2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.3一元二次不等式的解法课件新人教B版必修1:55张PPT

课件55张PPT。2.2.3　
一元二次不等式的解法1.一元二次不等式的概念
形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.【思考】
(1)不等式x2+ >0是一元二次不等式吗？
提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式.
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略
吗？
提示：不可以，若a=0，就不是二次不等式了.2.一元二次不等式的解法
(1)因式分解法：
如果x1不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞).(2)配方法：
一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2(1)因式分解法的实质是什么？
提示：通过对不等式的左边进行因式分解，转化为等价不等式组求解.
(2)配方法的实质是什么？
提示：通过对不等式左边进行配方，转化为绝对值不等式求解.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式. (　　)
(2)若方程ax2+bx+c=0可以变形为a(x-1)(x+1)=0，则ax2+bx+c<0的解集为(-1，1). (　　)(3)一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2(2)×.当a>0时，ax2+bx+c<0的解集为(-1，1).
(3)√.2.不等式2x≤x2+1的解集为 (　　)
A.? B.R
C.{x|x≠1} D.{x|x>1或x<-1}
【解析】选B.2x≤x2+1?x2-2x+1≥0?(x-1)2≥0，所以x∈R.3.不等式(2x-5)(x+3)<0 的解集为________.?
【解析】原不等式可化为 ，所以 ，
所以原不等式的解集为 .
答案： 类型一　解一元二次不等式
角度1　因式分解法
【典例】已知集合A={x|x2-x-2>0}，则?RA= (　　)
世纪金榜导学号
A.{x|-1C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【思维·引】解一元二次不等式可得集合A，再求其补集即可.
【解析】选B.由x2-x-2>0左边因式分解得(x+1)(x-2)
>0， 解得x<-1或x>2，则A={x|x<-1或x>2}，所以
?RA={x|-1≤x≤2}.【素养·探】
本例考查一元二次不等式的解法与集合的运算，同时考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.
本例若改为：设集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>
0}，则A∩B= (　　)
【解析】选D.由x2-4x+3<0，得(x-1)(x-3)<0，解得
10，解得x> ，所以
B= .所以A∩B= .角度2　配方法
【典例】解下列不等式
(1)3x2-5x-2<0.(2)-x2+6x-10>0.
【思维·引】用配方法解答.【解析】(1)原不等式可化为 ，因为
，所以原不等式可化为 ，两
边开平方得 ，所以 ，即 ，
所以原不等式的解集为 .(2)原不等式可化为x2-6x+10<0，
因为x2-6x+10=(x-3)2+1，
所以原不等式可化为(x-3)2<-1，
因为(x-3)2≥0恒成立，故原不等式的解集为?.【类题·通】
利用配方法解一元二次不等式的步骤：
(1)把一元二次不等式的二次项系数化为1.
(2)一元二次不等式通过配方变为(x-h)2>k或(x-h)2(3)根据k值情况确定不等式的解集.【习练·破】
1.(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2+x-2<0成立
的x的取值范围为________.?
【解析】3x2+x-2<0，即(x+1)(3x-2)<0，即-1故x的取值范围是 .
答案： 2.解下列不等式
(1)-3x2+6x≤2.(2)4x2-12x+9>0.【解析】(1)原不等式可化为 ，
因为 ，所以原不等式可化为
，两边开平方得 ，
所以 ，
所以原不等式的解集为 .(2)原不等式可化为x2-3x+ >0，
因为 ，所以原不等式可化为 ，
所以只要 ，不等式即成立，所以原不等式的解集
为 .【加练·固】
　 　解不等式
(1)2x2-3x-2<0.(2) x2-2x+2>0.【解析】(1)由2x2-3x-2<0得(x-2)(2x+1)<0，解得- <
x<2，所以原不等式的解集为 .
(2)因为x2-2x+2=(x-1)2+1，所以原不等式可化为(x-1)2
>-1，显然成立，所以原不等式的解集为R.类型二　解简单的分式不等式
【典例】1.不等式 >0的解集是________.?
2.解不等式 ≤2. 世纪金榜导学号
【思维·引】先把分式不等式转化为整式不等式后再
求解.【解析】1.因为 >0，所以(x-2)(x+4)<0，故-4答案： 2.由题意x-2≠0，所以(x-2)2>0原不等式两边同乘以
(x-2)2得：(x+1)(x-2)≤2(x-2)2且x-2≠0，
即(x-2)(-x+5)≤0，所以(x-2)(x-5)≥0，所以x<2或
x≥5，所以原不等式的解集为：(-∞，2)∪[5，+∞).【内化·悟】
1.解分式不等式的思想方法是什么？
提示：转化思想.
2.解分式不等式要注意什么？
提示：分母不为零.【类题·通】
解分式不等式的关注点
(1)根据是实数运算的符号法则，分式不等式经过同解
变形可化为四种类型，解题思路如下：
① >0?f(x)g(x)>0；
② <0?f(x)g(x)<0；③ ≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0?f(x)g(x)>0或
f(x)=0；
④ ≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0?f(x)g(x)<0或
f(x)=0.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先两边同时乘以分母的平方去分母，再移项，因式分解，转化为用上述方法求解.【习练·破】
不等式 ≥0的解集为 (　　)【解析】选C.原不等式等价于(x-1)(2x+1)>0或x-1=0，
解得x<- 或x>1或x=1，
所以原不等式的解集为 .【加练·固】
　 　解不等式 >1.
【解析】由题意x+3≠0，所以(x+3)2>0，原不等式两
边同乘以(x+3)2得：(2-x)(x+3)>(x+3)2且x+3≠0，
即(x+3)(-2x-1)>0，所以(x+3)(2x+1)<0，
故-3【典例】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购 a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点. 世纪金榜导学号(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式.
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.【思维·引】由题意构建函数关系或不等式解决问题.【解析】(1)降低税率后的税率为(10-x)%，农产品的
收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额为200a(1+2x%).
依题意：y=200a(1+2x%)(10-x)%
= a(100+2x)(10-x)(0依题意得： a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%，
化简得，x2+40x-84≤0，所以-42≤x≤2.
又因为0所以x的取值范围是{x|0求实际应用问题中未知数的取值范围，应注意什么隐含信息？
提示：应注意未知数具有的“实际含义”，隐含着其取值范围的限制.【类题·通】
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系.
(3)求：解不等式.(4)答：回答实际问题.
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.【习练·破】
某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄
水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供
水，t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24).
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最
少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？【解析】(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则y=
400+60t-120 (0≤t≤24).
令x= ，则t= ，
所以y=400+10x2-120x
=10(x-6)2+40(0≤x≤12)，
所以当x=6，即t=6时，ymin=40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨.(2)由已知400+10x2-120x<80，
得x2-12x+32<0，解得4即 ，而 ，
所以每天约有8小时供水紧张.【加练·固】
有一批净水机原销售价为每台800元，在甲、乙两
家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一
台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类
推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每
台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类净水机，问去哪家商场购买花费较少？【解析】设该单位需购买x台净水机，甲、乙两商场的购货款的差价为y元，
则因为去甲商场购买共花费(800-20x)x，据题意，800-20x≥440，所以1≤x≤18.去乙商场购买共花费600x，x∈N*，所以y= (x∈N*)
= (x∈N*)
得 故若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.