高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章教案4.5函数的应用（二）（pdf版）

4.5 函数的应用 (=X第 2课时 )
-、 内容和内容解析
1.内容
教科书例 5和例 6,用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程。
2.内容解析
函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。本节课是函数模型的应
用的第 2课时,是在学生学习了函数的概念和性质,学习了幂函数、指数函数、对数函数后的综
合应用。结合对投资回报和选择奖励模型两个问题的分析,通过比较指数函数、对数函数、线性
函数等函数模型的增长速度的差异,进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义,并依此
选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律。
本节课的学习,既是前面学习过的函数有关知识的综合应用,也可以让学生体会建立数学模
型解决实际问题的一般过程.在此过程中,激发应用数学的意识,逐步形成分析问题、解决问题
的能力,提升数学抽象、数学建模等素养.
根据上述分析,确定本节教学的教学重点:选择合适的函数类型构建数学模型,体会建立数
学模型解决实际问题的一般过程。
二、目标和 目标解析
1.目标
能将具体的实际问题化归为函数问题,并能通过分析函数图象及表格数据了解相应的对数函
数、线性函数、指数函数的变化差异,正确选择合适的函数模型解决实际问题,提升数学抽象、
数学建模等素养。
2.目标解析
达成上述目标的标志是 :
(1)能明确教科书例 5中的数量关系,指出每个方案的函数模型,为将实际问题抽象为数学
问题并化归为函数模型作准备 ;
(2)能从教科书中的例题条件出发,根据
“
对数增长
”“
直线上升
”“
指数爆炸
”
的含义,数
形结合地辨别三种函数的增长差异,从而选择不同的函数模型 ;
(3)在选择或建立函数模型解决实际问题的过程中,围绕
“
是什么数学问题
”“
选什么函数
模型
”“
为什么要选某个函数模型
”
f怎么解答实际问题
”,提升学生的数学抽象和数学建模素养。
≡、教学问题诊断分析
首先,学生在本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图象和性质,并应用它们解
决学科内的一些问题和一些简单的实际问题。但是面对较复杂的实际问题,如何将其转化为数学
问题,特别是如何选择函数模型来刻画实际问题,大多数学生既缺乏这方面的经验,也缺乏数学
抽象的能力,以及对不同函数模型增长差异的深刻认识。教学时可以多从两个方面帮助学生克服
困难:一是根据实际问题的条件建立等量关系,从而将实际问题抽象为数学问题;二是从数和形
出发,定性和定量地分析实际问题的变化规律,从而选择合适的函数模型。
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其次,在利用函数模型解决问题的过程中,大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模
型进行运算求解的良好习惯.在教学中,可以鼓励学生使用信息技术进行复杂的运算求解,画图
列表,多元联系地表示数学对象并分析问题,从而逐步形成利用信J息技术研究实际问题的意识。
本节课的教学难点是如何选择合适的函数类型建立实际问题的数学模型。
四、教学支持条件分析
为了帮助学生克服选择实际问题的函数模型,并利用所得函数模型解决问题的困难,教学时
应充分利用信息技术的计算、作图、列表等功能,处理实际数据、便捷地求解,让学生将主要精
力投人到定性和定量地分析问题上,针对不同函数模型动态地研究其变化规律.
五、教学过程设计
(-)例题教学
例 1 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下 :
方案一:每天回报 仞元 ;
方案二:第一天回报 10元 ,以后每天比前一天多回报 10元 ;
方案三:第一天回报 0.4元 ,以后每天的回报比前一天翻一番。
请问,你会选择哪种投资方案?
问题 1:请初步选择一种你认为合适的投资方案。
追问:(1)你能根据例题提供的三种投资方案的描述,分析出其中的常量、变量及其相互关
系,并建立三种投资方案所对应的函数模型吗?
(2)三个方案的本质是三个不同的函数模型,如何选择一个标准来比较它们的差异,从而选
择合适的函数模型?
(3)根据例 1中的表格提供的数据,你对三种投资方案分别表现出的回报资金的增长差异有
什么认识?
(4)你能借助信息技术作出函数图象,并根据图象描述一下这三种方案的特点吗?
师生活动:教师可提出进一步的问题,指导学生分析其中的数量关系,引导学生正确写出三
种投资方案所对应的每天回报金额关于天数的函数解析式;再利用表格和图象比较分析三种函数
模型的增长情况,作出需要分投资天数进行选择的初步判断。
设计意图:例题教学除了关注例题本身承载的教学目的外,还要注意不同层次的学生在学习
上的差异,本例设问意在分层次、有针对性地给出不同的台阶,做到
“
总体引导,分层指导”。
结合学生的实际情况,利 用追问逐步深入:追 问 (D意在指导学生将实际问题转化为数学问题 ;
追问 (2)意在引导学生根据不同函数的增长差异选择合适的函数模型;追 问 (3)意 在引导学生
利用数表对三种模型的增长情况进行分析,借助增加量初步发现当自变量变得很大时,指数函数
比一次函数增长得快,一次函数比对数函数增长得快,尤其是引导学生通过观察增加量体会指数
函数 y=0.4× ⒉
1(￡
∈N关 )的 增长速度;追问 (4)意 在借助计算结果与图象直观理解
“
对数
增长
”“
直线上升
”“
指数爆炸
”
的实际含义,并通过描述三种方案的特点,为 下一个问题埋下
伏笔。
问题 2:仅仅分析每天的回报数就能准确作出选择吗?请结合教科书 152页边空的问题进一
步思考:关于三种投资方案的选择,你应当如何判断?
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追问:教科书 152页边空的问题中,是根据投资天数作出不同方案的选择,划分天数的标准
是什么?这种划分正确吗?
师生活动:教师可根据学生的答案,指出计算每月回报的增加量 (或增长率)是对数据的基
本处理方法,本例提供的表格和图象都可以直观看出三种函数模型的增长差异,但要具体到投资
的天数,回报的增加量还不足以作为选择投资方案的依据,然后利用追问引导学生选择累计的回
报数进行判断,作出正确的回答。最后,在问题 2的基础上,给出本题的完整解答。
设计意图:教师进一步引导学生分析影响方案选择的因素,使学生认识到要作出正确选择 ,
除了考虑每天的收益外,还要考虑一段时间内累计的回报。最后借助计算工具,得 出总收益并作
出正确判断。
例 2 某公司为了实现 1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在
销售利润达到 10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金丿(单位:万元)随销售利润 J(单位:万
元)的增加而增加,但奖金总数不超过 5万元,同时奖金不超过利润的 25%。 三个奖励模型 :
丿=0.25￡ ,丿 =log7￡ +1,γ =1。 00',其中哪个模型能符合公司的要求?
问题 3:根据题目条件,你认为应该选择哪个奖励模型才符合公司的要求?
追问:(1)公司提出的要求与函数的什么性质有关?这对选择函数模型有什么帮助?
(2)函数图象能直观反映函数的性质特征,从而可以直观判断函数模型是否符合公司的要
求。为此,你能否作出函数图象,并通过观察作出初步的判断吗?
师生活动:教师可以在学生思考问题 3的基础上,提出追问中的问题,进一步指导学生结合
题目条件,分析例题中隐藏的数量关系,引导学生根据函数的图象与性质确定符合公司要求的函
数模型。
设计意图:这里依然关注教学的生成,继续在总体指导下有针对性地给出不同台阶的分层问
题,追问 (D意在引导学生关注实际问题的变化规律,并建立与函数性质的联系,为 选择合适
模型作好准备;追 问 (2)意在引导学生作出函数图象,并结合函数性质作出初步判断,从 而实
现将实际问题向函数模型转化。
问题 4:你能说明选择模型的理由,并给出本题的解答吗?
追问:(1)如何判定所选择的奖励模型是否符合要求?
(2)能否给出本题的解答过程?
师生活动:教师在学生尝试给出解答的基础上,通过追问中的问题作进一步的指导,帮助学
生从画函数图象人手,通过观察函数的图象,得出初步的判断,再通过具体计算求解得出正确
结果。
设计意图:教师进一步引导学生分析实际问题,并根据函数性质选择合适的函数模型,给出
正确解答。追问 (1)意在引导学生指出判断依据;追 问 (2)意在指导学生确认解题基本思路 ,
从而学习运用函数观点分析问题。
(二 )课堂练习
问题 5:完成教科书第 154页练习 1,2。
师生活动:教师结合两道例题的教学情况让学生进行练习,并根据学生的解答情况,给出应
有的指导,或提供正确的解答。
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设计意图:促进学生进工步应用函数解决实际问题,并从中评价学生达成教学目标的情况。
(三 )刂、结
问题 6:通过解答以上两道例题的实际问题,并结合教科书中的例 3和例 4,你能归纳出建
立函数模型解决实际问题的基本过程吗?
设计意图:总结建立函数模型解决实际问题的基本过程,提升解决实际问题的能力。
(四 )布置作业
必做题:教科书习题 4.5第 11,12题。
选做题:教科书习题 4.5第 ⒕题。
六、目标检测设计
1.为了能在规定时间 T内完成预期的运输量 Q° ,某运输公司提出了五种运输方案,每种方
案的运输量 Q与时间彦的关系如下图所示.运输效率 (单位时间内的运输量)逐步提高的图象编
号是 。
0 T饣 0 T` o rr C, T莎 0 T莎
(1) (2) (3) (4) (5)
设计意图:考查在具体背景下,根据不同函数模型的增长特点选择合适的函数图象刻画实际
问题。
2.某工厂今年前三个月生产某种产品的产量分别为 1万件、1.2万件、1.3万件。现有三种
函数模型用于描述产量 y(单位:万件)关于月份 ￡的关系:y=弼 +3,丿 =GJ2+缸 +c,γ =
Ω3J+c。 若 4月 份的产量为 1.37万件,请问哪个函数更符合实际?
设计意图:考查根据题目条件,选择合适的函数模型刻画实际问题。
3☆ 。设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和,在不考虑空气阻力的条件下,两火箭的最大速
度之差与这两火箭质量的自然对数之差成正比。已知某火箭的箭体质量为彻 kg,当燃料质量为
解 kg时 ,该火箭的最大速度为 21n2km/s,当燃料质量为狃(e一 D kg时 ,该火箭的最大速度为
2km/s。
(1)写出该火箭最大速度 y与燃料质量￡的函数解析式 ;
(2)当燃料质量为多少时,火箭的最大速度可达 12km/s?
设计意图:考查建立函数模型,并利用所得函数模型解决实际问题。
°
鱿
°
鱿
°
鱿
口
鱿
口
鱿
|第四蕈 指数函数与对数函数 |213