1.2.1 任意角的三角函数(共49张PPT)
文档属性
| 名称 | 1.2.1 任意角的三角函数(共49张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 273.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-11 23:41:43 | ||
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文档简介
(共49张PPT)
《高中数学》
必修4
1．2．1《任意角的三角函数》
江均亮
教学目标
1、知识与技能
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
二、教学重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第一课时
问题提出
1.角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？
（1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.
（2）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零角.
（3）角的大小是任意的.
2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？
（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
3. 与角α终边相同的角的一般表达式是什么？
β=α＋k·360°（k∈Z）或
（2）180°＝ rad.
4.如图，在直角三角形ABC中，sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？
A
B
C
α
5.当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.
知识探究（一）：任意角的三角函数
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r，那么，sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？
思考2：对于确定的角α，上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？
x
y
o
P(a，b)
α
r
A
B
思考3：为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？
x
y
o
P(a，b)
α
1
思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.对于角α的终边上一点P，要使|OP|=1，点P的位置如何确定？
α的终边
O
x
y
P
思考5：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），为了不与当α为锐角时的三角函数值发生矛盾，
你认为sinα，cosα，tanα对应的值应分别如何定义？
α的终边
P(x，y)
O
x
y
思考6：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否惟一？
α的终边
P(x，y)
O
x
y
正、余弦函数的定义域为R，
正切函数的定义域是
思考7：对应关系 ， ， 都是以角为自变量，以单位圆
上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？
思考8：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？
P(x，y)
O
x
y
知识探究（二）：三角函数符号与公式
思考1：当角α在某个象限时，设其终边与单位圆交于点P（x，y），根据三角函数定义，sinα，cosα，tanα的函数值符号是否确定？为什么？
α的终边
P(x，y)
O
x
y
思考2：设α是一个任意的象限角，那么当α在第一、二、三、四象限时，sinα的取值符号分别如何？cosα，tanα的取值符号分别如何？
思考3：综上分析，各三角函数在各个象限的取值符号如下表：
三角函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
+
+
+
+
－
－
－
－
+
－
+
－
你有什么办法记住这些信息？
思考4：如果角α与β的终边相同，那么sinα与sinβ有什么关系？cosα与cosβ有什么关系？tanα与tanβ有什么关系？
思考5：上述结论表明，终边相同的角的同名三角函数值相等，如何将这个性质用一组数学公式表达？
公式一：
（ )
思考6：若sinα=sinβ，则角α与β的终边一定相同吗？
思考7：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？
可将求任意角的三角函数值，转化为求0～ （或0°～360°)范围内的三角函数值.
思考8：函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？
O
x
y
理论迁移
例1 求 的正弦、余弦和正切值.
例2 已知角的终边过点P（－3，－4），求角的正弦、余弦和正切值.
O
x
y
P（－3，－4）
例3 求证：当且仅当不等式组
成立时，角θ为第三象限角.
例4 确定下列三角函数值的符号.
（1） ;（2） ;（3） ;
（4） ; （5） ;（6） .
小结作业
1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.
2.三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的.
4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x，y）在终边上的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现.
3.若已知角α的一个三角函数符号，则角α所在的象限有两种可能；若已知角α的两个三角函数符号，则角α所在的象限就惟一确定.
作业：
P15 练习：1，2，5，7.
3，4，6 做在书上
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第二课时
问题提出
1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角α的三角函数是怎样定义的？
2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.公式 ， ， ( ).其数学意义如何？
4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.
终边相同的角的同名三角函数值相等.
知识探究（一）：正弦线和余弦线
思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则
， 都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
P（x，y）
O
x
y
M
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则
， 都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？
P（x，y）
O
x
y
M
思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？
规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.
思考4：规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？
P（x，y）
O
x
y
M
P（x，y）
O
x
y
M
思考5：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？
P
O
x
y
M
O
x
y
P
P
思考6：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？
P
O
x
y
M
MP＋OM>OP=1
知识探究（二）：正切线
A
T
思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
P
O
x
y
M
A
T
思考2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
P
O
x
y
M
A
T
A
T
P
O
x
y
M
思考3：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
思考4：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
P
O
x
y
M
A
T
A
T
思考5：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα.
A
T
O
x
y
P
A
T
O
x
y
P
思考6：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？
O
x
y
P
P
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
思考7：观察下列不等式：
你有什么一般猜想？
思考8：对于不等式
（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
P
O
x
y
M
A
T
理论迁移
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
例2 在0～ 内，求使 成立的α的取值范围.
O
x
y
P
M
P1
P2
例3 求函数 的定义域.
O
x
y
P2
M
P1
P
小结作业
1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.
3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.
作业：
P17 练习：1，2.
P21习题1.2A组：5，7.
再见
《高中数学》
必修4
1．2．1《任意角的三角函数》
江均亮
教学目标
1、知识与技能
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
二、教学重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第一课时
问题提出
1.角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？
（1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.
（2）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零角.
（3）角的大小是任意的.
2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？
（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
3. 与角α终边相同的角的一般表达式是什么？
β=α＋k·360°（k∈Z）或
（2）180°＝ rad.
4.如图，在直角三角形ABC中，sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？
A
B
C
α
5.当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.
知识探究（一）：任意角的三角函数
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r，那么，sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？
思考2：对于确定的角α，上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？
x
y
o
P(a，b)
α
r
A
B
思考3：为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？
x
y
o
P(a，b)
α
1
思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.对于角α的终边上一点P，要使|OP|=1，点P的位置如何确定？
α的终边
O
x
y
P
思考5：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），为了不与当α为锐角时的三角函数值发生矛盾，
你认为sinα，cosα，tanα对应的值应分别如何定义？
α的终边
P(x，y)
O
x
y
思考6：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否惟一？
α的终边
P(x，y)
O
x
y
正、余弦函数的定义域为R，
正切函数的定义域是
思考7：对应关系 ， ， 都是以角为自变量，以单位圆
上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？
思考8：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？
P(x，y)
O
x
y
知识探究（二）：三角函数符号与公式
思考1：当角α在某个象限时，设其终边与单位圆交于点P（x，y），根据三角函数定义，sinα，cosα，tanα的函数值符号是否确定？为什么？
α的终边
P(x，y)
O
x
y
思考2：设α是一个任意的象限角，那么当α在第一、二、三、四象限时，sinα的取值符号分别如何？cosα，tanα的取值符号分别如何？
思考3：综上分析，各三角函数在各个象限的取值符号如下表：
三角函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
+
+
+
+
－
－
－
－
+
－
+
－
你有什么办法记住这些信息？
思考4：如果角α与β的终边相同，那么sinα与sinβ有什么关系？cosα与cosβ有什么关系？tanα与tanβ有什么关系？
思考5：上述结论表明，终边相同的角的同名三角函数值相等，如何将这个性质用一组数学公式表达？
公式一：
（ )
思考6：若sinα=sinβ，则角α与β的终边一定相同吗？
思考7：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？
可将求任意角的三角函数值，转化为求0～ （或0°～360°)范围内的三角函数值.
思考8：函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？
O
x
y
理论迁移
例1 求 的正弦、余弦和正切值.
例2 已知角的终边过点P（－3，－4），求角的正弦、余弦和正切值.
O
x
y
P（－3，－4）
例3 求证：当且仅当不等式组
成立时，角θ为第三象限角.
例4 确定下列三角函数值的符号.
（1） ;（2） ;（3） ;
（4） ; （5） ;（6） .
小结作业
1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.
2.三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的.
4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x，y）在终边上的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现.
3.若已知角α的一个三角函数符号，则角α所在的象限有两种可能；若已知角α的两个三角函数符号，则角α所在的象限就惟一确定.
作业：
P15 练习：1，2，5，7.
3，4，6 做在书上
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第二课时
问题提出
1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角α的三角函数是怎样定义的？
2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.公式 ， ， ( ).其数学意义如何？
4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.
终边相同的角的同名三角函数值相等.
知识探究（一）：正弦线和余弦线
思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则
， 都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
P（x，y）
O
x
y
M
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则
， 都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？
P（x，y）
O
x
y
M
思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？
规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.
思考4：规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？
P（x，y）
O
x
y
M
P（x，y）
O
x
y
M
思考5：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？
P
O
x
y
M
O
x
y
P
P
思考6：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？
P
O
x
y
M
MP＋OM>OP=1
知识探究（二）：正切线
A
T
思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
P
O
x
y
M
A
T
思考2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
P
O
x
y
M
A
T
A
T
P
O
x
y
M
思考3：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
思考4：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
P
O
x
y
M
A
T
A
T
思考5：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα.
A
T
O
x
y
P
A
T
O
x
y
P
思考6：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？
O
x
y
P
P
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
思考7：观察下列不等式：
你有什么一般猜想？
思考8：对于不等式
（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
P
O
x
y
M
A
T
理论迁移
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
例2 在0～ 内，求使 成立的α的取值范围.
O
x
y
P
M
P1
P2
例3 求函数 的定义域.
O
x
y
P2
M
P1
P
小结作业
1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.
3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.
作业：
P17 练习：1，2.
P21习题1.2A组：5，7.
再见