2019年数学同步必修一北师大版：第一章 集合 章末复习学案

章末复习
学习目标　1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．
1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．
2．元素与集合有且只有两种关系：∈，?.
3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，Venn图，常用数集字母代号．
4．集合间的关系与集合的运算
符号
定义
Venn图
子集
A?B
x∈A?x∈B
真子集
A(B
A?B且存在x0∈B但x0?A
并集
A∪B
{x|x∈A或x∈B}
交集
A∩B
{x|x∈A且x∈B}
补集
?UA(A?U)
{x|x∈U且x?A}
5.常用结论
(1)??A；
(2)A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝A?A?B.
(3)A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝A?A?B.
(4)A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A.
1．若A＝，则x<0.(　√　)
2．任何集合至少有两个子集．(　×　)
3．若有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a＝0.(　×　)
4．设A，B为全集的子集，则A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.(　√　)
类型一　集合的概念及表示法
例1　下列表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}
B．M＝{2,1}，N＝{1,2}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}
D．M＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}
考点　集合相等的概念
题点　判断集合的相等关系
答案　B
解析　A选项中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相同；
B选项中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；
C选项中M，N均为数集，显然有M(N；
D选项中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1上点的纵坐标，故选B.
反思与感悟　要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．
跟踪训练1　设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　{(4,4)}
解析　由得∴A∩B＝{(4,4)}．
类型二　集合间的基本关系
例2　若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可能取值组成的集合．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的范围
解　由题意得，P＝{－3,2}．
当a＝0时，S＝?，满足S?P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－，
为满足S?P，可使－＝－3或－＝2，
即a＝或a＝－.
故所求集合为.
反思与感悟　(1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
(2)对于两集合A，B，当A?B时，不要忽略A＝?的情况．
跟踪训练2　下列说法中不正确的是________．(只需填写序号)
①若集合A＝?，则??A；
②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；
③已知集合A＝{x|12.
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　③
解析　?是任何集合的子集，故①正确；
∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，
∴A＝B，故②正确；
若A?B，则a≥2，故③错误．
类型三　集合的交、并、补运算
命题角度1　用符号语言表示的集合运算
例3　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
解　把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
∵?RA＝{x|x<3或x≥7}．
∴(?RA)∩B＝{x|2反思与感悟　求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．
跟踪训练3　已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(?UB)等于(　　)
A．{1} B．{3,6}
C．{4,5} D．{1,3,4,5,6}
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　B
解析　∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，
∴?UB＝{0,2,3,6}，
又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(?UB)＝{3,6}，故选B.
命题角度2　用图形语言表示的集合运算
例4　设全集U＝R，A＝{x|0考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图表达的集合关系
答案　{x|1≤x<2}
解析　图中阴影部分表示的集合为A∩(?UB)，因为?UB＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}．
反思与感悟　解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．
跟踪训练4　学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？
考点　交并补集的综合问题
题点　用并交补运算表示Venn图指定区域
解　设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图(如图)，
则没有参加过比赛的同学有45－(12＋20－6)＝19(名)．
答　这个班共有19名同学没有参加过比赛．
类型四　关于集合的新定义题
例5　设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．
①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；
②集合 A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；
③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；
④若A为封闭集，则一定有0∈A.
其中正确结论的序号是________．
考点　集合各类问题的综合
题点　新定义题
答案　②④
解析　①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④.
反思与感悟　新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．
跟踪训练5　设数集M＝，N＝，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果b－a叫作集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是(　　)
A. B. C. D.
考点　集合各类问题的综合
题点　新定义题
答案　C
解析　方法一　由已知可得
解得0≤m≤，≤n≤1.
取字母m的最小值0，字母n的最大值1，
可得M＝，N＝，
所以M∩N＝∩＝，
此时得集合M∩N的“长度”为－＝.
方法二　集合M的“长度”为，集合N的“长度”为.
由于M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，
而{x|0≤x≤1}的“长度”为1，由此可得集合M∩N的“长度”的最小值是－1＝.
1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　)
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
考点　子集个数
题点　求集合的子集个数
答案　B
2．下列关系中正确的个数为(　　)
①∈R；②0∈N＋；③{－5}?Z.
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　常用的数集及表示
题点　常用的数集及表示
答案　C
解析　①③正确．
3．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，则集合(?UA)∩B等于(　　)
A．{x|0C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤2}
考点　并交补集综合问题
题点　无限集合的并交补运算
答案　C
解析　先求出?UA＝{x|x<2}，再利用交集的定义求得(?UA)∩B＝{x|0≤x<2}．
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)等于(　　)
A．? B．{d}
C．{b，e} D．{a，c}
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　A
5．已知集合U＝R，集合A＝，B＝，则(?UA)∩B＝________.
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　
解析　由图知(?UA)∩B＝.
1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．
2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.