（新教材）2019-2020学年人教B版数学必修第二册讲义：4．6　函数的应用（二）Word版含答案

4．6　函数的应用(二)
4．7　数学建模活动：生长规律的描述(略)
考点
学习目标
核心素养
指数、对数函数模型在实际问题中的应用
会利用已知函数模型解决实际问题
数学建模
根据实际问题建立函数模型
能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题
数学建模
问题导学
预习教材P42－P44的内容，思考以下问题：
1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？
2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？
几类常见的函数模型
名称
解析式
条件
一次函数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数模型
y＝＋b
k≠0
二次函数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c
顶点式：y＝a＋
a≠0
指数函数模型
y＝b·ax＋c
a＞0且a≠1，b≠0
对数函数模型
y＝mlogax＋n
a＞0且a≠1，m≠0
幂函数模型
y＝axn＋m
a≠0，n≠1
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．(　　)
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．(　　)
答案：(1)√　(2)√
某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为(　　)
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
答案：C
某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A．2022年　　　　　　　　　 B．2023年
C．2024年 D．2025年
答案：D
利用已知函数模型解决问题
　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝，其中x为月产量．
(1)将利润表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？
【解】　(1)设月产量为x台，则总成本G(x)＝20 000＋100x，利润f(x)＝R(x)－G(x)＝
.
(2)由0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000.
所以当x＝300时，f(x)取得最大值25 000元．
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000.
所以当x＝300时，f(x)的最大值为25 000元．
即每月生产300台仪器时，能获得最大利润，最大利润为25 000元．

理解所给函数模型中各量的意义，利用已知量求解析式，进而求函数的问题来解释实际问题．　
　某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一个单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为________单位．
解析：总利润＝总收入－成本，L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)＝－(Q－300)2＋250.
所以产品的生产数量为300单位时，总利润L(Q)的最大值是250万元．
答案：250　300
构造函数模型解决问题
　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万．(精确到1年)
【解】　(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%
＝100(1＋1.2%)3；…
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万．

建立函数模型应把握的三个关口
(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．　
　某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？
解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3.
因为x∈N*，所以3≤x≤6，x∈N*，
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.
令[50－3(x－6)]x－115＞0，得3x2－68x＋115＜0.
又x∈N*，解得2≤x≤20，所以6＜x≤20，x∈N*，
故y＝
定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，
显然当x＝6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115
＝－3＋(6＜x≤20，x∈N*)．
当x＝11时，ymax＝270，因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多．
拟合函数模型解决问题
　某经营商经营了A、B两种商品，逐月投资金额与所获纯利润列表如下：
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
【解】　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出A，B两种商品的散点图分别如图①②所示．
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．
取点(4，2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，
再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，
解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用一次函数模型进行模拟．
设y＝kx＋b，取点(1，0.25)和点(4，1)，代入得
解得所以y＝0.25x.
故前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2，前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，那么

所以W＝－0.15＋0.15×＋2.6.
所以当xA≈3.2时W最大约为4.1，
此时xB≈8.8.
即该经营者第七个月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．

函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．　
　芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，还可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt.
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解：(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
1．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是(　　)
A．600元　　　　　　 B．50%
C.－1 D.＋1
解析：选C.设6年间平均增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得x＝－1.
2．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概．当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2确定．已知射出2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为________米．
解析：由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60.
所以x＝60t－5t2.
由x＝－5t2＋60t＝－5(t－6)2＋180，
知当t＝6时，x取得最大值为180，
即弓箭能达到的最大高度为180米．
答案：180
3．某游乐场每天的盈利额y元与销售的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：
(1)求y与x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
解：(1)由图像知，可设y＝kx＋b，x∈[0，200]时，过点(0，－1 000)和(200，1 000)，解得k＝10，b＝－1 000，从而y＝10x－1 000；x∈(200，300]时，过点(200，500)和(300，2 000)，解得k＝15，b＝－2 500，从而y＝15x－2 500，
所以y＝
(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200，300]，由15x－2 500＞1 000得，x＞，故每天至少需要卖出234张门票．
[A　基础达标]
1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)
A．y＝a(1＋5%x)　　　　 B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
解析：选D.经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
2．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　)
A.倍 B．10倍
C．10倍 D．ln 倍
解析：选B.依题意可知，η1＝10·lg ，η2＝10·lg ，所以η1－η2＝10·lg －10·lg ，则1＝lg I1－lg I2，所以＝10.故选B.
3．设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105 Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105 Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)(　　)
A．9.4×104 Pa B．9.4×106 Pa
C．9×103 Pa D．9×105 Pa
解析：选A.依题意得：1.01×105＝ce0＝c，0.90×105＝ce1 000k，因此e1 000k＝≈0.89，因此当x＝600时，y＝1.01×105e600k＝1.01×105(e1 000k)0.6＝1.01×105×0.890.6≈9.4×104，故选A.
4.如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点．当点P沿路线A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图像大致是(　　)
解析：选A.由题意得，当0＜x≤1时，S△APM＝×1×x＝x；
当1＜x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝××1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋；
当2＜x＜时，S△APM＝××1＝－x＋.
结合选项可知，A选项符合题意．
5．(2019·唐山一中期中)拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位：元)由函数f(m)＝给出，其中[m]是不小于m的最小整数，例如[2]＝2，[1.21]＝2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为(　　)
A．3.71元 B．4.24元
C．4.7元 D．7.95元
解析：选B.由[m]是大于或等于m的最小整数可得[5.2]＝6.所以f(5.2)＝1.06×(0.5×6＋1)＝1.06×4＝4.24.故从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为4.24元．故选B.
6．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵树y与x之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________．
解析：经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x，
由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，
所以(1＋a)3＝，所以1＋a＝，
故a＝＝25%.
答案：y＝6.4(1＋a)x　25%
7．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，即(1－0.25)n≤0.3，在不等式两边取常用对数，则有nlg ＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥＝4，故至少经过5小时才能开车．
答案：5
8．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t(单位时间)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．
解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2－－ (t≥0)．
答案：4　320·2－ (t≥0)
9．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车行驶距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln(t＋1)，S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为(－1)秒，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？(精确到米)
解：因为刹车反应时间为(－1)秒，
所以S1＝10ln(－1＋1)＝10ln＝5，
当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·(60)2＝20，
解得b＝，即S2＝v2.
若v＝100，则S2＝×1002≈56，S1＝5，
所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米)．
10．家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q＝Q0e－，其中Q0是臭氧的初始量．
(1)随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？(精确到年，参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)
解：(1)因为Q0＞0，－＜0，e＞1，
所以Q＝Q0e－为减函数，
所以随着时间的增加，臭氧的含量减少．
(2)设x年以后将会有一半的臭氧消失，则
Q＝Q0e－＝Q0，即e－＝，
取对数可得－＝ln ，解得x＝400ln 2≈277.2.
所以278年以后将会有一半的臭氧消失．
[B　能力提升]
11．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t等于(　　)
A．lg B．lg
C. D.
解析：选C.由题意知a(1－8%)t＝，即(1－8%)t＝，等式两边取对数得lg 0.92t＝lg 0.5，即tlg 0.92＝lg 0.5，所以t＝，故C选项是正确的．
12．(2019·宜昌一中期中)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－0.24t求得，且把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于________．(参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693)
解析：由题意可得40＝10＋(100－10)e－0.24t，
化简可得e－0.24t＝，
所以－0.24t＝ln ＝－ln 3，
所以0.24t＝ln 3＝1.099，所以t≈4.58.
答案：4.58
13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0(2)设经过m年后森林剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，
即＝，则＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
(3)设今后还能砍伐n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
则≥，则≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
[C　拓展探究]
14．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克．联想到教科书中研究“物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．
(1)求a的值；
(2)求k的值；
(3)设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M，请画出M随t变化的函数关系的草图，并简要描述实验中糖块的溶解过程．
解：(1)由题意，t＝0，S＝a＝7.
(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，
所以3.5＝7e－5k，解得k＝.
(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示．
溶解过程：随着时间的增加，逐渐溶解．