高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章教案2.2基本不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式（pdf版）

2.2 基本不等式 (2课时,单元教学设计 )
-、 内容和内容解析
1.内容
基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用,
2.内容解析
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的基础。基本不等式
是一种重要而基本的不等式类型,在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容。
基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关。从数与运算的角度,气严是两个正数 ε,3
的
“
算术平均数
”,￠石是两个正数四,a的 “几何平均数△ 因此,不等式中涉及的是代数中的
“
基本量
”
和最基本的运算。从几何图形的角度,“周长相等的矩形中,正方形的面积最大”
“
等
圆中,弦长不大于直径”等,都是基本不等式的直观理解。
基本不等式的证明或推导方法很多,上面的分析也是基本不等式证明方法的来源.利用分析
法,从数量关系的角度,利用不等式的性质来推导基本不等式;从几何图形的角度,借助几何直
观,通过数形结合来探究不等式的几何解释;从函数的角度,通过构造函数,利用函数性质来证
明基本不等式;等等。这些方法也是代数证明和推导的典型方法。
基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形,可以推广至刀个正数
的几何平均值不大于算术平均值。基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例,借助这
个模型可以求最大值和最小值。同时,在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与
常量,以及数形结合、数学模型等思想方法.因此,基本不等式内容可以培养学生的逻辑推理、
数学运算和数学建模素养。
基于以上分析,确定本节课的教学重点:基本不等式的定义、几何解释和证明方法,用基本
不等式解决简单的最值问题。
=、
目标和目标解析
l.目标
(D理解基本不等式悦石≤屮 ω>0,馆刈),发展逻辑推理素养.
(2)结合具体实例,用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题,发展数学运算和数
学建模素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是 :
(1)知道基本不等式的内容,明确基本不等式就是
“
两个正数的算术平均数不小于它们的几
何平均数
”;会利用不等式的性质证明基本不等式,能说明基本不等式的几何意义。
|第二章 一元二次函数、方程和不等式 | 77
(2)能结合具体实例,明确基本不等式的使用条件和注意事项,即
“
一正、二定、三相等
”
;
能用基本不等式模型识别和理解实际问题,能用基本不等式求最大值或最小值;在解决具体问题
的过程中,体会基本不等式的作用,提升数学运算、数学建模等核心素养。
三、教学问题诊断分析
由于学生缺少代数式证明的经验,所以基本不等式的证明是本节课的一个难点。基本不等式
的几何解释也是学生不容易想到的,需要数形结合地去理解,所以这也是本节课的一个难点。
此外,在利用基本不等式研究最值问题时,学生容易出现忽视使用条件,不验证等号是否成
立,甚至出现没有确认和或积为定值就求最值等问题,这也是学生思维不够严谨的表现,因此基
本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点.
四、教学支持条件分析
在进行基本不等式的几何解释的教学时,为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动
态关系,并将其转化为代数表示,可以利用信息技术制作一个动态图形,以帮助学生直观理解。
五、教学过程设计
(-)基本不等式的定义
导人语:我们知道,乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么,是否也有一些不等式 ,
它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢?下面就来研究这个问题。
问题 1:在上一节,我们利用完全平方差公式得出了一类重要不等式:对于任意实数 c,D,
有c2+'≥‰3,当且仅当色=3时 ,等号成立。特别地,如果Ω>0,乙>0,我们用Ⅳt,沥分别
代替上式中的夕,D,可以得到怎样的式子?
师生活动:学生独立计算后回答。教师总结:对于Ω)0,3)0,得 到 臼+b≥缅饧D,变形
为/石≤午毕 ①,当且仅当Ω=3时 ,等号成立,通常我们称不等式①为基本不等式。其中 ,
午毕叫做正数四,3的算术平均数,ˇ饧D叫做c,3的几何平均数。基本不等式表明两个正数的
算术平均数不小于它们的几何平均数.
设计意图:通过取上一节课得到的不等式
'+a2≥
2aD的特殊形式,得到基本不等式√乞3≤
午毕 ,同 时在两个不等式之间建立联系。通过分析基本不等式的代数结构特征,得到基本不等
式的代数解释,加深对基本不等式的认识.
(二 )基本不等式的证明
问题 2:前面,我们通过考察 Ω
2+沙 2≥‰a的特殊情形获得了基本不等式,能否直接利用不
等式的性质推导出基本不等式呢?
师生活动:学生可能根据两个实数大小关系的基本事实,用作差比较法证明上式。教师在肯
定学生的做法之后,给出教科书第 44页用分析法证明的过程,同时指出,只要把上述过程倒过
来,就能用不等式的性质直接推出基本不等式了。
追问 (1):上述证明中,每一步推理的依据是什么?
师生活动:学生分别回答教科书第 44页的证明过程中,由②◇①,由③◇②,由④◇③ ,
由⑤◇④的依据。
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追问 (2):上述证明方法叫做
“
分析法△ 你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗?
师生活动:学生讨论后回答。教师总结:分析法是一种
“
执果索因
”
的证明方法,即从要证
明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显
成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等)为止。
追问 (3):根据教科书第 狃 页的证明过程,说说分析法的证明格式是怎样的?
师生活动:学生思考后回答。教师总结 :由于分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它
成立的充分条件,所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明:一般每一步的推理都用 “要
证??只要证??
”
的格式,当推导到一个明显成立的条件之后,指出
“
显然×××成立△
设计意图:根据不等式的性质,用分析法证明基本不等式,同 时引导学生认识分析法的证明
过程和证明格式,为 学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略。
(三 )基本不等式的几何解释
问题 3:在图 1中 ,AB是圆的直径,点 C是 AB上一点,AC=Ω ,
BC=乙。过点 C作垂直于AB的弦DE,连孝AD9BD。 你能利用这个图 A
形,得出基本不等式的几何解释吗?
师生活动:学生思考后回答,教师引导学生总结:从条件和基本不等
E
式出发,发现圆的半径长等于气毕 ,CD=v/1石 ,所以基夺不等式可以利 图1
用
“
圆中直径不小于任意一条弦
”
得到解释。当且仅当弦过圆心时,二者
相等。
设计意图:让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的,因 此这里给出了几何图
形,引 导学生将/沥 和气笋 与图中的几何元素建立起联系,再观察这些几何元素在变化中表现的
大小关系的规律,从而获得基本不等式的几何解释。
(四 )基本不等式的简单应用
例 1 已知￡>0,求 ε+÷的最小值。
追问 (1):“求ε+÷的最小值”的含义是什么?
师生活动:学生思考后回答.教师总结:求 J+÷的最小值,就是要求出一个 y° (=JO+妾 ),
使 Vε)0,都有茁+÷≥丿0.
追问 (2):本题中要求最小值的代数式有什么结构特点?是否可以利用基本不等式求 茁+÷
的最小值?如果能,如何求?
师生活动:学生思考后回答。教师总结:本题中要求的代数式是 苈与÷和的形式,而且
J·
÷
=1。 由于 =+÷是J与÷的算术平均数的 2倍 ,而后者的几何平均数N厅
·
T是一个定
值,所以可以利用基本不等式求解。教师展示教科书第 45页例 1的解答过程.
丨第二章 一元二次函数、方程和不等式 | 79
追问 (3):在上述解答过程中,是否必须说明
“
当且仅当J=⊥ ,即 ε2=1,￡ =1时 ,等号
￡
成立
”
?
师生活动:学生讨论后回答。教师总结:这是为了说明
“
2” 是 ￡+÷的一个取值。请同学
们想一想,当 ry。 <2时 ,ε +÷≥Ⅱ 成立吗?这时能说 y° 是 =+÷ (多>0)的最犭、值吗?
追问 (4):通过本例的解答,你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最
值吗?
师生活动:学生讨论后回答。教师总结:代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式,它
们的和或者积是否是一个定值,不等式中的等号是否能取到,通俗的说,就是
“
一正、二定、三
相等
”。
设计意图:引 导学生根据所求代数式的形式,判 断是否能利用基本不等式解决问题,同 时强
调代数式的最值必须是代数式能取到的值,为 学生求解代数式的最值问题提供示范。
例 2 已知￡,丿 都是正数,求证 :
(1)如果积￡y等于定值P,那么当￡=y时 ,和 ￡+y有最小值 2√t;
(2)如果和￡+y等于定值S,那么当==γ 时,积 εy有最大值÷S2。
师生活动:师生一起分析后,由学生思考并书写证明过程后展示,师生共同补充完善。
追问:通过本题,你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗?
师生活动:学生思考后回答,教师总结:满足
“
两个正数的积为定值,当这两个数取什么值
时,求它们的和的最小值
”,或者
“
两个正数的和为定值,当这两个数取什么值时,求它们的积
的最大值
”
的问题,能够用基本不等式解决。
设计意图:在例1的基础上,再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题,同 时借
此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题,为用基本不等式解决实际问题创造了条件.
例 3 (1)用篱笆围一个面积为 100m2的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱
笆最短?最短篱笆的长度是多少?
(2)用一段长为 36m的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积
最大?最大面积是多少?
追问 (1):前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题,本例的两个问题属于那两
类问题吗?
师生活动:学生思考后回答:属于。第 (1)题可以转化为:矩形的邻边之积为定值,边长
多大时周长最短,实际上是已知两个正数的积为定值,求当这两个数取什么值时,它们的和有最
小值的问题。第 (2)题可以转化为:矩形的邻边之和为定值,边长多大时面积最大,实际上是
已知两个正数的和为定值,求当这两个数取什么值时,它们的积有最大值的问题。
追问 (2):例 2给出了用基本不等式解决问题的数学模型 :
(1)如果正数J,y的积εy等于定值P,郑么当多=y时 ,和 J+y有最小值 2γπ ;
(2)如果正数弘 y的和品+y等干=定值S,刀阝么当￡丁y时 ,积 Jy有最∶尺值÷S2。
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怎样把本例转化为基本不等式的数学模型求解?
师生活动:学生思考后回答:第 (D题可以转化为数学模型 (l)求解,第 (2)题可以转
化为数学模型 (2)求解。
学生进一步回答解答过程,教师予以规范,并板书。
设计意图:本例是典型而较简单的能够用基本不等式求解的问题.通过本例的教学,可 以帮
助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别实际问题,从而用基本不等式解决问题,进 一步发
展学生的模型思想。
例 4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为 4⒛0m3,深为 3m。 如果池底每
平方米的造价为 150元 ,池壁每平方米的造价为 120元 ,那么怎样设计水池能使总造价最低?最
低
'总
造价是多少?
师生活动:学生独立阅读题目,理解题意,教师提出问题 :
(1)水池的总造价由什么来确定?(由池底的边长确定)
(2)如何求水池的总造价?(设贮水池池底相邻两条边的边长分别为εm,ym,水 池的总
造价为 z元 ,则 z=240000+720(J+丿 )。 )
(3)此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗?为什么?(本例实际上是已知两个正数的
积为定值,求当这两个数取什么值时,它们的和有最小值,以及最小值是多少,可以转化为数学
模型 (D解决。)
学生回答解答过程,教师板书.
设计意图:本题的背景更加复杂,需 引导学生简化问题,再用基本不等式模型求解。本例在
例 3的基础上,进一步培养学生用数学的眼光看问题的能力,提升他们的数学建模素养。
(五 )归纳小结
教师引导学生回顾本单元的内容,并回答下面的问题 :
(1)什么是基本不等式?如何推导得到基本不等式?
(2)基本不等式的代数特征是什么?如何从几何图形上解释?
(3)基本不等式的使用条件是什么?如何利用基本不等式解决最值问题?需要注意什么?
(4)本节课有哪些数学思想方法?
设计意图:引 导学生回顾总结本单元的学习内容和学习方法。在小结中,要注意引导学生体
会研究一个特殊代数对象的一般过程。
(六 )布置作业
教科书习题 2.2第 1,2,3,6题。
六、目标检测设计
1. (1)已 知ε>>0,求 2￡ +÷的最犭、值及相应的J值 ;
(2)已知 0(ε(1,求 =(1—J)的最大值及相应的ε值.
设计意图:考查学生利用基本不等式解决简单的最值问题
的能力。
2.如图,用一段长为 30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园,墙长 18m。 当这个矩形的边长为多少时,菜园的面
(第 2题 )
|第二章 一元二次函数、方程和不等式 | 81
积最大?最大面积是多少?
设计意图:考查学生利用基本不等式的模型解决实际问题的能力:
2。 3 二次函数与一兀 ~ 次方程、不等式
(2课时,单元教学设计 )
-、 内容和内容解析
1.内容
一元二次不等式的定义、解法和应用,二次函数与一元二次方程、不等式的联系。
2.内容解析
函数、方程和不等式都是中学数学中非常重要的内容,用函数理解方程和不等式是数学的基
本思想方法。用二次函数观
`点
看一元二次方程、一元二次不等式,可以让学生在初中的相关内容
的基础上,进一步理解函数、方程与不等式之间的联系,逐步形成用函数统领方程和不等式的意
识,进而体会数学的整体性。
从函数的观点来看一元二次方程,当二次函数值为 0时就得到
一
个一元二次方程,解方程就
是求
“
自变量为何值时,函数值为 0”。如果二次函数 y=Ω￡2+阮 +c的图象与ε轴有交点,从
函数的角度来看,交点的横坐标就是函数的零点,从方程的角度来看,交点的横坐标就是一元二
次方程ΩJ2+阮 +c=0的根。同时,函数图象与 ε轴的交点又将￡轴分成几部分,每一部分
(不含交点)对应的函数图象都在 J轴同侧,也就是函数值都为正或者都为负,即 缸2+阮+c>0
或者仞
2+阮
+c(0。 因此,从函数的观点看一元二次不等式,当二次函数值大于0(或者小于 0)
就得到一个一元二次不等式,不等式的解集就是使函数值大于 0(或者小于 0)的 自变量￡的取
值范围。因此,可以利用二次函数的图象来判断一元二次方程根的存在性和根的个数,以及求解
一元二次不等式。
借助二次函数的图象研究一元二次方程与一元二次不等式,使研究方程和不等式的方法更具
一般性和代表性。因此,从函数的角度来研究方程和不等式,体现数学的整体性,凸显函数的重
要地位,其中涉及的数形结合、函数思想等都是数学中重要的思想方法。
基于以上分析,确定本单元的教学重点:用二次函数的观点统一认识一元二次方程和一元二
次不等式,根据三者的联系,利用数形结合推导出求解一元二次不等式的方法。
二、目标和 目标解析
1.目标
(1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义。
(2)借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,体会数学的整
体性。
(3)能够借助二次函数,求解一元二次不等式,并利用一元二次不等式解决一些实际应用问
题,提升数学运算素养.
2.目标解析 ∴ ∶
达成上述目标的标志是 :
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(1)通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程,体会一元二次不等式的现实意
义,能说出一元二次不等式的定义。
(2)能类比
“
一次函数与一次方程、一次不等式
”
的研究经验,得到二次函数与一元二次方
程、不等式的关系,体会运动变化、特殊与一般,以及数形结合等数学思想方法,体会数学的整
体性。
(3)能通过具体实例的归纳与概括得到用函数方法求一元二次不等式解集的基本过程;能利
用一元二次不等式解决一些实际问题,提升数学运算素养。
三、教学问题诊断分析
本节用二次函数的观点看一元二次方程、不等式,需要借助二次函数图象,数形结合地理解
二次函数与一元二次方程、不等式的联系,涉及从联系的角度看待所学知识,因此是学生学习的
一个难点。此外,对于解一元二次不等式,学生会借助解方程的经验,有意识地进行降次,将解
一元二次不等式问题转化为一元一次不等式 (组)问题。因此学生对于利用二次函数来解一元二
次不等式,会产生疑问。
本单元的教学难点是建立二次函数与一元二次不等式的联系。
四、教学支持条件分析
可以利用信息技术,动态呈现二次函数图象,帮助学生从运动变化的角度去理解函数与方
程、不等式的联系。
五、教学过程设计
(-)一元二次不等式的定义
问题 1:园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉。若栅栏的长度是 ⒛ m,围成
的矩形区域的面积要大于 zO m2,则这个矩形的边长为多少米?
师生活动:教师提出问题,要求学生独立设未知数,并列出不等式 J2-12ε +⒛(0,然后
回答。学生容易忘记自变量的取值范围,教师根据情况补充完善,并追问 :
(1)与一元一次不等式类比,这个不等式有什么特点?(只含有一个未知数,并且未知数的
最高次数是 2)
(2)根据一元一次不等式的定义,能否给这不等式起个名字?并给出一般形式?
教师总结:一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2的不等式,称为
一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是 Ω品
2+阮 +c)0(Ω ≠0)或 色￡2+幻 +c(0
(夕 ≠0),其中Ω,3,c均为常数。
设计意图:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了 解一元二次不等式的现实意
义,同 时明确一元二次不等式的定义和一般形式。
(二 )-元二次不等式的解法
问题 2:在初中,我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方
法。类似地,能否从二次函数的观点看一元二次不等式,进而得到一元二次不等式的求解方
法呢?
师生活动:教师用信息技术画出函数 γ=ε
2-12ε +⒛ 的图象,并在函数图象上任取一点
P(￡ ,y),让点 P在抛物线上移动。让学生观察图象,并回答随着点 P的移动,它的纵坐标在
|第二章 一元二次函数、方程和不等式 | 83
变化过程中有什么特殊情况。
学生观察思考后回答:当点 P移动到J轴上时,它的纵坐标等于 Q;当点 P移动到=轴上
方时,它的纵坐标大于 0;当点 P移动到ε轴下方时,它的纵坐标小于 0。
追问 (1):当点 P的纵坐标为 0时 ,如何求点 P的横坐标?
师生活动:引导学生得出:解方程￡2-12ε +⒛ =0,方程的根就是点 P的横坐标。
追问 (2):一元二次方程
'-12多
+zO=o的 实数根与二次函数 y='-12=+zO有 什么
关系?
师生活动:引导学生得出:一元二次方程=2-12茁 +⒛ =0的两个实数根是 2和 10。 从函数
的角度看,就是二次函数 y='-12￡ +⒛ 图象上纵坐标为 0的点的横坐标。
追问 (3):一元二次方程ε
2—
12￡ +20=0的实数根就是二次函数 y=￡ 2-12J+⒛ 图象上
纵坐标为 0的点的横坐标,这个结论可以推广到一般吗?
师生活动:引导学生得出这一结论可以推广。教师总结:对于二次函数 y=Ω严+协 +c,我
们把使″
2+阮 +c=0的实数 =叫做二次函数y=曰′+阮 +c的零点,二次函数γ=茁
2-12J+
⒛ 的两个零点是 2和 10。
追问 (4):二次函数 y=￡
2-12￡ +⒛ 的两个零点将 茁轴分成三段。每一段 (不包括零点)
对应的函数图象有什么特J点?函数值有什么特
`点
?
师生活动:引导学生得出:当 ￡(2或 =)10时 ,函数图象位于 J轴上方,此时丿>0,即
劣2-12劣 +20)0;当 2(劣(10时 ,函数图象位于￡轴下方,此时丿(0.
追问 (5):从函数图象上能确定矩形的边长是多少米吗?
师生活动:引导学生得出:一元二次不等式￡2-12￡ +20<0的解集是 (J|2<=(10),所
以矩形的边长 =满足 2(￡ <10。
设计意图:通过问题串引导学生从具体的二次函数图象入手,了 解一元二次方程的根与相应
的函数图象之间的关系,能根据函数图象得到相应的一元二次不等式的解集,体会函数在判断方
程根的情况及求不等式解集中的作用。
问题 3:上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 色=2+h+c)O(Ω >0)和 缸
2+
3J+c(00>0)的 解集吗?对于一般的一元二次方程Ωε2+阮 +c=0(四 )o)、 一元二次不等
式α茁
2+阮 +c>0G>0)与 相应的函数 丿=纪 2+阮 +cQ)ω 之间是否也具有类似的关系?
师生活动:教师提出问题后,可以让学生以组为单位进行讨论,教师巡视指导;然后全班展
示各组结果,交流讨论,师生共同完成下表 (表 D。
表 1
△=D:-,nc 厶》o 轩 ρ 犭<:0
y=曰跖2+防 +C
(a)0)的 图象
84 |誓通高中教科书教师教学用书 数学 必修 第一册 |
续表
^帮
|△痂 Δ》婶 iΔ|△0 坛茹
曰茁2+防 +c=0
G>0)的 根
曰跖2+防 +c>0
G)0)的 解集
曰多2+防 +c<0
Q>0)的 解集
设计意图:将具体一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的联系推广至一般,能结
合函数图象,判 断一元二次方程的根的情况和解一元二次不等式。在推广的过程中,体会数形结
合和函数思想的应用,以及从具体到抽象、从特殊到一般的研究问题的基本方法。
(三 )应用举例
例 1 求不等式￡2-5￡ +6>0的解集。
例 2 求不等式 9'-6J+1)o的解集。
例 3 求不等式一￡2+2J—3>0的解集。
师生活动:例 1由师生一起分析,教师板书示范;例 2和例 3由学生独立思考并板书,教师
补充完善并追问 :
(1)如何求二次项系数是负数 (即 a(o)的一元二次不等式的解集?
(2)请用框图表示形如 cJ2+阮 +c)0(Ω>0)的不等式的求解过程。
设计意图:以 上都是教科书中的例题,难 度不大,可 以让学生熟悉求解一元二次不等式的
方法。
例 4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 J
(单位:辆 )与创造的价值 y(单位:元)之间有如下的关系 :
y=-⒛
'+2⒛
o=。
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 GO000元以上,则在一个星期内大约应
该生产多少辆摩托车?
例 5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离 sm(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行
的距离)和汽车刹车前的车速 v km/h之间有如下关系 :
s=壳叶彘v2.
在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那 么这辆汽车刹车前的车速至少
为多少?(结果精确到 1km/ω
师生活动:教师要给学生充分的时间进行独立思考并完成,再做课堂展示。教师巡视,对有
困难的学生进行个别指导。
设计意图:用 所学知识解决实际问题,让学生进一步感受一元二次不等式在实际生活中的作
|第二章 一元二次函数、方程和不等式丨 Bs
用,在求解过程中提升数学运算素养。
(四 )归纳小结
教师引导学生回顾本单元的学习内容,并回答下面的问题 :
(1)我们是如何研究解一元二次不等式的?(从具体的实际问题人手,利用函数、方程与不
等式的关系,结合相应的二次函数图象,求一元二次不等式的解集,并将解决问题的方法推广至
一般,得到求一般一元二次不等式解集的方法。)
(2)当 G)0时 ,函数 y=Ωε2+阮 +c与方程cJ2+阮 +ε =0、 不等式 a多2+阮 +ε >0之间
有什么关系?(当 G>0时 ,函数y=n'+阮 +c图象与J轴交点的横坐标就是方程弼2+加+c=
0的解,函数图象在￡轴上方的部分对应的=的取值范围就是不等式夕￡
2+Drr+c)0的
解集.)
(3)请简单说明如何解一元二次不等式ΩJ2+阮 +c>0Ω >0)?(先求方程的解,再画出函
数图象,观察函数图象得到不等式的解集。)
设计意图:教师和学生一起回顾本单元的学习内容,所涉及的数学思想方法和本单元的研究
方法。要将重点放在引导学生进一步理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系上 ,
提升学生对数学内容的联系性和整体性的认识。
(五 )布置作业
教科书习题 2.3第 1,2,3,4题。
六、目标裣测设计
1.已知二次函数γ=a/+h+cG≠ 0)的图象,求一元二次方程倪 2+3茁+c=00≠ 0)
的根和一元二次不等式Ω￡
2+阮 +c)0(c≠O)的解集.
(第 1题 )
设计意图:考查学生结合函数图象求相应方程的根和不等式的解集的能力。
2.求下列不等式的解集 :
(1)￡ 2-4J(0;
(2)— J2+2茁一2<0;
(3)一εz+h-3)0。
设计意图:考查学生求解一元二次不等式的能力。
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