陕西省铜川市王益区2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题（word版）

2018~2019学年度高中测试卷
数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“若x＞1，则x2﹣2x+2＞0”的逆否命题是（　　）
A．若x≤1，则x2﹣2x+2≤0 B．若x2﹣2x+2＞0，则x＞1
C．若x＜1，则x2﹣2x+2＞0 D．若x2﹣2x+2≤0，则x≤1
2．?a∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），方程x2+ay2＝1所表示的曲线不可能是（　　）
A．双曲线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
3．在空间直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别是（1，2，0），（2，﹣2，1），则向量为（　　）
A．（1，﹣4，1） B．（1，0，1） C．（﹣1，4，﹣1） D．（3，0，1）
4．如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（　　）

A． B． C． D．
5．双曲线1的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±5x C．y＝±x D．y＝±x
6．已知命题p：“?x∈[1，+∞），2x+x﹣m＞0”；命题q：“?x0∈[1，10]，lgx0+m＞0”，若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，3） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，3） D．[﹣1，3]
7．已知F1，F2分别为椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若4，则弦长|AB|＝（　　）
A．8 B．6 C．5 D．
8．已知斜率为1的直线l与双曲线y2＝1的右支交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为（　　）
A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x
9．已知空间向量（1，2，m），（0，﹣1，2），若2与垂直，则?（　　）
A． B． C． D．
10．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若直线PF1与直线PF2斜率的乘积为﹣2，则（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在三棱锥C﹣OAB中，OA⊥OB，OC⊥平面OAB，OA＝6，OB＝OC＝8，CECB，D，F分别为AB，BC的中点，则异面直线DF与OE所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，且PF1＝3F1Q，若PF2垂直于x轴，则椭圆C的离心率为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题每小题5分，共20分
13．若“x＜3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　 　．
14．已知曲线l1：x﹣y+3＝0，直线l2：x＝﹣3，则抛物线上一个动点P到直线l1的距离与它到直线l2的距离之和的最小值为　 　．
15．在△ABC中，A（1，﹣1，2），B（2，1，1），C（﹣1，2，3），若向量与平面ABC垂直，且||＝15，则n的坐标为　 　．
16．已知向量（4，﹣5，12），（3，t，），若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围为　 　．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知命题p：“方程：表示焦点在x轴上的双曲线”；命题q：“关于x的不等式x2+2ax+1≥0在R上恒成立”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
18．在底面是正三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为2a，点M是A1B1的中点．
（1）证明：MC1⊥AB1．
（2）求直线AC1与侧面BB1C1C所成角的正弦值．

19．已知曲线上一动点P（x，y）（x＞0）到定点F（，0）的距离与它到直线l：x的距离的比是．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若M是曲线E上的一个动点，直线l′：y＝x+4，求点M到直线l′的距离的最小值．
20．已知抛物线x2＝2py（p＞0），焦点到准线的距离为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线上存在两点关于直线y＝2x+m对称，且两点的横坐标之积为2，求m的值．
21．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，点E，F，G分别为AB，AD，PC的中点．
（1）求证：PC⊥平面EFG；
（2）求二面角E﹣PC﹣F的余弦值．

22．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于M，N点．试问直线MN是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．



一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D
2．D
3．A
4．B
5．D
6．C
7．A
8．B
9．D
10．C
11．B
12．C
二、填空题：本题共4小题每小题5分，共20分
13．[3，+∞）
14．1．
15．∵在△ABC中，A（1，﹣1，2），B（2，1，1），C（﹣1，2，3），
∴（1，2，﹣1），（﹣2，3，1），
设（x，y，z），
∵向量与平面ABC垂直，
∴，解得，
∵||＝15，∴15，
解得y，x＝5，z＝7或y，x＝﹣5，z＝﹣7，
∴（5，，7）或（﹣5，，﹣7）．
16．（﹣∞，4）．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）∵方程：表示焦点在x轴上的双曲线，
∴，解得﹣2＜a＜0或0＜a＜2．
∴实数a的取值范围为（﹣2，0）∪（0，2）；
（2）当命题q为真时，△＝4a2﹣4≤0，解得﹣1≤a≤1．
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p真q假，或p假q真．
若p真q假，则，解得﹣2＜a＜﹣1或1＜a＜2；
若p假q真，则，解得a＝0．
∴实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}．
18．（1）证明：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，2a），
C1（，，2a），M（0，，2a），B1（0，a，2a），C（a，，0），
（，0，0），（0，a，2a），
∵?0，∴MC1⊥AB1．
（2）解：（，，0），（0，0，2a），（，，2a），
设侧面BB1C1C的法向量（x，y，z），
则，取x＝a，得（a，，0），
设直线AC1与侧面BB1C1C所成角为θ，
则直线AC1与侧面BB1C1C所成角的正弦值为：
sinθ．

19．（1）曲线上一动点P（x，y）（x＞0）到定点F（，0）的距离与它到直线l：x的距离的比是，
可得，两边平方可得y2＝1，
令y＝0可得x＝±，
则动点P的轨迹E的方程为y2＝1（x）；
（2）设M（x，y），过M与直线l'且与双曲线相切的直线l1：y＝x+m，
由可得x2+4mx+2m2+2＝0，△＝16m2﹣8（m2+1）＝0，解得m＝±1，
当m＝1时，x2+4x+4＝0，解得x＝﹣2，由x＞0可得x＝﹣2舍去；
当m＝﹣1时，x2﹣4x+4＝0，解得x＝2，符合题意；直线l1：y＝x﹣1，
l1和l'的距离为，可得点M到直线l′的距离的最小值为．
20．（1）由抛物线方程得：焦点坐标（0，），准线方程为：y，由焦点到准线的距离为4得：p＝4，
所以抛物线方程为：x2＝8y；
（2）由题意设A（x，y），B（x'，y'）两点关于直线y＝2x+m对称的直线方程AB为：yx+t，与抛物线联立：整理得：x2+4x﹣8t＝0，x+x'＝﹣4，xx'＝﹣8t，
∵两点的横坐标之积为2∴﹣8t＝2，∴t，代入AB中：y+y'（x+x'）+2t＝2+2t，AB的中点M（，）即：M（﹣2，1+t），M在直线y＝2x+m上，
∴1+t＝2?（﹣2）+m，∴m＝5+t，
所以m的值为：．
21．（1）证明：由题意，，
，
，
，
∴△PCF与△PCE均为等腰三角形，
又点G为PC的中点，
∴EG⊥PC，FG⊥PC，
又EG∩FG＝G，且都在平面EFG内，
∴PC⊥平面EFG；
（2）由（1）及二面角的定义可知，∠EGF为所求二面角的平面角，
其中，
，
，
∴在△EGF中，由余弦定理有，，
即二面角E﹣PC﹣F的余弦值为．
22．（1）由题意得：，解得a＝2；
则b2＝a2﹣c2＝3；
椭圆C的方程：；
（2）设左顶点，根据条件直线AM，AN的斜率均不为0；
设直线AM的方程为：，代入椭圆方程，得：；
设M（x1，y1），则，
即，，
即，
设直线AN的斜率为k′，则，即，
把点M坐标中的k替换为k′，得：，
当M，N的横坐标不相等，即k时，．
直线MN的方程为：即，该直线恒过定点（0，0），
当时，M，N的横坐标为0，直线MN过原点；
故直线MN恒过定点（0，0）．