2019年数学同步必修一北师大版：第一章 交集与并集 学案

§3　集合的基本运算
3．1　交集与并集
学习目标　1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．
知识点一　并集
(1)定义：一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)图形语言：、，阴影部分为A∪B.
(4)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝A?B?A，A?(A∪B)．
知识点二　交集
思考　一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？
答案　1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．
梳理　(1)定义：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：，阴影部分为A∩B.
(4)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝A?A?B，A∩B?A∪B，A∩B?A，A∩B?B.
1．若x∈A∩B，则x∈A∪B.(　√　)
2．A∩B是一个集合．(　√　)
3．如果把A，B用Venn图表示为两个圆，则两圆必须相交，交集才存在．(　×　)
4．若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素．(　×　)

类型一　求并集
命题角度1　数集求并集
例1　(1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是(　　)
A．{1,3,4,5,6} B．{3}
C．{3,4,5,6} D．{1,2,3,4,5,6}
考点　并集的概念及运算
题点　有限集合的并集运算
答案　A
解析　A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此 A∪B＝{1,3,4,5,6}，故选A.
(2)A＝{x|－1考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
解　如图：
由图知A∪B＝{x|－1反思与感悟　有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．
跟踪训练1　(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.
考点　并集的概念及运算
题点　有限集合的并集运算
解　B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．
(2)A＝{x|－13}，求A∪B.
考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
解　如图：
由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．
命题角度2　点集求并集
例2　集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．
考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
解　A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．
其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴，y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．
反思与感悟　求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．
跟踪训练2　A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．
考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
解　A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．
类型二　求交集
例3　(1)若集合A＝{x|－5A．{x|－3C．{x|－3考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　A
解析　在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3(2)若集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于(　　)
A．{0} B．{1}
C．{0,1,2} D．{0,1}
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合与无限集合的交集运算
答案　D
解析　M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，
则M∩N＝{0,1}，故选D.
(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
解　A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．
反思与感悟　两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．数轴是集合运算的好帮手，但要画得规范．
跟踪训练3　(1)集合A＝{x|－13}，求A∩B；
(2)集合A＝{x|2k(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
解　(1)A∩B＝{x|－1(2)A∩B＝{x|2(3)A∩B＝?.
类型三　并集、交集性质的应用
例4　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　利用集合的交集、并集性质求参数的取值范围
解　A∪B＝B?A?B.
当2a>a＋3，即a>3时，A＝?，满足A?B.
当2a＝a＋3，即a＝3时，A＝{6}，满足A?B.
当2a需或
解得a<－4或综上，a的取值范围是
{a|a>3}∪{a|a＝3}∪
＝.
反思与感悟　解此类题，首先要准确翻译，诸如“A∪B＝B”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．
跟踪训练4　设集合A＝{x|2x2＋3px＋2＝0}，B＝{x|2x2＋x＋q＝0}，其中p，q为常数，x∈R，当A∩B＝时，求p，q的值和A∪B.
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　求集合的并集
解　∵A∩B＝，∴∈A，
∴2×2＋3p×＋2＝0，
∴p＝－，∴A＝.
又∵A∩B＝，∴∈B，
∴2×2＋＋q＝0，∴q＝－1.
∴B＝.
∴A∪B＝.
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于(　　)
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
考点　并集的概念及运算
题点　有限集合的并集运算
答案　B
2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于(　　)
A．{0} B．{0,1}
C．{0,2} D．{0,1,2}
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合的交集运算
答案　C
3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0A．{x|x>0} B．{x|x>1}
C．{x|1考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
答案　A
4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于(　　)
A．? B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　A
5．已知集合A＝{1,3,}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(　　)
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　利用集合的交集、并集性质求参数的值
答案　B
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.