（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：8．5.1　直线与直线平行Word版含答案

8．5　空间直线、平面的平行
8．5.1　直线与直线平行
考点
学习目标
核心素养
基本事实4
理解基本事实4，并会用它解决两直线平行问题
直观想象、
逻辑推理
定理
理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题
直观想象、
逻辑推理
问题导学
预习教材P133－P135的内容，思考以下问题：
1．基本事实4的内容是什么？
2．定理的内容是什么？
1．基本事实4
(1)平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．(2)符号表示：?a∥c.
2．定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
■名师点拨 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边平行，那么这两个角相等．(　　)
(2)如果两个角相等，则它们的边互相平行．(　　)
答案：(1)×　(2)×
已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)
A．30°　　　　　　　　 B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
答案：B
在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与AD平行的棱有____________(填写所有符合条件的棱)
答案：A′D′，B′C′，BC

　　　　　　　　基本事实4的应用
　如图，E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
【证明】　如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.
因为E是AA1的中点，所以EQA1D1.
因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，
所以EQB1C1，
所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1EC1Q.
又Q，F分别是D1D，C1C的中点，
所以QDC1F，
所以四边形DQC1F为平行四边形，
所以C1QFD.
又B1EC1Q，所以B1EFD，
故四边形B1EDF为平行四边形．

证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.　
　如图，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．
证明：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG.
因为E，G分别为棱AA1，BB1的中点，
所以EGA1B1.
又A1B1C1D1，所以EGC1D1，
从而四边形EGC1D1为平行四边形，
所以D1EC1G.
因为F，G分别为棱CC1，BB1的中点，所以C1FBG，从而四边形BGC1F 为平行四边形，所以BFC1G，
又D1EC1G，所以D1EBF，
从而四边形EBFD1为平行四边形．
不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，易知BE＝BF＝a，
故平行四边形EBFD1是菱形．
　　　　　　　　定理的应用
　如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且＝＝.
求证：△A1B1C1∽△ABC.
【证明】　在△OAB中，因为＝，所以A1B1∥AB.
同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.

运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补．　
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB.
证明：因为N，P分别是BB1，CC1的中点，所以BNC1P，所以四边形BPC1N为平行四边形，所以C1N∥BP.同理可证C1M∥AP，
又∠MC1N与∠APB方向相同，所以∠MC1N＝∠APB.
1.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CM∥A1N.
证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝A1D1.又N为B1C1的中点，B1C1A1D1，
所以C1NPA1，四边形PA1NC1为平行四边形，A1N∥C1P.
又由PMDD1CC1，得C1P∥CM.所以CM∥A1N.
2．如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．求证：∠A′B′C′＝∠C′D′E′.
证明：因为A′，B′分别是AD，DB的中点，所以A′B′∥a，
同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′.
又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，
所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′.
[A　基础达标]
1．下列结论中正确的是(　　)
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③　　　　　　　 B．②④
C．③④ D．②③
解析：选B.①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行线的传递性可知．
2．下列命题中，正确的有(　　)
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.由等角定理可知：对于①这两个角可能相等，也可能互补；对于②显然正确．对于③如图，∠DD1C1与∠DAD1的两边D1C1⊥AD1，AD⊥D1D，而这两个角不相等，也不互补，所以该命题错误；由基本事实4知命题④正确．所以②④是正确的．
3．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析：选D.OB与O1B1不一定平行，反例如图．
4.如图，α∩β＝l，a?α，b?β，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是(　　)
A．a，b都与l平行
B．a，b中至多有一条与l平行
C．a，b都与l相交
D．a，b中至多有一条与l相交
解析：选B.如果a，b都与l平行，根据基本事实4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行．
5．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
解析：选B.由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD，BC，A1D1，所以共有4条．
6．空间中有两个角α，β，且角α、β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________．
解析：因为α与β两边对应平行，但方向不确定，
所以α与β相等或互补．
答案：60°或120°
7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
解析：(1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．
(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
答案：(1)∠D1B1C1　(2)∠B1D1A1
8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．
解析：结合基本事实4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，③是异面直线．
答案：①②
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)∠BMC＝∠B1M1C1.
证明：(1)因为在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，
所以MM1AA1.
又因为AA1BB1，
所以MM1∥BB1，
且MM1＝BB1.
所以四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
所以B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
所以C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，
所以∠BMC＝∠B1M1C1.
10．如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
证明：(1)如图，连接AC，因为在△ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是△ACD的中位线，
所以MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质得：
AC∥A1C1，AC＝A1C1.
所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，
所以四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1.
又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
所以∠DNM＝∠D1A1C1.
[B　能力提升]
11．如图所示，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法不正确的是(　　)
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为矩形
解析：选D.由条件易得MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，所以MQ∥NP.对于A，由MQ∥NP，得M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据定理，得∠QME＝∠CBD，故B正确；对于C，由定理知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，则△BCD∽△MEQ，故C正确；对于D，没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形，故D不正确．
12．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．
解析：因为E，H分别是空间四边形ABCD中的边AB，DA的中点，所以EH∥BD，且EH＝BD，
同理FG∥BD，且FG＝BD.
所以EH＝FG＝BD＝1，同理EF＝GH＝AC＝2，
所以四边形EFGH的周长为6.
答案：6
13.(2019·丽水检测)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________．
解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线．AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．
答案：①②
14.如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，求平行线EH，FG间的距离．
解：在△BCD中，因为＝＝，
所以GF∥BD，＝.
所以FG＝4 cm.
在△ABD中，因为点E，H分别是AB、AD的中点，
所以EH＝BD＝3(cm)．
设EH，FG间的距离为d cm.
则×(4＋3)×d＝28，所以d＝8.
即EH和FG间的距离为8 cm.
[C　拓展探究]
15．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.
又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．
因为＝＝，所以EH＝BD.
同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.
故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．