2019年数学同步必修一北师大版：第一章 集合的含义与表示 学案

第2课时　集合的表示
学习目标　1.了解空集、有限集、无限集的概念.2.掌握用列举法表示有限集.3.理解描述法的格式及其适用情形.4.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换．
知识点一　集合的分类
思考　集合{x∈R|x2<0}中有多少个元素？{x∈R|x2＝0}呢？{x∈R|x2>0}呢？
答案　0个；1个；无限多个．
梳理　按集合中的元素个数分类，不含有任何元素的集合叫作空集，记作?；含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集．
知识点二　列举法
思考　要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？
答案　把它们一一列举出来．
梳理　把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫作列举法．适用于元素较少的集合．
知识点三　描述法
思考　能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？
答案　不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．
梳理　描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．符号表示为{|}，如{x∈A|p(x)}．
1.＝1.(　×　)
2.＝.(　×　)
3.＝.(　√　)
4.＝.(　√　)
类型一　用列举法表示集合
例1　用列举法表示下列集合．
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
考点　用列举法表示集合
题点　用列举法表示集合
解　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}．
反思与感悟　(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．
(2)列举法表示的集合的种类
①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；
③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．
跟踪训练1　用列举法表示下列集合．
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由1～20的所有素数组成的集合．
考点　用列举法表示集合
题点　用列举法表示集合
解　(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
(2)设由1～20的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
类型二　用描述法表示集合
例2　试用描述法表示下列集合．
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示集合
解　(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10引申探究　
用描述法表示函数y＝x2－2图像上所有的点组成的集合．
解　{(x，y)|y＝x2－2}．
反思与感悟　用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号．
(2)说明该集合中元素的性质．
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内．
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．
跟踪训练2　用描述法表示下列集合．
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示集合
解　(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
类型三　集合表示的综合应用
命题角度1　选择适当的方法表示集合
例3　用适当的方法表示下列集合．
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
解　(1)列举法：{0,2,4}．或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．
(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
反思与感悟　用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
跟踪训练3　若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
答案　{2 000,2 001,2 004}
解析　由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，
所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}．
命题角度2　新定义的集合
例4　对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　)
A．18 B．17 D．16 D．15
考点　集合的表示综合
题点　新定义题
答案　B
解析　因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.
反思与感悟　命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．
跟踪训练4　定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________．
考点　集合的表示综合
题点　新定义题
答案　6
解析　由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，
又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.
1．下面四个判断，正确的个数是(　　)
①0∈?；
②{0}是空集；
③是空集；
④{x2＋y＋1＝0}是空集．
A．0 B．1 C．2 D．4
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的定义
答案　B
解析　只有③正确．
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图像的交点组成的集合是(　　)
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
考点　用列举法表示集合
题点　用列举法表示集合
答案　D
3．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　B
4．第一象限的点组成的集合可以表示为(　　)
A．{(x，y)|xy>0}
B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0}
D．{(x，y)|x>0或y>0}
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与平面直角坐标系有关的集合
答案　C
5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是(　　)
A．{x|x＝4k－1，k∈Z}
B．{x|x＝2k－1，k∈Z}
C．{x|x＝2k＋1，k∈Z}
D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与奇数有关的整数集合
答案　A
1．在用列举法表示集合时应注意
(1)元素间用分隔号“，”．
(2)元素不重复．
(3)元素无顺序．
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.