2019年数学同步必修一北师大版：第一章 集合1 第1课时 课时对点练（解析版）

§1　集合的含义与表示
第1课时　集合的含义
一、选择题
1．已知集合A由满足x<1的数x构成，则有(　　)
A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1?A
2．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含(　　)
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
3．下列结论中，不正确的是(　　)
A．若a∈N，则－a?N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则∈R
4．已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)
A．0?M B．1∈M
C．－2?M D．2∈M
5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．已知A中元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　　)
A．－1?A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34?A
二、填空题
7．在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．
8．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R；②?Q；③0∈N＋；④|－4|?N＋.
9．如果有一个集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
10．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.
三、解答题
11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．
12．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.若a∈A，试求实数a的值．
13．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．
四、探究与拓展
14．已知集合A中有3个元素a，b，c，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．
15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：
(1)3∈A；
(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.
详解答案
1．
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　C
解析　很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
2．
考点　元素与集合的关系
题点　集合中元素的个数
答案　A
解析　由于|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．
3．
考点　常用的数集及表示
题点　常用的数集及表示
答案　A
解析　A不对．反例：0∈N，－0∈N.
4．
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　D
解析　①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，
所以集合M的元素共有3个：－2,0,2，故选D.
5．
考点　集合中元素的特征
题点　集合中参数的取值范围
答案　D
解析　由元素的互异性知a，b，c均不相等．
6．
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　C
解析　令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.
令3k－1＝－11，解得k＝－?Z，∴－11?A；
∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.
令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.
7．考点　元素与集合的关系
题点　集合中元素的个数
答案　1
解析　易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．
8．
考点　常用的数集及表示
题点　常用的数集及表示
答案　2
解析　∵π是实数，是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.
9．考点　集合中元素的特征
题点　集合中参数的取值范围
答案　x≠0,1,2，
解析　由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.
10．考点　元素与集合的关系
题点　由元素与集合的关系求参数的值
答案　6
解析　∵x∈N,2＜x＜a，且P中只有三个元素，∴结合数轴知a＝6.
11．考点　元素与集合的关系
题点　由元素与集合的关系求参数的值
解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足题意．
∴实数a的值为－.
12．
考点　集合中元素的特征
题点　集合中参数的取值范围
解　因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，
符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为1.
13．
考点　元素与集合的关系
题点　伴随元素问题
解　(1)2∈A，则∈A，即－1∈A，则∈A，
即∈A，则∈A，即2∈A，
所以A中其他所有元素为－1，.
(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－，.
(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，
它们分别是a，，(a≠0，且a≠1)，且三个数的乘积为－1.
证明如下：
若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，
所以又有＝∈A且≠1，
进而有＝a∈A.
又因为a≠(因为若a＝，则a2－a＋1＝0，
而方程a2－a＋1＝0无解)，
同理≠，a≠.
又因为a··＝－1，
所以A中只能有3个元素，它们分别是a，，(a≠0，且a≠1)，
且三个数的乘积为－1.
14．考点　元素与集合的关系
题点　根据新定义求集合
答案　1,2
解析　由题意知解得
∴集合A＝{0,1,2}，则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．
15．
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
证明　(1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，
得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A.
(2)假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立．
①当m，n为同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，
所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．
②当m，n为一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，
所以(m＋n)(m－n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾．
所以假设不成立．
综上，4k－2?A.