2019年数学同步必修一北师大版：第一章 集合的基本关系 学案

§2　集合的基本关系
学习目标　1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.
3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识点一　子集
思考　如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？
答案　所有的白马都是马，马不一定是白马．
梳理　一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
子集的有关性质：
(1)?是任何集合A的子集，即??A.
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(3)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.
(4)若A?B，B?A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.
知识点二　真子集
思考　在知识点一里，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？
答案　用真子集．
梳理　如果集合A?B，但A≠B，称集合A是集合B的真子集，记作：A(B(或B(A)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．
知识点三　Venn图
思考　图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．
答案　A?B?C
梳理　一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．
1．若用“≤”类比“?”，则“(”相当于“<”．(　√　)
2．空集可以用表示．(　×　)
3．若a∈A，则?A.(　√　)
4．若a∈A，则(A.(　×　)
类型一　求集合的子集
例1　(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
解　(1)?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如?，有1个子集，0个真子集．
反思与感悟　为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练1　适合条件{1}?A({1,2,3,4,5}的集合A的个数是(　　)
A．15 B．16 C．31 D．32
考点　与两个已知集合有包含关系的集合个数
题点　与两个已知集合有包含关系的集合个数
答案　A
解析　这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．
类型二　判断集合间的关系
命题角度1　概念间的包含关系
例2　设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　)
A．P?N?M?Q
B．Q?M?N?P
C．P?M?N?Q
D．Q?N?M?P
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
反思与感悟　一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．
跟踪训练2　我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为______________．
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　N(Z(Q(R
命题角度2　数集间的包含关系
例3　设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为(　　)
A．A∈B B．B∈A
C．A?B D．B?A
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　C
解析　∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.∴A?B.
反思与感悟　判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
跟踪训练3　已知集合A＝{x|－1A．A∈B B．A(B
C．B(A D．B?A
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2?A，故有A(B.
类型三　由集合间的关系求参数(或参数范围)
例4　已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求实数a的值．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
解　A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．
(1)当a＝0时，B＝??A，符合题意．
(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝，
∵≠0，要使A?B，只有＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.
反思与感悟　集合A的子集可分三类：?，A本身，A的非空真子集，解题中易忽略?.
跟踪训练4　已知集合A＝{x|1考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
解　(1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝??A，符合题意．
(2)当a<1时，要使A?B，需满足这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}.
1．下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若?(A，则A≠?.
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的定义
答案　B
解析　只有④正确．
2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为(　　)
A．P(T B．P∈T
C．P＝T D．P?T
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　A
3．若A＝{1}，则下列关系错误的是(　　)
A．??? B．A?A
C．??A D．?∈A
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的性质
答案　D
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　　)
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
5．已知集合A＝，B＝，则集合A，B之间的关系为________．
考点　集合的关系
题点　集合关系的判定
答案　A＝B
解析　A＝
＝，
B＝
＝，故A＝B.
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A(B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.