陕西省西安市阎良区2018-2019学年高二上学期期末教学检测数学（理）试题（word版）

阎良区2018~2019学年度第一学期期末教学检测
高二数学(理科)试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．命题“”的否定是（　　）
A．?x∈R， B．?x∈R，lnx0
C． D．
2．抛物线y2＝﹣x的焦点坐标为（　　）
A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）
3．命题“若a+b＞1，则a2+b2＞1”的逆否命题为（　　）
A．若a2+b2≤1，则a+b≤1 B．若a2+b2＞1，则a+b＞1
C．若a+b＞1，则a2+b2≤1 D．若a2+b2＜1，则a+b＜1
4．若（2，﹣3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（　　）
A．（0，﹣3，1） B．（2，0，1） C．（﹣2，﹣3，1） D．（﹣2，3，﹣1）
5．已知焦点在y轴上的椭圆1（a＞0）的焦距为4，则该椭圆的长轴长为（　　）
A．4 B．8 C．2 D．2
6．如图，在棱长均相等的四面体O﹣ABC中，点D为AB的中点，CEED，设，，，则（　　）

A． B． C． D．
7．已知双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．a≥5是命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．若双曲线mx2﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线与直线y＝﹣2x垂直，则此双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
10．命题“a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为BB1的中点，则点C到平面A1D1E的距离为（　　）
A． B． C． D．
12．已知点F是椭圆1（a＞b＞0）的右焦点，过F作垂直于长轴的垂线交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线交椭圆于M、N两点，则△MNF2的周长为　 　．
14．已知向量（2﹣x，x+1，1），（2，4，k），若与共线，则k＝　 　．
15．已知点B是点A（3，7，﹣4）在xOz平面上的射影，则2等于　 　．
16．已知点M是抛物线x2＝4y上的一个动点，则点M到点A（2，0）的距离与点M到该抛物线准线的距离之和的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共η分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线y2＝1有公共焦点，且过点（）的双曲线标准方程．
18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点在坐标原点，焦点为圆M：（x﹣2）2+y2＝4的圆心．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程和准线方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+b（k≠0）为物线C的切线，证明：圆心M到直线l的距离恒大于2．
19．已知命题p：m﹣1＜a＜m2+1；命题q：函数f（x）＝log2x﹣a在区间（，4）上有零点．
（Ⅰ）当m＝1时，若（￢p）∧q为真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
20．已知平面ABCD是边长为2的正方形，平面PACE是直角梯形，PA⊥平面ABCD，O为AC与BD的交点，且PA＝2，CE＝1．请用空间向量知识解答下列问题：
（Ⅰ）求证：PO⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直线PO与平面PAB夹角的正弦值．

21．已知椭C：（a＞b＞0）的离心率e，坐标原点O到直线l：y＝bx+2的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知定点E（﹣1，0），若直线y＝kx+2（k≠0）与椭圆C相交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0，求k的值．
22．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AD、PB的中点，PA＝AB＝1．
（Ⅰ）证明：EF∥平面DCP．
（Ⅱ）设点G是线段AB的中点，求二面角C﹣PD﹣G的余弦值．




一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．A
2．C
3．A
4．D
5．B
6．D
7．D
8．A
9．B
10．C
11．A
12．C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 16．
14． 2
15． 25
16．∵抛物线x2＝4y的焦点F的坐标为F（0，1），作图如下，
∵抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，设点M到该抛物线准线y＝﹣1的距离为d，
由抛物线的定义可知，d＝|MF|，
∴|MA|+d＝|MA|+|MF|≥|FA|（当且仅当F、M、A三点共线时（M在F，A中间）时取等号），
∴点M到点A（2，0）的距离与点M到该抛物线准线的距离之和的最小值为|FM|，
∵F（0，1），A（2，0），△FOA为直角三角形，
∴|FA|，

三、解答题（本大题共6小题，共η分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）设椭圆标准方程为（a＞b＞0），则
∵焦距为4，长轴长为6，
∴a＝3，c＝2，∴b2＝5，∴椭圆标准方程为；
（2）双曲线y2＝1双曲线的焦点为（±，0），
设双曲线的方程为（a，b＞0），
可得a2+b2＝3，
将点（）代入双曲线方程可得，，
解得a＝1，b，
即有所求双曲线的方程为：．
18．（Ⅰ）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），准线方程为x，
圆M：（x﹣2）2+y2＝4的圆心为（2，0），可得2，即p＝4，
可得抛物线的方程为y2＝8x，准线方程为x＝﹣2；
（Ⅱ）证明：联立可得k2x2+（2kb﹣8）x+b2＝0，
由题意可得△＝（2kb﹣8）2﹣4k2b2＝64﹣32kb＝0，即kb＝2，
圆心M（2，0）到直线y＝kx+b的距离为d22．
19．（Ⅰ）当m＝1时，命题p：0＜a＜2，则￢p：a≤0或≥2．
∵函数f（x）＝log2x﹣a在区间（，4）上单调递增，
且函数f（x）＝log2x﹣a在区间（，4）上有零点
∴log2a＜0且log24﹣a＞0，∴﹣2＜a＜2，
∴命题q：﹣2＜a＜2，
∵若（￢p）∧q为真命题，
∴，∴﹣2＜a≤0
∴实数a的取值范围是（﹣2，0]．
（Ⅱ）∵命题p：m﹣1＜a＜m2+1；命题q：﹣2＜a＜2，命题p是命题q的充分不必要条件，
∴，得﹣1≤m≤1．
∵命题p是命题q的充分不必要条件，
∴m≠﹣1
∴实数m的取值范围（﹣1，1]．
20．（Ⅰ）证明：如图，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
O（1，1，0），P（0，0，2），E（2，2，1），
（1，1，﹣2），（﹣2，2，0），（0，2，1），
∴0，0，∴PO⊥BD，PO⊥BE．
∵BD∩BE＝B，∴PO⊥平面BDE．
（Ⅱ）解：（1，1，﹣2），平面PAB的一个法向量（0，1，0），
则cos，
设直线PO与平面PAB的夹角为θ，
则sinθ＝|cos|，
∴直线PO与平面PAB夹角的正弦值为．

21．（Ⅰ）由题意得：e，a2＝b2+c2，所以得：1，a2＝3b2，坐标原点O到直线l：y＝bx+2的距离为，所以，∴b2＝1，a2＝3，所以椭圆的C的标准方程为：y2＝1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）将直线方程与椭圆方程联立整理得：（1+3k2）x2+12kx+9＝0，
△＝36k2﹣36＞0，k2＞1，x1+x2，x1x2，，
所以（x1+1，y1），（x2+1，y2），（x1+1）（x2+1）+y1y2＝0，
∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5＝0即（1+k2）（2k+1）5＝0，
解得：k1；
所以k的值为：．
22．（Ⅰ）证明：取PC的中点为H，连接DH，FH，如图，
∵四边形ABCD为正方形，E，F，H分别是线段AD、PB、PC的中点，
∴DE∥BC且，FH∥BC且，
∴DE∥FH且DE＝FH，
∴四边形DEFH为平行四边形，
∴EF∥DH，
∵EF不在平面DCP内，DH在平面DCP内，
∴EF∥平面DCP；
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴AP，AB，AD两两垂直，
以点A为坐标原点，分别以AP，AB，AD所在直线
为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设平面CPD的法向量为，则，则；
设平面GPD的法向量为，则，则；
∴，即二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．