（新教材）2019-2020学年人教B版数学必修第二册讲义：4．4　幂函数Word版含答案

4．4　幂函数
考点
学习目标
核心素养
幂函数的概念
了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式
数学抽象
幂函数的性质
结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，掌握它们的性质
数学运算
幂函数性质的应用
能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小
数学运算
问题导学
预习教材P33－P36的内容，思考以下问题：
1．幂函数是如何定义的？
2．幂函数的解析式具有什么特点？
3．常见幂函数的图像是什么？它具有哪些性质？
1．一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．
■名师点拨
幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
2．幂函数的图像与性质
(1)五个常见幂函数的图像
(2)五个常见幂函数的性质：
函数
性质　　
y＝x
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
[0，＋∞)
R
R
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
(0，＋∞)
R
(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性
奇
非奇非偶
偶
奇
奇
单调性
R上增
[0，＋∞) 上增
(－∞，0)上减
[0，＋∞)上增
R上增
(－∞，0)上减
(0，＋∞)上减
公共点
(1，1)
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x－是幂函数．(　　)
(2)函数y＝2－x是幂函数．(　　)
(3)幂函数的图像都不过第二、四象限．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
下列所给函数中，是幂函数的是(　　)
A．y＝－x3 B．y＝3x
C．y＝x D．y＝x2－1
解析：选C.幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．
下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是(　　)
A．y＝x3 B．y＝x2
C．y＝ D．y＝x
解析：选A.结合函数图像，易知y＝x3在(－∞，0)上为增函数，故选A.
已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)＝________．
解析：设f(x)＝xα，所以α＝，所以f(4)＝4＝2.
答案：2
幂函数的概念
　函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
【解】　根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
所以f(x)的解析式为f(x)＝x3.

(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．
(2)幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．　
　已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点(9，3)，则f(100)＝________．
解析：由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，所以α＝，
所以f(x)＝x，所以f(100)＝100＝10.
答案：10
幂函数的图像
　如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2，2，
D．2，，－2，－
【解析】　考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B.
【答案】　B

幂函数图像的特征
(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．
(2)当α＞0时，幂函数的图像都经过(0，0)和(1，1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过(1，1)点，在第一象限内，曲线下凸．　
　如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则(　　)
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜－1，0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1
D．n＜－1，m＞1
解析：选B.在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图像有交点，如图所示．根据点低指数大，所以0＜m＜1，n＜－1.
比较幂的大小
　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)与；
(3)0.25－与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.
【解】　(1)因为y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且＞，
所以＞.
(2)因为y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－＜－，
所以＞.
(3)0.25－＝＝2，6.25＝2.5，
因为y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且2＜2.5，
所以2＜2.5，即0.25－＜6.25.
(4)由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，所以0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.

(1)比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：①若指数相同而底数不同，则构造幂函数；②若指数不同而底数相同，则构造指数函数．
(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．　
　比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)－3.143与－π3；
(3)与.
解：(1)因为y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且＞，
所以＞.
(2)因为y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π，
所以3.143＜π3，所以－3.143＞－π3.
(3)因为y＝是减函数，所以＜.y＝x是[0，＋∞)上的增函数，所以＞.
所以＞.
1．下列函数是幂函数的是(　　)
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝(x＋1)3
解析：选B.函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　)
A．y＝x B．y＝x－
C．y＝x D．y＝x
解析：选D.y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　)
A．1，3 B．－1，1
C．－1，3 D．－1，1，3
解析：选A.可知当α＝－1，1，3时，y＝xα为奇函数，又因为y＝xα的定义域为R，则α＝1，3.
4．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________．
解析：因为y＝x在(0，＋∞)上为增函数．
所以＞，即a＞b＞0.
而c＝(－2)3＝－23＜0，
所以a＞b＞c.
答案：a＞b＞c
5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．
解析：由于f(x)为幂函数，
所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，
经检验只有n＝1适合题意．
答案：1
[A　基础达标]
1．在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x－中，是幂函数的是(　　)
A．①②④⑤ B．③④⑥
C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
解析：选C.幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；④是常数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．
2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点，则k＋α＝(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选A.因为幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点，所以k＝1，f＝＝，即α＝－，所以k＋α＝.
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.
4．函数y＝x－1的图像关于x轴对称的图像大致是(　　)
解析：选B.y＝x的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝x－1的图像可看作由y＝x的图像向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图像关于x轴对称后即为选项B.
5．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图像，则下列结论正确的是(　　)
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
解析：选A.由图像可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0.
6．若y＝axa2－是幂函数，则该函数的值域是________．
解析：由已知y＝axa2－是幂函数，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
x
1

f(x)
1

则f(x)的单调递增区间是________．
解析：因为f＝，所以＝，即α＝，所以f(x)＝x的单调递增区间是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
8．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．
解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1，1，3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.
答案：－1
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则
所以m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
所以m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
所以m＝－1±.
10．比较下列各组数的大小．
(1)3－和3.2－；
(2)和；
(3)4.1和3.8－.
解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3－＞3.2－.
(2)＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，所以＞.
(3)因为4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1，
所以4.1＞3.8－.
[B　能力提升]
11．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为(　　)
A．－1或2 B．－2或1
C．－1 D．1
解析：选C.因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.
12．下列结论中，正确的是(　　)
A．幂函数的图像都经过点(0，0)，(1，1)
B．幂函数的图像可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
解析：选C.当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图像不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)＞0，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，故B错误；当α＞0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选C.
13．已知函数f(x)＝y＝x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________．
解析：取值验证．当α＝1时，y＝x0，不满足；当α＝2时，y＝x－在(0，＋∞)上是减函数．因为它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；当α＝3时，y＝x－满足题意．
答案：3
14．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1，2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
解：(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝x2.
当x∈[1，2]时，f(x)，g(x)单调递增，
所以A＝[1，4]，B＝[2－k，4－k]．
因为A∪B＝A，所以B?A，
所以?0≤k≤1.
所以实数k的取值范围是[0，1]．
[C　拓展探究]
15．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N＋，而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m(m＋1)为偶数．
所以函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)因为函数f(x)经过点(2，)，
所以＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1.
所以m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N＋，所以m＝1.
由f(2－a)＞f(a－1)得
解得1≤a＜.
所以实数a的取值范围为.