2019年数学同步必修一北师大版：第一章 集合的含义与表示 课时对点练（解析版）

一、选择题
1．下列集合中，是空集的是(　　)
A．{x|x2＋3＝3}
B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}
C．{x|－x2≥0}
D．{x|x2－x＋1＝0}
2．集合A＝{x∈Z|－2A．1 B．2 C．3 D．4
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
4．已知x，y为非零实数，则集合M＝为(　　)
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
5．下列选项中，集合M，N相等的是(　　)
A．M＝{3,2}，N＝{2,3}
B．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
C．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}
D．M＝{(x，y)|x＝3且y＝2}，N＝{(x，y)|x＝3或y＝2}
6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
7．已知集合A＝，B＝，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　)
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
二、填空题
8．集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________．
9．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
10．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈________.
三、解答题
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
12．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．
13．设A表示集合{2,3，a2＋2a－3)，B表示集合{|a＋3|,2}，若5∈A，且5?B，求实数a的值．
四、探究与拓展
14．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
①2 016∈[1]；
②－3∈[3]；
③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；
④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”．
其中，正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
15．集合M的元素为自然数且满足：如果x∈M，则8－x∈M.试回答下列问题：
(1)写出只有一个元素的集合M；
(2)写出元素个数为2的所有集合M；
(3)满足题设条件的集合M共多少个？
答案
1．
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的定义
答案　D
解析　{x|x2＋3＝3}＝{0}≠?；
函数y＝－x2的图像上有无数多个点，
∴{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}为无限集；
{x|－x2≥0}＝{0}≠?；
方程x2－x＋1＝0，判别式Δ＝1－4<0，无解，
∴{x|x2－x＋1＝0}＝?.
2．
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示集合
答案　D
解析　因为A＝{x∈Z|－23．
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与直角坐标系有关的集合
答案　D
解析　集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.
4．
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
答案　C
解析　当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x>0，y<0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
5．
考点　集合的表示综合
题点　集合的表示综合问题
答案　A
解析　元素具有无序性，A正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B选项两集合中的元素不同；C选项中集合M中元素是两个数，N中元素是一个点，不相等；D选项中集合M中元素是一个点(3,2)，而N中元素是两条直线x＝3和y＝2上所有的点，不相等．
6．
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　D
解析　对于x＝4s－3，当s依次取1,2,3,4,5时，
恰好对应的x的值为1,5,9,13,17.
7．
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与余数有关的整数集合
答案　D
解析　∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3为偶数，故D错误．
8．
考点　用列举法表示集合
题点　用列举法表示集合
答案　{1}
解析　由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
9．考点　集合的表示综合
题点　集合的表示综合问题
答案　3
解析　根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．
10．考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示集合的综合问题
答案　M
解析　设a＝3k1，k1∈Z，
b＝3k2＋1，k2∈Z，
c＝3k3－1，k3∈Z，
则a＋b－c＝3k1＋3k2＋1＋3k3－1＝3(k1＋k2＋k3)，
且k1＋k2＋k3∈Z，
∴a＋b－c∈M.
11．
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
解　集合A，B，C互不相等．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
解　(1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
13．
考点　集合的表示综合
题点　集合的表示综合问题
解　∵5∈A，且5?B，∴
即　解得a＝－4.
14．
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与余数有关的整数集合
答案　C
解析　由于[k]＝，对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，∴①正确；
对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；
对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5(n1－n2)能被5整除，∴a－b∈[0]，
∴③正确；
对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0,1,2,3,4，
则a＝5n＋5m＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，
∴a，b属于同一“类”，∴④正确，
则正确的有①③④，共3个．
15．
考点　集合的表示综合
题点　集合的表示综合问题
解　(1)若集合M只有一个元素，则由题意可知x＝8－x，解得x＝4，即M＝{4}．
(2)当x＝0时，8－x＝8，此时M＝{0,8}；当x＝1时，8－x＝7，此时M＝{1,7}；当x＝2时，8－x＝6，此时M＝{2,6}；当x＝3时，8－x＝5，此时M＝{3,5}，因此元素个数为2的所有集合M为{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}．
(3)综合(1)(2)可知，元素个数为1的集合M有1个；元素个数为2的集合M有4个；元素个数为3的集合M有4个；元素个数为4的集合M有6个；元素个数为5的集合M有6个；元素个数为6的集合M有4个；元素个数为7的集合M有4个；元素个数为8的集合M有1个；元素个数为9的集合M有1个．故满足条件的集合M共有31个．