（新教材）2019-2020学年人教B版数学必修第二册讲义：4．5　增长速度的比较Word版含答案

4．5　增长速度的比较
考点
学习目标
核心素养
平均变化率
了解平均变化率描述增长速度的概念
数学抽象
模型增长差异
了解在实际生活中不同增长规律的函数模型
数学建模
问题导学
预习教材P38－P40的内容，思考以下问题：
1．平均变化率是如何定义的？
2．如何用平均变化率描述增长速度？
3．线性增长、指数增长、对数增长有什么关系？
1．平均变化率
我们已经知道，函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1x2时)上的平均变化率为
＝.
也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢．
2．几类不同增长的函数模型
(1)一次函数模型
一次函数模型y＝kx(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大其函数值的增长速度就越快．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　)
(2)对任意的x＞0，kx＞logax.(　　)
(3)对任意的x＞0，ax＞logax.(　　)
(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex　　　　　　　　　 B．y＝ln x
C．y＝3x D．y＝e－x
答案：A
函数f(x)＝从0到2的平均变化率为(　　)
A. B．1
C．0 D．2
解析：选A.由题意可知，函数f(x)＝从0到2的平均变化率为＝，故选A.
平均变化率的比较
　(1)在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是(　　)
A．④　　　　　　　　　　　 B．③
C．② D．①
(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．
【解析】　(1)Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.
(2)v1＝＝kOA，
v2＝＝kAB，
v3＝＝kBC，
又因为kBC＞kAB＞kOA，
所以v3＞v2＞v1.
【答案】　(1)B　(2)v3＞v2＞v1
求平均变化率的主要步骤
(1)求Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)求Δx＝x2－x1.
(3)求平均变化率＝.　
1．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)
A．k1＜k2 B．k1＞k2
C．k1＝k2 D．无法确定
解析：选D.k1＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝2x0－Δx，
又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定，选D.
2.如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0到t0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率；
②在0到t0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率；
③在t0到t1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率；
④在t0到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率．
解析：由图像知，0～t0范围：v甲＝v乙＝；
t0～t1范围：v甲＝，v乙＝.
因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以v甲＞v乙．所以③正确．
答案：③
函数模型增长差异的比较
　甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：
①当x＞1时，甲走在最前面；
②当x＞1时，乙走在最前面；
③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为________．
【答案】　③④⑤
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．　
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
解析：选B.D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
2.“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是(　　)
A．指数函数y＝2t
B．对数函数y＝log2t
C．幂函数y＝t3
D．二次函数y＝2t2
解析：选A.根据已知所给的关系图，观察得到图像在第一象限，且从左到右图像是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.
不同增长函数模型的图像特征
　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
【解】　(1)由函数图像特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．
由图像判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图像上升得快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数；图像增长速度不变的是一次函数．　
1．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中关于x呈指数函数变化的函数是________．
解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y1呈指数函数变化．
答案：y1
2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，如图所示，
根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过________小时后，学生才能回到教室．
解析：(1)由图像可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t＞0.1时，由1＝，得a＝0.1，则当t＞0.1时，y＝.
故y＝.
(2)由题意可知，＜0.25，得t＞0.6.
答案：(1)y＝　(2)0.6
1．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为(　　)
A．x0＋Δx　　　　　　 B．1＋Δx
C．2＋Δx D．2
解析：选D.由题意，可得平均变化率＝＝2，故选D.
2．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝log2x
C．y＝2x D．y＝2x
答案：D
3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
答案：B
4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
答案：甲
[A　基础达标]
1．函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
解析：选C.依题意，所求平均变化率为＝2＋Δx，故选C.
2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
解析：选B.Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝(2.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.故选B.
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是(　　)
解析：选C.小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)
A．y＝2x－2 B．y＝
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
解析：选D.法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.
法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.
5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是(　　)
解析：选D.设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的图像大致为D中图像．
6．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析：当x变大时，x比ln x增长要快，
所以x2要比xln x增长得快．
答案：y＝x2
7.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示．现给出下列说法：
①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．
解析：因为温度y关于时间t的图像是先凸后平，所以前5 min每当t增加一个单位，相应的增量Δy越来越小，而5 min后y关于t的增量保持为0，则②④正确．
答案：②④
8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
答案：(4)　(1)　(3)　(2)
9．同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x的图像，并比较x＋5与2x的大小．
解：根据函数y＝x＋5与y＝2x的图像增长差异得：
当x＜3时，x＋5＞2x，
当x＝3时，x＋5＝2x，
当x＞5时，x＋5＜2x.
10．某国2016年至2019年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
2016
2017
2018
2019
x(年份代码)
0
1
2
3
生产总值y (万亿元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
(1)画出函数图像，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值．
解：(1)画出函数图像，如图所示．
从函数的图像可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
把直线经过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解得k＝0.677 7，b＝8.206 7.
所以函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为
0．677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，
0．677 7×2＋8.206 7＝9.5621(万亿元)．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
(3)2033年，即x＝17时，由(1)得y＝0.677 7×17＋8.206 7＝19.727 6，
即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元．
[B　能力提升]
11．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为(　　)
A．60安 B．240安
C．75安 D．135安
解析：选D.由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，所以I＝5r3.
故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.
12．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析：选C.将x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分别代入验算．
13．某品牌汽车的月产能y(万辆)与月份x(3＜x≤12且x∈N)满足关系式y＝a·＋b.现已知该品牌汽车今年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆，求该品牌汽车7月的产能为多少万辆．
解：由已知得
解得则y＝－＋2，
当x＝7时，y＝－＋2＝1.875.
故该品牌汽车7月的产能为1.875万辆．
[C　拓展探究]
14．某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？
解：将已知前四个月的月产量y与月份x的关系记为A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)．
①对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点的坐标代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，
解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.
所以f(1)＝1.1，与实际误差为0.1，f(4)＝1.4，与实际误差为0.03.
②对于二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，将A，B，C三点的坐标代入，
得解得
故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，与实际误差为0.07.
③对于指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)，将A，B，C三点的坐标代入，得
解得
故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.
所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.
比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m(x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．