高中数学人教A版（2019）必修第一册第三章教案3.1函数的概念及其表示（pdf版）

3.1 函数的概念及其表示 (第 1课时 )
-、 内容和内容解析
1.内容
函数的概念。
2.内容解析
函数是现代数学中最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言
和工具。在高中阶段,函数不仅贯穿数学课程的始终,而且是学习方程、不等式、数列、导数等
内容的工具和基础,在物理、化学、生物等其他学科中也有广泛应用;在高等数学中,函数是基
本数学对象;在实际应用中,函数是数学建模的重要基础。
学生在初中学习了函数概念,函数定义采用
“
变量说
”。高中阶段要建立函数的
“
对应关系
说
”,它 比 “变量说”更具一般性。与初中的
“
变量说
”
相比,高中用集合语言与对应关系表述
函数概念;明确了定义域、值域,引人抽象符号∫ω ).
函数概念的核心是
“
对应关系
”:两个非空数集 A,B间有一种确定的对应关系∫,即对于
数集A中每一个￡,数集 B中都有唯一确定的y和它对应。这里的关键词是
“
每一个
”
和
“
唯
一确定∴ 集合A,B及对应关系r是一个整体,函数是两个集合的元素间的一种对应关系,这
种
“
整体观
”
很重要。
基于以上分析,确定本节课的教学重点:用集合语言与对应关系建立函数概念。
二、目标和 目标解析
1.目标
(1)建立 “对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念。
(2)理解 y=r(品 )的含义,能用函数的定义刻画简单具体的函数。
(3)在 由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程中,培养学生的数学抽象素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是 :
(1)学生从具体实例出发,能在初中
“
变量说
”
的基础上,进一步抽象对应关系、定义域与
值域等三个要素,构建函数的一般概念.
(2)学生能在确定变量变化范围的基础上,通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系 ,
理解函数对应关系的本质,体会引人符号∫表示对应关系的必要性。
(3)学生能在不同实例的比较、分析基础上,归纳共性进而抽象出函数概念,体验用数学的
眼光看待事物,发展数学抽象素养。
三 、教学问题诊断分析
学生在初中学习函数概念时,没有涉及自变量与函数值的取值范围,也不知道为何要研究变
13G|普通高中教科书教师教学用书 数学 必修 第一册
|
量的取值范围,这是教学中首先遇到的问题。教学中应结合教科书实例 1与实例 2的分析、比
较,让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必要性。
如何认识函数的对应关系,就成为了第二个教学问题。教学中,要让学生通过四个实例建立
解析式、图象、表格与函数对应关系的联系,通过具体的解析式、图象与表格去体会变量之间如
何对应,由此抽象出函数的对应关系∫的本质。
在对四个实例分析的基础上,学生认识到了函数自变量的取值范围、函数值的取值范围及对
应关系对于函数的重要性。但是如何在此基础上让学生进行归纳、抽象出函数概念,并以此培养
学生的数学抽象素养,成为第三个教学问题,这也是本节课的教学难点。教学中可以将四个实例
各自得到的三个要素表格化,让学生从表格中抽象出函数要素及其表示,并在此基础上给出一般
的函数概念。
在得出函数概念后,如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数,建立知识之间的联
系,是第四个教学问题。教学中,除让学生按函数定义,仿照四个实例的分析去具体表述一次函
数、二次函数、反比例函数外,还必须重视让学生采用教科书中的练习题与习题进行练习,也可
以根据学生的学习状态适当增加一些题目供练习。
四、教学支持条件分析
本节课的教学重
`点
是认识函数要素并建立函数概念,会涉及函数值的计算、图象的运用及分
析所得信息,因此可以借助于信息技术解决以上问题,以让学生有更多的时间用于观察与思考函
数的基本要素和抽象概念上。
五 、教学过程设计
引导语:在初中我们已经接触过函数的概念,知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型
和工具 。例如,正方形的周长 Z与边长=的对应关系是 J=4￡ ,而且对于每一个确定的 J都有唯
一的J与之对应,所以 J是 J的函数。这个函数与正比例函数 y=4J相同吗?又如,你能用已有
的函数知识判断γ=J与 γ△笞是否相同吗?要解决这些问题,就需要进一步学习函数概念.
(-)函数概念的油象
问题 1:请同学们根据如下情境回答问题 :
某高速列车加速到 350kmlh后保持匀速运行半小时。
(1)这段时间内,列车行进的路程 S(单位:km)与运行时间莎(单位:ω 的关系如何表
示?这是一个函数吗?为什么?
(2)如果有人说 :“根据对应关系 S=350J,这趟列车加速到 350km/h后 ,运行 1h就前进
了 350km。
”
你认为这个说法正确吗?
(3)你认为如何表述 S与 莎的对应关系才能更精确?
师生活动:教师给出问题后让学生先独立思考并写出回答要点,再小组交流,并提醒学生先
不要看教科书。
让学生分组收集并归纳问题的回答要点,并将要点反馈给教师 (有条件的学校可以利用信息
技术平台收集与呈现学生的回答要点),教师在全班交流的基础上进行适当点评。
学生对问题 (3)可能会有困难,教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范。
设计意图:问题 (D是为了让学生回顾初中所学函数概念,用 “是否满足定义要求”来回
第三章 {函数的概念与性质 |137
答问题;问题 (2).是 要激发认知冲突,发现其中的不严谨;问题 (3)是为了让学生关注到莎的
变化范围,并尝试用精确的语言表述.
问题 2:某电气维修公司要求工人每周工作至少 1天 ,至多不超过 6天。如果公司确定的工
资标准是每人每天 350元 ,而且每周付一次工资,那么 :
(1)你认为该怎样确定一个工人的每周所得?
(2)一个工人的工资四是他工作天数d的函数吗?
(3)你能仿照问题 1中对 S与莎的对应关系的精确表示,给出这个问题中ze,与 J的对应关系
的精确表示吗?
追问:问题 1和 2中函数的对应关系相同,你认为它们是同一个函数吗?为什么?
师生活动:学生阅读题目后,自主回答。
设计意图:问题 (D是引导学生使用不同表示方法,例 如表格的形式 :
獭 冫芰∷ 1 2 3 4 5 6
娇樽i盗冫赤 600 900 1200 1500 1800
熟悉表述方法,又训练抽象概括
(Ak Qu汕 ty Index,简称 AQI)
(AQI)的值 r?
的方法描述 Ⅰ与莎的对应关系吗?
11月 23日 04:00 o8:00 12:00 16:00
图 1
20:00 11月 24日
师生活动:给学生适当时间阅读思考。有些学生可能认为 r不是时间莎的函数,对此可进行
如下追问.
追问:(1)你能根据图 1找到中午 12时的 AQI的值吗?这个值是否唯一存在?
(2)对于数集 A3=(莎 |0≤莎≤24)中 的任意一个值 彦,你会用什么方法寻找此时对应的
r值?
在追问的基础上,教师阐释:因为对于数集A3=(莎 |0≤莎≤24)中的任意一个值 莎,都有唯
解
问
·
通
问
图
Q
@
力


化
能




变
1sB|普通高中教科书教师教学用书 数学 必修 第一册 |
一确定的AQI的值与之对应,所以我们可以根据初中所学的函数定义,得出 r是彦的函数,而且
还可以断定 r的取值范围也是确定的,不过从图中我们不能确定这个范围。如果我们设 r的取值
范围为C,那么从图中可以确定,C∈B3=(】 |0(r(15o)。 这样,我们可以把 r与 r的对应关
系描述为 :
对于数集 A3中的任一时刻ε,按照图 1中 曲线所给定的对应关系,在数集 B3中都有唯一确
定的 AQI的值 r与之对应,因此 r是 彦的函数。
设计意图:学生根据图象描述对应关系有困难,特别是在值域不能完全确定时,通过引入一
个较大范围的集合,使 函数值
“
落入其中
”,这是学生经验中不具备的。实际上,如果用映射的
观点看,这 时的映射就是非满射。为此,在 问题 (D之后,先 让学生认可图象表示一个函数 ,
然后再通过教师讲解,给 出对应关系的描述方法,从而化解难点。这里,只 要学生能够理解 r是
莎的函数,并能够接受这种描述方式就可以了。
食物支出金额
问题 4:国际上常用恩格尔系数 '(r= 蠲
〉《1009亻 ) 反映一个地区人民生活质量的
高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。表 1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可
以看出,该省城镇居民的生活质量越来越高。
表 1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化倩况
年份
^
2007 2008 2009
罩犟那∷释扌阝|r【野冫 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29,35 28,57
(1)你认为按表 1给出的对应关系,恩格尔系数 r是年份y的函数吗?为什么?
(2)如果是,你能仿照前面的方法给出精确的刻画吗?
(3)如果我们引入 B4=(r|0≤
'≤
1),将对应关系表述为
“
对于任意一个年份 y,都有 B4
中唯一确定的 r与之对应
”,你认为有道理吗?
师生活动:先让学生思考,然后通过信息技术或其他方式对
“
恩格尔系数 r是年份y的函数
吗
”
进行
“
是
”
与
“
不是
”
的选择性投票,教师根据投票情况进行点评,从而解决问题 (1)。
让学生不看教科书,分组练习用集合与对应的语言刻画函数,并让学生代表发言,教师给予
点评,从而解决问题 (2)。
学生给出的函数值取值范围可能是表中 r的 10个值,教师在肯定的基础上进行引导:根据
恩格尔系数的定义,r的取值范围是B4=(r|0(r≤ 1),以 B4为年份与所对应的 r的值所在的
集合更具有一般性。
设计意图:与 问题 3的 情况类似,学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在
疑惑,通过问题引导学生思考,教师再作适当讲解,从而使学生接受。另外,对于函数值所在的
集合 B4的合理性,以教师从恩格尔系数的定义的角度进行解释即可.
问题 5:上述问题 1~问题 4中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数的本质特征吗?
师生活动:给学生充分思考的时间,引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程。
如果学生归纳、概括有困难,可以给出表 2帮助学生思考。
第三章 |函数的概念与性质 |139
表 2
蔺趱倩境 自变鼙的集夸 斌睐 寨 豳数值所在集舍 ∷备数值的祭合
问题 1 A1=(莎 |0≤ε≤0.5) S=350J
Bl=(S|0≤ S≤
150)
B1
嗨翘,
∷∷∷∷
A2=(1,2,3,4,5,6) 叨=350d
B2 = (350, 700,
1050, 1400, 1 750
2100)
B2
间题 3 A3=(莎 |0≤莎≤⒛) 图 1
B3=(】 |0(r<
150)
C3(C3ζ≡B3)
问题 4
A众 =(2006,2007,2008,
2009, 2010, 2011, 2o12,
2013, 2014, 2015)
表 1 B4=(川 0<'≤ 1)
C4=(0.3669,0.3681,0.3817,
o.3569, 0.3515, 0,3353, 0.3387,
o.2989,0.2935,0.2857)
教师引导学生得出 :
(l)都包含两个非空数集,用 A,B来表示 ;
(2)都有一个对应关系 ;
(3)尽管对应关系的表示方法不同,但它们都有如下特性:对于数集 A中的任意一个数ε,
按照对应关系,在数集 B中都有唯一确定的数丿和它对应。
在上述归纳的基础上,教师先讲解:事实上,除解析式、图象、表格外,还有其他表示对应
关系的方法,为了表示方便,我们引进符号∫统一表示对应关系。然后给出函数的一般性定义 ,
并解释函数的记号丿=∫(J),ε ∈A。
设计意图:让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征,体会数学抽象过程,概括出用集合
与对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中,要突破
“
如何在四个实例基础上让学生进行归
纳、概括、抽象出函数概念,并 以此培养学生的数学抽象素养
”
这一难点,突 出
“
在学生初中已
有函数认识基础上,通过实例归纳概括出函数的基本特征 (要 素),用 集合与对应的语言建立函
数的概念
”
这一教学重点。
(二 )函数概念的初步应用
问题 6:如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数,那么你会怎样
表述这些函数?
师生活动:在学生思考后,教师用一次函数与二次函数进行示范,学生用反比例函数进行练
习。学生完成教科书中练习的第 1题~第 3题 ,教师对学生的练习进行点评。
设计意图:用 函数定义重新认识已学函数,加深对函数定义的理解,进 一步体会定义域、对
应关系与值域是函数的三个要素。
问题 7:你能构建一个问题情境,使其中函数的对应关系为 y=茁 (10—J)吗 ?
师生活动:在学生思考后,教师以例 1进行示范。若学生学习基础好,则让他们完成教科书
例 1后
“
探究
”
栏目的问题;若学习基础一般,则要求他们完成教科书练习第 4题。
设计意图:让学生在完成例 1的过程中,进一步体会函数模型应用的广泛性,加深对函数概
100|普通高中教科书教师教学用书 数学 必修 第一册 |
念的理解。
(三 )课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容,并引导学生回答下列问题 :
(1)什么是函数?其三要素是什么?
(2)对于对应关系∫,你有哪些认识?
(3)与初中学习过的函数概念相比,你对函数又有什么新的认识?
(4)本节课我们是怎样得到函数概念的?结合本节课的学习,你对如何学习数学又有什么
体会?
师生活动:教师出示问题后,先由学生思考后再进行全班交流,最后教师再进行总结。要强
调如下几点 :
(1)函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准 ;
(2)要通过具体例子理解函数的对应关系∫的特征,特别是对于
“A中任意一个数”“B中
都有唯一确定的数
”
等关键词的含义要认真体会 ;
(3)对应关系∫的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式,但它们的实质相同,在
后续的学习中要注意积累用适当的方式表示函数的经验;等等。
设计意图:引 导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程,关键词的理解等角度进行小结 ,
进一步加深对函数概念的理解。
(四 )布置作业
教科书习题 3.1第 1,11,14题。
六、目标检测设计
1.近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题。图中的曲线显示
了南极上空臭氧层空洞的面积从 1979~⒛01年的变化情况。
/
`
V
/ √
'
/
19791981 1983198519871989 1991 19931995 199719992001 豸
(第 1题 )
(1)臭氧层空洞的面积是时间的函数 ,这个函数的对应关系是
(2)上述函数的定义域是 ;值域是
设计意图:考查学生对函数三个要素的认识,巩 固函数概念。
2.习题 3.1第 8题。
设计意图:考查学生运用函数概念刻画实际问题的能力。
y

⒛
%
犭
⒛

5

⑷

5
@
吲
巛
杈
沣
R
肛
〓g
耕
第三童 |函数的概念与性质 |l01