弦函数图象,如何作出余弦函数的简图?
追问:余弦函数在区间 E—π,π]上相应的五个关键点是哪些?请将它们的坐标填人下表 ,
然后作出丿≡∞sJ,￡ ∈[_π ,π]的简图.
￠
蜂 ∷艹
设计意图:观察余弦函数图象,掌握其特征,获得
“
五点法
”。
(四 )例题
先用
“
五点法
”
画出下列函数的图象,然后再说明如何经过图象变换得到下列函数的图象 :
(1)丿 =1+⒍n=,￡ ∈E0,2π ]; (2)y=— cos￡ ,￡ ∈匚0,2π ]。
师生活动:学生先独立完成,然后就解题思路和结果进行展示交流,教 师点评并给出规范的
解答。
设计意图:巩 固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握,熟练
“
五点法
”
画图,掌握画
图的基本技能。通过分析图象变换,深化对函数图象关系的理解,并为后续的学习作好铺垫。
(五 )目标检测设计
教科书第 ⒛0页练习第 2题。
设计意图:考查学生对正弦函数、余弦函数图象的基本特征的掌握程度,是否会利用
“
五点
法
”
作图。
第二部分 正弦函数 、余弦函数的性质
(-)正弦函数的周期性
引导语:根据第一部分问题 1获得的研究思路可知,接下来可以利用函数的图象研究其性质
了。所谓性质,就是研究对象在变化过程中保持不变的特征。从前面的研究中,我们已经看到 ,
三角函数具有
“
周而复始
”
的变化规律,这就是三角函数最重要的性质:周期性。
问题 1:观察单位圆上点的纵坐标这种
“
周而复始
”
的变化规律,猜想正弦函数的周期是多
少?用代数方法如何解释你的猜想?
师生活动:首先,学生可以根据图象说出正弦函数的周期 2π ,4π,等等.教师适当启发 ,
引导学生进一步说出 0,-2π ,等等,直至 2屁 π,尼 ∈z,即正弦函数的周期有无穷多个。然后 ,
铈
一ν
二⒛ :
|第五章 三角函数 |sO9
学生利用公式一从代数的角度解释猜想的正确性。最后,教师给出周期函数的定义,并让学生回
答正弦函数是否为周期函数,若是,则指出其周期.
追问 (1):⒍ n(一 管
+号 )=曲《一
管
),⒍n(号 +号 )=⒍n詈 ,⒍n(弩 +号 )=⒍n等 ,
?,那么
号是
正弦函数 y=⒍u的一个周期吗?为什么?这种情况与说 ‰π (尼 ∈⒛ 是正弦函数
的周期有什么不同?(不是,比如 ⒍n(詈 +号 )≠ sin詈·根坶公式一可知,对于正弦函数定义域
内的每∵个自变量,当 自变量的值每增加 ⒛π (凫 ∈z)个单位时,函数值都重复出现。)
追问 (2):在正弦函数的所有正周期中,是否存在一个最小的正数?
师生活动:教师启发学生观察正弦函数图象获得猜想 :2π。然后举例说明,对于任意的莎∈
(0,2π),都可以找到一个∝0,使得 ⒍n(=0+莎 )≠ ⒍n戏。因此正弦函数的最小正周期是 2π。
教师指出,在后续的学习中,如果不加特别说明,那么所涉及的周期,一般都是指函数的最
小正周期。
设计意图:直观理解正弦函数的周期性,了 解最小正周期。
追问 (3):请你阅读教科书 5.4.2节
“
1。 周期性
”
中的内容,回答下列问题:什么叫周期
函数?什么叫周期?什么叫最小正周期?如果一个函数是周期函数,那么它满足的代数关系是什
么?图象特征是什么?
追问 (4):知道了一个函数的周期,对研究它的图象与性质有什么帮助?
师生活动:明确周期函数的定义,并让学生回答正弦、余弦、正切函数是否为周期函数,如
果是,分别指出它们的周期和最小正周期.对于追问 (4),学生先独立完成,之后进行展示交
流,在此基础上教师进行梳理总结.
设计意图:了 解一般周期函数及相关概念,为 下面的研究作铺垫。
(二 )正弦函数、余弦函数的其他性质
问题 2:对于一般的函数,我们通常要研究哪些性质?观察正弦函数、余弦函数的图象,完
成下面的表格.
∶蚕弦函数 余弦函数
定义域
值域
图象
周期
奇偶性
对称轴
对称中心
单调遴增区间
单调递减区间
∷∷最大值点
最小值点
310|普通高中教科书教师教学用书 数学 必修 第一册 |
师生活动:教师布置该任务后,学生通过观察图象,进行直观想象、数形结合,完成上述表
格;之后互相交流讨论,进行修改完善,并进行展示交流。注意,在此环节,只是利用图象得出
结论,下一环节才从代数的角度分析。
在完成表格时,因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性,学生在猜想并写出单调区
间、最值点时可能会产生遗漏,在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑。对此,在学生展示交
流过程中,教师可以通过如下追问促进学生的思考,帮助他们理解,并借助信息技术,引导学生
进行直观想象。
追问 (1):如何理解点 (π ,0)也是正弦函数γ=sin r的对称中心?如何理解直线J=号是
正弦函数 y=sin ε的对称轴?
追问 (2):逐一列举正弦函数 y=⒍nJ的单调递增区间,它们与区间 E一 号,号 ]之间有
怎样的关系?
设计意图:按 照已有的研究方案,落实函数研究的方法和程序;培养学生运用类比、对比的
方法研究对象的意识和能力。
问题 3: 阅读教科书 5。 4.2节 “2。 奇偶性”“3。 单调性”“4.最大值与最小值”的内容 ,
回答下列问题 :
(1)如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性?知道一个函数的奇偶性,对研究它的图象与性
质有什么帮助?
(2)分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性?为什么?
师生活动:教师布置任务后,学生阅读教科书,回答问题.
设计意图:引 导学生重视教科书的阅读,在 直观感知的基础上系统、规范地认识函数的性
质,并获得精准规范的表达,培养思维的严谨性.
第三部分 正弦函数 、余弦函数图象与性质的初步应用
(-)例题
例 1 求下列函数的周期 :
(1)y=3sin ε,茁 ∈R; (2)y=cos2￡ ,tr∈ R;
(3)丿 =2sin(÷J一詈)9ε∈R·
追问:解答完成之后思考,求解的依据是什么?据此求解的步骤是什么?这些函数的周期与
解析式中哪些量有关?
师生活动:对于这些问题,学生能够求出周期,但是不清楚如何规范地表达,这是本例的难
点所在。教师要基于学生课堂上的生成,给出分析求解的思路和程序,并加以示范,帮助学生理
解.对于周期问题,求解的步骤如下 :
第-步 ,先用换元法转换。比如对于
“(2)y=∞ s2￡ ,J∈ R” ,令 h=纟 ,所以y=∫ (J)=
cos2J==cos莎 ;
第二步,利用已知三角函数的周期找关系。有¤ @9c+彦 )=∞s莎 ,代八可得¤ @π+h)=幽 ;
|第五章 三角函数 |311
第三步,根据定义变形。变形可得 ∞蛇(π+￡ )=cos2￡ ,于是就有 ∫(J+,t,=∫ (￡ );
第四步,确定结论。根据定义可知其周期为 π。
周期与自变量的系数有关。仿照上述分析过程可得函数 y=Asin(ωε+甲)的周期为 T=管 .
一般地 ,女口果函数 y=∫ω )的周期是 T,那么函数 y=∫ (ωσ)的周期是吾。
设计意图:通过例题深化对月期和最小正周期概念的理解,形成求解的具体步骤,进而帮助
学生理解函数丿=A sin(ω￡+甲)的周期,为 后续学习作准备。
例 2 下列函数有最大值、最小值吗?如果有 ,请写出取最大值、最小值时自变量 J的集
合 ,并说出最大值、最小值分别是什么。
(1)丿 =cos￡ +1,ε ∈R; (2)丿 =-3sin2J,J∈ R;
(3) ly==ˉ-3sin2￡ , J∈ E号
f ,
π]·
师生活动:学生先独立完成,然后展示交流解题思路和结果,教师点明换元法及其重要作
用。本例中,对于 (1),因为 1是确定值,因此问题转化为求 y=∞sr的最值;对于 (2),令
2J=彦 ,转化为求丿=-3sh莎 的最值;对于 (3),它与 (2)的不同之处在于自变量的范围有
限制。
设计意图:巩 固对最值概念的理解,初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用。
例 3 不通过求值,比较下列各数的大小 :
(D⒍ n(—
瓦
)与 ⒍n(— lO); (2)∞s(一
望E)与 ∞s(— z三 )。
师生活动:学生独立完成,教师进行指导。本例中,对于 (D,可直接应用函数的单调性求解 ;
对于 (2),首先要将所给的角化简,使之位于同一个单调区间内,即转化为第 (D题之后求解.
设计意图:初步应用函数的单调性解决比较大小的问题.
例 4 求函数 y=sin∈
'+:),ε
∈E-2π ,2π]的单调递增区间。
师生活动:师生共同分析此问题,然后共同完成求解 本题中,令 z=告π+号 ,￡ ∈卜 凯 刎 ,
当自变量 J的值增大时,z的值也随之增大,因此若函数 y=sin z在某个区间上单调递增,则函
数 y=sin(号J+詈 )在相应的区间上也一定单调递增。
在解题完成后,教 师可进一步提出此 问题 的变式 问题:求 函数 y=§n(号一:ε ),
J∈ E— 2π ,2π]的单调递增区间。此变式问题让学生独立完成,可能会有一部分学生出错,教
师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析。
设计意图:类比例 3求解,进一步熟练换元转化的思想方法;通过变换 自变量系数的符号 ,
提高学生思维的深刻性,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.
例 5 定义在实数集 R上的偶函数 r(J)的周期为π,且当ε∈EO,号 ]时 ,∫⒍)=∞s=.
(1)求当=∈ E号 ,誓]时 ,∫⒍)的解析式 ;
312|普通高中教科书教师教学用书 数学 必修 第—册 |
(2)画出函数∫(=)在 匚一π,π]上的简图 ;
(3)求函数 F(茁 )的单调递增区间 ;
(4)求当ro)≤崞 时,J的取值范围。
师生活动:有前面函数学习的基础,学生容易求出当￡∈E一号,0]时 ,∫
(J)的解析式。
教师可启发学生,类 比这个求解经验,解决第 (D小题.教师也可以引导学生在求函数解析式
之前,根据J眭质,绘制其草图,这样有助于学生整体把握函数的图象和性质,也有利于此题的
求解。
设计意图:通过解决变式问题,让 学生在不同的问题中理解函数的周期性、奇偶性、单调
性,熟悉周期性在研究函数问题中的作用,并进一步熟悉正弦函数、余弦函数的图象与性质。
(二 )梳理总结
问题 1 教师引导学生回顾本单元的学习内容,回答下面的问题 :
(1)正弦函数、、余弦函数的图象是什么形状?它们具有什么性质?请结合一个具体的函数谈
一谈。
(2)对于正弦函数,我们是如何绘制出它的图象的?又是如何研究它的性质的?余弦函
数呢?
(3)通过本节课的学习,你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认识?对于如何研究一个函
数又有了哪些新的体会?
设计意图:通过小结,复 习巩固本单元所学的知识,加深对正弦函数、余弦函数的理解.通
过对本单元研究过程的总结,体会研究正弦函数、余弦函数性质的方法,进 一步体会研究函数的
一般思路和方法。
(三 )拓展研究
问题 2: 三角函数的定义是利用单位圆给出的,你能利用单位圆的性质研究正弦函数、余
弦函数的性质吗?请将你的研究方案和研究结果写下来。
设计意图:让学生换一个角度认识正弦函数、余弦函数的性质,提升其理解的深刻性.同 时
开放学生的思维,通过探索发现提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.
(四 )布置作业
教科书习题 5.4第 1,2,3,4,5,12,16,18,19题 。
(五 )目标检测设计
1.教科书第 zO3页练习第 2(1)(3)题 ,第 3题 ;
2.教科书第 ⒛7页练习第 2,3题 .
设计意图:(1)考查学生对求函数周期性方法的掌握;(2)考查学生对判断函数奇偶性方法
的掌握;(3)考查学生对求函数最值方法的掌握;(4)考查学生对函数单调性的理解.
|第五章 三角函数 |313