鲁教版（五四制）九年级数学上册2.1锐角三角函数 专项练习 （含答案）

锐角三角函数 专项练习
第一部分 知识梳理
一、基本知识
（一）锐角三角函数的定义
如图：
注意：三角函数是一个比值，只与角的大小有关，与所在的三角形，边的长短无关。
（二）、特殊角的三角函数值：
α 0° 30° 45° 60° 90°
sinα
cosα
tanα 不存在

结合图形进行求值：

1、含30°的直角三角形三边之比为：1： ：2
2、含45°的直角三角形三边之比为：1：1 ：
（三）、角度变化与锐角三角函数的关系？
当锐角α在00---900之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦值随着角度的增大而减少。
（四）、同角三角函数之间有哪些关系式？
1、平方关系：sin2A＋cos2A＝1；2、商的关系：
（五）、互为余角的三角函数关系
1、一个锐角的正弦等于它余角的余弦，一个锐角的余弦等于它余角的正弦
即：sin（900－A）＝cosA；cos（900－A）＝sinA；名变则角变，角变同时名也变；名变是指由正弦变成余弦或由余弦变正弦，角变成它的余角。
2、互余角的正切互为倒数：tanA.tan(90°-A)=1
第二部分 中考链接
一、三角函数定义
1．（2018日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（　　）A． B． C．2 D．
2．（2018?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（　　）
A． B． C． D．


1题图 2题图 3题图 4题图 5题图
3．（2018?柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（　　）
A． B． C． D．
4．（2018?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）A． B．1 C． D．
5．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（ ???）A.?等于?? B.等于??? C.等于?? D.随点E位置的变化而变化
6．（2018?枣庄）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）A． B． C． D．

6题图 7题图 8题图 10题图 11题图
7. (2018潍坊)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：
（1）作线段AB,分别以AB为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C；
（2）以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD,BC, 下列说法不正确的是( )
A.∠CBD=30 ° B. C. 点C是△ABD的外心 D. sin2A+cos2D=1
8．（2019·湖北宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）A． B． C． D．
9．（2018?滨州）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=　 　．
10、（2018?德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是　 　．
11．（2018?泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为　 　．
12、（2018?眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=　 　．

12题图 13题图 15题图
13、（2018?广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=　　．
14．（2019?淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
如图1，当CD＝AC时，tanα1＝； 如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；
如图3，当CD＝AC时，tanα3＝； ……
依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝　 　．

15．（2019·浙江舟山）如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC2AB2，则tanC=__________．
二、特殊角的三角函数值
1、（2018日照）计算：（）﹣1+tan30°?sin60°=（　　）A．﹣ B．2 C． D．
2．（2018?大庆）2cos60°=（　　）A．1 B． C． D．
3．（2018?天津）cos30°的值等于（　　）A． B． C．1 D．
4．（2019?天津）2sin60°的值等于( ) A．1 B． C． D．2
5．（2019?湖南怀化）已知∠α为锐角，且sinα=，则∠α=（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°
6．【2019天津市滨海新区】的值等于（ ）A． B． C． D．
7．（2018?潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为　 　．

6题图 7题图 12题图 13题图
7．（2018?临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是　　cm．
8．（2018青岛）计算：2﹣1×+2cos30°=　 　．
9．（2018烟台）（π﹣3.14）0+tan60°=　 　．
10、（2019日照）规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（a，b），那么向量可以表示为：＝（a，b），如果与互相垂直，＝（x1，y1），＝（x2，y2），那么x1x2+y1y2＝0．若与互相垂直，＝（sinα，1），＝（2，﹣），则锐角∠α＝　 　．
11、【2019?甘肃】在△ABC中，∠C=90°，tanA，则cosB=__________．
12．（2019?东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是　 　
13．（2019?潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝　 　．
14．（2019?湖北荆门）计算+|sin30°﹣π0|+=__________．
15．（2019?湖北随州）计算：（π–2019）0–2cos60°=__________．
16．（2019临沂）计算：×﹣tan45°＝　 　．

17．（2018深圳）计算：（）﹣1﹣2sin45°+|﹣|+（2018﹣π）0．
18．（2018常州）计算：|﹣1|﹣﹣（1﹣）0+4sin30°．
19.（2018菏泽）计算：.
20.（2018孝感）计算
21.计算：

答案与提示
1、D 2、A 3、A 4、B 5、D 6、A 7、D 8、D
9、 10、 11、 12、2 13、 14、 15、
1、解：∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DAB=tan∠DEB=．
2、由勾股定理得：BC=6 sinA==
3、由勾股定理得：AB=5,sinB==
4、解：连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选：B．

4题图 8题图 9题图 12题图 15题图
6、解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，∴BE=BC=AD，∴△BEF∽△DAF，
∴=，∴EF=AF，∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，∴tan∠BDE===；故选：A．
7、解：由作图可知：AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，由作图可知：CB=CA=CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，BD=AB，∴S△ABD=AB2，
∵AC=CD，∴S△BDC=AB2，故A、B、C正确，故选D．
8、如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5．∴sin∠BAC==．
9、解：如图所示：∵∠C=90°，tanA=，∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，
则sinB===．故答案为：．
10、解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==，故答案为：．
11、解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°，∴∠BA'C=90°，
在Rt△A'CB中，A'C==8，
设AE=x，则A'E=x，∴DE=10﹣x，CE=A'C+A'E=8+x，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10﹣x）2+36=（8+x）2， ∴x=2， ∴AE=2，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE==2，
∴sin∠ABE==，故答案为：．
12、解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为：2
13、解：∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，∴tanC=，故答案为：
14、解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中间一个．
∴tanαn＝＝．故答案为：．
15、如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．
∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，
∴AC2–BC2=（AD+DC）2–（DC2+BD2）=AD2+DC2+2AD?DC–DC2–BD2=2AD?DC=2BD?DC，
∵AC2–BC2AB2，∴2BD?DC2BD2，
∴DCBD，∴．故答案为:．
二、特殊角的三角函数值
1、C 2、A 3、A 4、C 5、A 6、D 7、（﹣1，）8、 9、2 10、1+ 11、60°12、 13、 14、1﹣ 15、0 16、-1
4、锐角三角函数计算，2sin60°=2×=，故选C．
5、∵∠α为锐角，且sinα=，∴∠α=30°．故选A．
6、解：如图，连接AM，
∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，
∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，
在Rt△ADM和Rt△AB′M中，
∵，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，
∴DM=ADtan∠DAM=1×=，∴点M的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．

6题图 8题图 12题图
8、解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，
∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，∴∠BOC=120°，
作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，∴BD=，∠OBD=30°，
∴OB=，得OB=，∴2OB=，
即△ABC外接圆的直径是cm， 故答案为：．
11、依题意，得2sinα+1×（﹣）＝0，解得sinα＝．∵α是锐角，∴α＝60°．
12．（2019?东营）解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，
连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，
∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．
∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，
∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．
13．（2019?潍坊）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，
由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，
∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°，
∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB＝30°，
∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，
又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），∴DC＝DB'，
在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，
∴AE＝＝， 设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣
∵AE2+AD2＝DE2， ∴（）2+22＝（x+x﹣）2，
解得，x1＝（负值舍去），x2＝， 故答案为：．
14、原式=2﹣+1﹣﹣=1﹣．故答案为：1﹣．
15、原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．
17、=2-2++1=3
18、=1-2-1+4=1-2-1+2=0
19、=-1+4-（2-）-2=5-2+-=3
20、=9+4+2-4=9+4+2-2=13
21、