2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件新人教B版必修1:56张PPT
文档属性
| 名称 | 2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件新人教B版必修1:56张PPT |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-12 23:15:16 | ||
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文档简介
课件56张PPT。2.1.2
一元二次方程的解集及其根与
系数的关系 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集【思考】
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=
适合用于所有的一元二次方程吗？提示：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
只适合于方程有根时使用，即：当根的判别式
Δ=b2-4ac≥0时适用.2.一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个
实数根x1，x2，则有x1+x2=- ；x1x2= .【思考】
利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？
提示：先把方程化为ax2+bx+c=0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ=b2-4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)用公式法解一元二次方程3x2=-2x+3时，
a=3，b=-2，c=3，再代入公式即可. ( )
(2)方程x2-2=0的解是x= . ( )(3)若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，
则x1x2=-2. ( )提示：(1)×.用公式法解一元二次方程时，要先把
方程化为标准形式，再求a，b，c的值.
(2)×.方程x2-2=0的解是x=± .
(3)×.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中x1x2= .2.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形
为( )
A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9
C.(x-1)2=6 D.(x-2)2=9
【解析】选C.因为x2-2x-5=x2-2x+1-6=0，
所以(x-1)2=6.3.解下列方程，最适合用公式法求解的是 ( )
A.(x+2)2-16=0 B.(x+1)2=4
C. x2=8 D.x2-3x-5=0
【解析】选D.公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程.4.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别为 ( )
A.b=-1，c=2 B.b=1，c=-2
C.b=1，c=2 D.b=-1，c=-2
【解析】选D.b=x1+x2=1-2=-1，c=x1x2=-2.类型一 配方法解一元二次方程
【典例】1.一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形
为( )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15
C.(x-4)2=17 D.(x-4)2=152.用配方法求方程2x2+1=3x的解集.【思维·引】
1.方程的二次项系数为1，将常数项移到等号右边得x2-8x=1，然后等号两边加上一次项系数一半的平方，等号左右两边分别化为完全平方式和常数.2.先把方程化成2x2-3x+1=0，它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.【解析】1.选C.移项，得x2-8x=1.
配方，得x2-8x+42=1+42，即(x-4)2=17.2.移项，得2x2-3x=-1.
二次项系数化为1，得x2-
配方，得x2-
由此可得x- x=1或x= ，
所以原方程的解集为 【类题·通】
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将一元二次方程化为一般形式.
(2)将常数项移到方程的右边.
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1.(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数.
(5)当方程右边是一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是一个负数时，原方程无实数解.【习练·破】
1.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是 ( )
A.(x+2)2=3 B.(x-2)2=3
C.(x-2)2=5 D.(x+2)2=5
【解析】选A.因为x2+4x+1=(x+2)2-3=0，
所以(x+2)2=3.2.用配方法解方程：2x2-7x+6=0.【解析】系数化为1，得x2- x+3=0.
配方，得x2-
即 所以x- =± .所以x1=2，x2= .【加练·固】
用配方法求方程3x2-6x+4=0的解集.【解析】移项，得3x2-6x=-4.
二次项系数化为1，得x2-2x=- .
配方，得x2-2x+12=- +12，(x-1)2=- .
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程的解
集为?.类型二 公式法解一元二次方程
【典例】1.用公式法解方程4x2-12x=3，得到 ( ).
2.用公式法求方程2x2-4x-1=0的解集.【思维·引】
用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，分清楚a，b，c，然后代入公式即可.【解析】1.选D.因为4x2-12x=3，所以4x2-12x-3=0，
因为a=4，b=-12，c=-3，
所以Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×(-3)=192>0，
所以x= 2.a=2，b=-4，c=-1，
所以Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0，
所以x=
所以x= 或x= ，所以原方程的解集为 【内化·悟】
用公式法解一元二次方程时哪些地方易出错？
提示：用公式法解一元二次方程注意点有：①注意化方程为一般形式；②注意方程有实数根的前提条件“Δ≥0”；③注意方程有根应该是两个；④求解出的根注意适当化简.【类题·通】
用公式法解一元二次方程的步骤：
(1)把方程化为一般形式，确定a，b，c的值.
(2)求出b2-4ac的值.
(3)若b2-4ac≥0，将a，b，c的值代入求根公式计算，得出方程的解；若b2-4ac<0，则方程无实根.【习练·破】
1.方程 x2+4 x+6 =0的根是 ( )
A.x1= ，x2= B.x1=6，x2=
C.x1=2 ，x2= D.x1=x2=- 【解析】选D.因为a= ，b=4 ，c=6 ，
所以Δ=b2-4ac=(4 )2-4× ×6 =0，
所以x=
所以x1=x2=- .2.解方程：5x2-3x=x+1.【解析】方程化为5x2-4x-1=0，a=5，b=-4，c=-1，
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0，
方程有两个不等的实数根，
x=
即x1=1，x2=- .【加练·固】
求方程x2+17=8x的解集.【解析】方程化为x2-8x+17=0.
a=1，b=-8，c=17.
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0.
所以原方程的解集为?.类型三 一元二次方程根与系数的关系
角度1 一元二次方程根的判别式
【典例】关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是 ( )
世纪金榜导学号
A.0 B.8 C.4± D.0或8【思维·引】方程有两个相等实根，所以Δ=b2-4ac=0.
【解析】选D.依题意得a=1，b=m-2，c=m+1，
所以Δ=(m-2)2-4(m+1)=0，
所以m2-4m+4-4m-4=0，所以m2-8m=0，
所以m1=0，m2=8.【素养·探】
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的逆定理成立吗？提示：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac逆定理也成立.
即：(1)当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0.
(2)当方程有两个相等的实数根时，Δ=0.
(3)当方程没有实数根时，Δ<0.角度2 一元二次方程根与系数的关系
【典例】1.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是 ( )
A.x2-7x+12=0 B.x2+7x+12=0
C.x2+7x-12=0 D.x2-7x-12=02.已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1，x2，求下列式子的值.【思维·引】
1.以x1，x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
2.将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.【解析】1.选A.因为一元二次方程中，x1+x2=7，x1x2=12，
又因为x1+x2=- ，x1x2= ，
令a=1，则b=-7，c=12，
所以原方程为：x2-7x+12=0.2.由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=5，x1·x2=-7.
(1) =(x1+x2)2-2x1x2=52-2×(-7)
=25+14=39.
(2) 【类题·通】
利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤
(1)算：计算出两根的和与积.
(2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式.
(3)代：代入求值.【发散·拓】如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q.【习练·破】
1.下列对关于x的一元二次方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是 ( )
A.方程有两个不相等的实数根
B.方程有两个相等的实数根
C.方程没有实数根
D.无法确定【解析】选A.依题意得a=1，b=2k，c=k-1，
所以Δ=b2-4ac=(2k)2-4(k-1)=4k2-4k+4
=(2k-1)2+3>0，
所以方程有两个不等实根.2.已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0有两个实数
根x1，x2，则m2 的值是 ( )
A. B.- C.4 D.-4【解析】选D.因为x2-4x-m2=0有两个实数根x1，x2，
所以x1+x2=4，x1x2=-m2，所以m2 =m2·
=m2· =-4.【加练·固】
若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两根互为倒数，则a=________.?【解析】因为方程的两根互为倒数，
所以两根的乘积为1，即a2=1，
所以a=1或a=-1.
当a=1时，原方程化为x2+1=0，方程无实数根，
不符合题意，故舍去；当a=-1时，原方程化为x2-2x+1=0，Δ=0，符合题意.故a=-1.
答案：-1
一元二次方程的解集及其根与
系数的关系 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集【思考】
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=
适合用于所有的一元二次方程吗？提示：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
只适合于方程有根时使用，即：当根的判别式
Δ=b2-4ac≥0时适用.2.一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个
实数根x1，x2，则有x1+x2=- ；x1x2= .【思考】
利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？
提示：先把方程化为ax2+bx+c=0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ=b2-4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)用公式法解一元二次方程3x2=-2x+3时，
a=3，b=-2，c=3，再代入公式即可. ( )
(2)方程x2-2=0的解是x= . ( )(3)若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，
则x1x2=-2. ( )提示：(1)×.用公式法解一元二次方程时，要先把
方程化为标准形式，再求a，b，c的值.
(2)×.方程x2-2=0的解是x=± .
(3)×.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中x1x2= .2.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形
为( )
A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9
C.(x-1)2=6 D.(x-2)2=9
【解析】选C.因为x2-2x-5=x2-2x+1-6=0，
所以(x-1)2=6.3.解下列方程，最适合用公式法求解的是 ( )
A.(x+2)2-16=0 B.(x+1)2=4
C. x2=8 D.x2-3x-5=0
【解析】选D.公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程.4.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别为 ( )
A.b=-1，c=2 B.b=1，c=-2
C.b=1，c=2 D.b=-1，c=-2
【解析】选D.b=x1+x2=1-2=-1，c=x1x2=-2.类型一 配方法解一元二次方程
【典例】1.一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形
为( )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15
C.(x-4)2=17 D.(x-4)2=152.用配方法求方程2x2+1=3x的解集.【思维·引】
1.方程的二次项系数为1，将常数项移到等号右边得x2-8x=1，然后等号两边加上一次项系数一半的平方，等号左右两边分别化为完全平方式和常数.2.先把方程化成2x2-3x+1=0，它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.【解析】1.选C.移项，得x2-8x=1.
配方，得x2-8x+42=1+42，即(x-4)2=17.2.移项，得2x2-3x=-1.
二次项系数化为1，得x2-
配方，得x2-
由此可得x- x=1或x= ，
所以原方程的解集为 【类题·通】
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将一元二次方程化为一般形式.
(2)将常数项移到方程的右边.
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1.(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数.
(5)当方程右边是一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是一个负数时，原方程无实数解.【习练·破】
1.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是 ( )
A.(x+2)2=3 B.(x-2)2=3
C.(x-2)2=5 D.(x+2)2=5
【解析】选A.因为x2+4x+1=(x+2)2-3=0，
所以(x+2)2=3.2.用配方法解方程：2x2-7x+6=0.【解析】系数化为1，得x2- x+3=0.
配方，得x2-
即 所以x- =± .所以x1=2，x2= .【加练·固】
用配方法求方程3x2-6x+4=0的解集.【解析】移项，得3x2-6x=-4.
二次项系数化为1，得x2-2x=- .
配方，得x2-2x+12=- +12，(x-1)2=- .
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程的解
集为?.类型二 公式法解一元二次方程
【典例】1.用公式法解方程4x2-12x=3，得到 ( ).
2.用公式法求方程2x2-4x-1=0的解集.【思维·引】
用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，分清楚a，b，c，然后代入公式即可.【解析】1.选D.因为4x2-12x=3，所以4x2-12x-3=0，
因为a=4，b=-12，c=-3，
所以Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×(-3)=192>0，
所以x= 2.a=2，b=-4，c=-1，
所以Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0，
所以x=
所以x= 或x= ，所以原方程的解集为 【内化·悟】
用公式法解一元二次方程时哪些地方易出错？
提示：用公式法解一元二次方程注意点有：①注意化方程为一般形式；②注意方程有实数根的前提条件“Δ≥0”；③注意方程有根应该是两个；④求解出的根注意适当化简.【类题·通】
用公式法解一元二次方程的步骤：
(1)把方程化为一般形式，确定a，b，c的值.
(2)求出b2-4ac的值.
(3)若b2-4ac≥0，将a，b，c的值代入求根公式计算，得出方程的解；若b2-4ac<0，则方程无实根.【习练·破】
1.方程 x2+4 x+6 =0的根是 ( )
A.x1= ，x2= B.x1=6，x2=
C.x1=2 ，x2= D.x1=x2=- 【解析】选D.因为a= ，b=4 ，c=6 ，
所以Δ=b2-4ac=(4 )2-4× ×6 =0，
所以x=
所以x1=x2=- .2.解方程：5x2-3x=x+1.【解析】方程化为5x2-4x-1=0，a=5，b=-4，c=-1，
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0，
方程有两个不等的实数根，
x=
即x1=1，x2=- .【加练·固】
求方程x2+17=8x的解集.【解析】方程化为x2-8x+17=0.
a=1，b=-8，c=17.
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0.
所以原方程的解集为?.类型三 一元二次方程根与系数的关系
角度1 一元二次方程根的判别式
【典例】关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是 ( )
世纪金榜导学号
A.0 B.8 C.4± D.0或8【思维·引】方程有两个相等实根，所以Δ=b2-4ac=0.
【解析】选D.依题意得a=1，b=m-2，c=m+1，
所以Δ=(m-2)2-4(m+1)=0，
所以m2-4m+4-4m-4=0，所以m2-8m=0，
所以m1=0，m2=8.【素养·探】
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的逆定理成立吗？提示：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac逆定理也成立.
即：(1)当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0.
(2)当方程有两个相等的实数根时，Δ=0.
(3)当方程没有实数根时，Δ<0.角度2 一元二次方程根与系数的关系
【典例】1.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是 ( )
A.x2-7x+12=0 B.x2+7x+12=0
C.x2+7x-12=0 D.x2-7x-12=02.已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1，x2，求下列式子的值.【思维·引】
1.以x1，x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
2.将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.【解析】1.选A.因为一元二次方程中，x1+x2=7，x1x2=12，
又因为x1+x2=- ，x1x2= ，
令a=1，则b=-7，c=12，
所以原方程为：x2-7x+12=0.2.由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=5，x1·x2=-7.
(1) =(x1+x2)2-2x1x2=52-2×(-7)
=25+14=39.
(2) 【类题·通】
利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤
(1)算：计算出两根的和与积.
(2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式.
(3)代：代入求值.【发散·拓】如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q.【习练·破】
1.下列对关于x的一元二次方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是 ( )
A.方程有两个不相等的实数根
B.方程有两个相等的实数根
C.方程没有实数根
D.无法确定【解析】选A.依题意得a=1，b=2k，c=k-1，
所以Δ=b2-4ac=(2k)2-4(k-1)=4k2-4k+4
=(2k-1)2+3>0，
所以方程有两个不等实根.2.已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0有两个实数
根x1，x2，则m2 的值是 ( )
A. B.- C.4 D.-4【解析】选D.因为x2-4x-m2=0有两个实数根x1，x2，
所以x1+x2=4，x1x2=-m2，所以m2 =m2·
=m2· =-4.【加练·固】
若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两根互为倒数，则a=________.?【解析】因为方程的两根互为倒数，
所以两根的乘积为1，即a2=1，
所以a=1或a=-1.
当a=1时，原方程化为x2+1=0，方程无实数根，
不符合题意，故舍去；当a=-1时，原方程化为x2-2x+1=0，Δ=0，符合题意.故a=-1.
答案：-1